函數(shù)產(chǎn)生的歷史背景和發(fā)展過程_百度文庫

1、函數(shù)產(chǎn)生的歷史背景和發(fā)展過程歷史表明,重要數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是不可估量的,函數(shù)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響, 可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡,回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展,看一看函數(shù)概念不斷被 精煉、深化、豐富的歷史過程,是一件十分有益的事情,它不僅有助于我們提高對函數(shù)概念來 龍去脈認(rèn)識的清晰度,而且更能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大作用. (一馬克思曾經(jīng)認(rèn)為,函數(shù)概念來源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研究.由于羅馬時代的丟番圖對不定 方程已有相當(dāng)研究,所以函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽.自哥白尼的天文學(xué)革命以后,運動就成了文藝復(fù)興時期科學(xué)家共同感興趣的問題,人們在思 索:既然地球不是宇宙中心

2、,它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn),那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還 要垂直下落到地球上 ? 行星運行的軌道是橢圓,原理是什么 ? 還有,研究在地球表面上拋射物體 的路線、射程和所能達(dá)到的高度,以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題,既是科學(xué)家的 力圖解決的問題,也是軍事家要求解決的問題,函數(shù)概念就是從運動的研究中引申出的一個數(shù) 學(xué)概念,這是函數(shù)概念的力學(xué)來源.(二早在函數(shù)概念尚未明確提出以前, 數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù), 比如對數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等等. 1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中,已經(jīng)注意到了一個變量對于 另一個變量的依賴關(guān)系,但由于當(dāng)時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念

3、,因此直到 17世紀(jì)后 期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候,數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義.1673年,萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞表示 “ 冪 ” ,后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標(biāo)、縱 坐標(biāo)、切線長等曲線上點的有關(guān)幾何量.由此可以看出,函數(shù)一詞最初的數(shù)學(xué)含義是相當(dāng)廣泛 而較為模糊的,幾乎與此同時,牛頓在微積分的討論中,使用另一名詞 “ 流量 ” 來表示變量間的 關(guān)系,直到 1689年,瑞士數(shù)學(xué)家約翰 ·貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上,對函數(shù)概念進(jìn) 行了明確定義,貝努里把變量 x 和常量按任何方式構(gòu)成的量叫 “x 的函數(shù) ” ,表示為 yx.當(dāng)時,由于連接變數(shù)與常數(shù)的運算主要是算術(shù)運

4、算、三角運算、指數(shù)運算和對數(shù)運算,所以 后來歐拉就索性把用這些運算連接變數(shù) x 和常數(shù) c 而成的式子,取名為解析函數(shù),還將它分成 了 “ 代數(shù)函數(shù) ” 與 “ 超越函數(shù) ” .18世紀(jì)中葉, 由于研究弦振動問題, 達(dá)朗貝爾與歐拉先后引出了 “ 任意的函數(shù) ” 的說法. 在解 釋 “ 任意的函數(shù) ” 概念的時候,達(dá)朗貝爾說是指 “ 任意的解析式 ” ,而歐拉則認(rèn)為是 “ 任意畫出的一 條曲線 ” .現(xiàn)在看來這都是函數(shù)的表達(dá)方式,是函數(shù)概念的外延.(三函數(shù)概念缺乏科學(xué)的定義,引起了理論與實踐的尖銳矛盾.例如,偏微分方程在工程技術(shù)中 有廣泛應(yīng)用,但由于沒有函數(shù)的科學(xué)定義,就極大地限制了偏微分方程理

5、論的建立. 1833年至 1834年,高斯開始把注意力轉(zhuǎn)向物理學(xué).他在和 W·威伯爾合作發(fā)明電報的過程中,做了許多 關(guān)于磁的實驗工作,提出了 “ 力與距離的平方成反比例 ” 這個重要的理論,使得函數(shù)作為數(shù)學(xué)的 一個獨立分支而出現(xiàn)了,實際的需要促使人們對函數(shù)的定義進(jìn)一步研究.后來,人們又給出了這樣的定義:如果一個量依賴著另一個量,當(dāng)后一量變化時前一量也隨 著變化,那么第一個量稱為第二個量的函數(shù). “ 這個定義雖然還沒有道出函數(shù)的本質(zhì),但卻把變 化、運動注入到函數(shù)定義中去,是可喜的進(jìn)步. ”在函數(shù)概念發(fā)展史上, 法國數(shù)學(xué)家富里埃的工作影響最大, 富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì), 主張函數(shù)不

