數(shù)列通項(xiàng)公式解法總結(jié)及習(xí)題

1、Si,(n 1)SnSn 1,(n 2)3 .作商法：已知aga2gL% f (n)求an ,用作商法：an4 .累加法：若 anl anf(n)求 an： an (an an 1) (an 1 an 2) Lf(n) f (n ,(n 2)(a2 a1) a1 (n 2)。數(shù)列通項(xiàng)公式解法總結(jié)及習(xí)題訓(xùn)練(附答案)1 .定義法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。2 .公式法：已知Sn (即ai a2 L an f (n)求an,用作差法：an5 .累乘法：已知冬f (n)求an,用累乘法：an 芻-亙L 里a(n 2)。 anan 1 an 2a16 .已知遞推關(guān)系求an,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差

2、、等比數(shù)列)。1)遞推公式為an 2pan 1 qan (其中p, q均為常數(shù))。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 an 2 san 1 t(an 1 san)s t p其中s, t滿足pst q2)形如anan 1 的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。kan 1 b7 .數(shù)學(xué)歸納法 先根據(jù)已知條件結(jié)合具體形式進(jìn)行合理的猜想，然后證明。8 .換元法 換元的目的是簡(jiǎn)化形式，以便于求解。9、不動(dòng)點(diǎn)法對(duì)于某些特定形式的數(shù)列遞推式可用不動(dòng)點(diǎn)法來求10定系數(shù)法 適用于an 1 qan f (n)解題基本步驟：1、確定f(n) 2、設(shè)等比數(shù)列 an1f (n),公比為3、列出關(guān)系式an 11 f (n 1)2an1f (

3、n) 4、比較系數(shù)求1, 25、解得數(shù)列 an1 f (n)的通項(xiàng)公式 6、解得數(shù)列 & 的通項(xiàng)公式習(xí)題1. (2010全國(guó)卷2) (6)如果等差數(shù)列中，+=12,那么+?+=(A) 14(B) 21(C) 28(D) 352. (2010安徽)(5)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為(A) 15(B) 16(C) 49(D) 643. (2011年高考四川)數(shù)列的首項(xiàng)為，為等差數(shù)列且.若則，則()A) 0(B) 3(C) 8(D) 114. (2011年高考全國(guó)卷設(shè)Sn為等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，若a1 1,公差d 2,Sa 2 Sn 24,則 k A ) 8(B) 7(C) 6(D) 55

4、. （ 2009廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時(shí),A. B. C. D.6. （ 2009陜西卷）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則7. （2011廣東卷）等差數(shù)列 an前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若a1 i,ak a40,則ka8. a a，a11則其通項(xiàng)為3 am 19 （2009寧夏海南卷理）等差數(shù)列 前n項(xiàng)和為。已知+-=0 , =38，則m=10 .重慶卷理）設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式=11 .等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，前 n項(xiàng)和為Sn ,且a，a3,a9成等比數(shù)列，2& a5 .求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式.12已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn 公式。2an ( 1)n,n 1 .求數(shù)

5、列an的通項(xiàng)13已知數(shù)列an滿足an 1 an 2 3n1, a1 3 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。14已知數(shù)列an滿足an 1 2(n 1)5nan, a1 3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。15已知數(shù)列an滿足ani 2an 3 5n,ai 6 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。16知數(shù)列an滿足an 1 an 8(n12, a1 8 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(2n 1)2(2n 3)2917已知數(shù)列an滿足and- (1 4an16 n，1 24an), a1 1 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。18已知數(shù)列an滿足an 17a 2 一一,a12 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2an 3答案及詳解1 .【答案】C【解析】本

6、題考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)。2 .【答案】A【方法技巧】直接根據(jù)即可得出結(jié)論3 .答案：B解析：由已知知bn2n8, an 1an2n8,由疊加法(a2 a1) (a3a?)(a8a7 )2 4 6 0a8a13.【解析】Sk 2Skak 2ak 1ai(k2 1)dai(k 1 1)d2al (2 k 1)d2 1(2 k1) 24k 4245故選Db5【解析】由得，則，選c.6解析：由可得的公差d=2,首項(xiàng)=2,故易得2n.答案：2n7【答案】10【解析】由題得9?8, d2(k 1)d23d108解：取倒數(shù):3 an 1ananan 11-是等差數(shù)列, an(n1)ana11 (n1)an3

7、n 29解析由+-=0得到。答案1010解析由條件得且所以數(shù)列是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)歹U,11解：設(shè)數(shù)列an公差為d(d 2a，a3,a9成等比數(shù)歹U, 二 a30)a1a9, S52d)20,2a5a1(a1