6、必局限于解析表達(dá)式. 1822年,他在名著熱的解析理論中說, “ 通常,函數(shù)表 示相接的一組值或縱坐標(biāo),它們中的每一個都是任意的 ,我們不假定這些縱坐標(biāo)服從一個共同的規(guī)律;他們以任何方式一個挨一個. ” 在該書中,他用一個三角級數(shù)和的形式表達(dá)了一個 由不連續(xù)的 “ 線 ” 所給出的函數(shù).更確切地說就是,任意一個以 2為周期函數(shù),在-, 區(qū)間內(nèi),可以由表示出,其中富里埃的研究,從根本上動搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想,在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界引起了很大 的震動.原來,在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝,級數(shù)把解析式和曲線溝通了, 那種視函數(shù)為解析式的觀點終于成為揭示函數(shù)關(guān)系的巨大障礙.通過一場爭論,

7、產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義.1834年,俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義:“x 的函數(shù)是這樣的一個數(shù),它對于每 個 x 都有確定的值,并且隨著 x 一起變化.函數(shù)值可以由解析式給出,也可以由一個條件給出, 這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)值的方法. 函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在, 但仍然是未知的. ” 這個定義建立了變量與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系,是對函數(shù)概念的一個重大發(fā)展,因為 “ 對應(yīng) ” 是函 數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分.1837年,德國數(shù)學(xué)家狄里克萊(Dirichlet 認(rèn)為怎樣去建立 x 與 y 之間的關(guān)系無關(guān)緊要, 所以他的定義是:“ 如果對于 x 的每一值, y 總有完

8、全確定的值與之對應(yīng),則 y 是 x 的函數(shù). ” 根據(jù)這個定義,即使像如下表述的,它仍然被說成是函數(shù)(狄里克萊函數(shù):f (x = 1 (x 為有理數(shù),0 (x 為無理數(shù).在這個函數(shù)中,如果 x 由 0逐漸增大地取值,則 f (x 忽 0忽 1.在無論怎樣小的區(qū)間里, f (x 無限止地忽 0忽 1.因此,它難用一個或幾個式子來加以表示,甚至究竟能否找出表達(dá)式 也是一個問題.但是不管其能否用表達(dá)式表示,在狄里克萊的定義下,這個 f (x 仍是一個函 數(shù).狄里克萊的函數(shù)定義,出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述,以完全清 晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受.至此,我們已可以說,函數(shù)概念

9、、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng) 形成,這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義.(四生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗的進(jìn)一步發(fā)展,又引起函數(shù)概念新的尖銳矛盾,本世紀(jì) 20年代,人類 開始研究微觀物理現(xiàn)象. 1930年量子力學(xué)問世了,在量子力學(xué)中需要用到一種新的函數(shù) -函數(shù),即 (x =0, x0,x=0.且-函數(shù)的出現(xiàn),引起了人們的激烈爭論.按照函數(shù)原來的定義,只允許數(shù)與數(shù)之間建立對應(yīng) 關(guān)系, 而沒有把 “” 作為數(shù). 另外, 對于自變量只有一個點不為零的函數(shù), 其積分值卻不等于零, 這也是不可想象的.然而, -函數(shù)確實是實際模型的抽象.例如,當(dāng)汽車、火車通過橋梁時, 自然對橋梁產(chǎn)生壓力.從理論上講,車輛的輪子和橋面的接觸點只有

10、一個,設(shè)車輛對軌道、橋 面的壓力為一單位,這時在接觸點 x=0處的壓強(qiáng)是P(0 =壓力/接觸面 =1/0= .其余點 x0處,因無壓力,故無壓強(qiáng),即 P(x =0.另外,我們知道壓強(qiáng)函數(shù)的積分等于 壓力,即函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發(fā)展,產(chǎn)生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義:若對集合 M 的 任意元素 x, 總有集合 N 確定的元素 y 與之對應(yīng), 則稱在集合 M 上定義一個函數(shù), 記為 y=f(x . 元素 x 稱為自變元,元素 y 稱為因變元.函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從形式上看雖然只相差幾個字,但卻是概念上的重大發(fā)展,是數(shù) 學(xué)發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折,近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標(biāo)志,它研究的是一般集合上 的函數(shù)關(guān)系.函數(shù)概念的定義經(jīng)過二百多年來的錘煉、變革,形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義,應(yīng)該說已經(jīng)相當(dāng)完 善了.不過數(shù)學(xué)的發(fā)展是無止境的,函數(shù)現(xiàn)代定義的形式并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié), 近二十年來,數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念 “ 關(guān)系 ” .設(shè)集合 X 、 Y ,我們定義 X 與 Y 的積集 X×Y 為X×Y=(x,y |x X,y Y .積集 X×Y 中的一子集 R 稱為 X 與 Y 的一個關(guān)系,若(x,y R ,則稱 x 與 y 有關(guān)系 R ,記 為 xRy. 若(x,y R ,則稱 x 與 y 無關(guān)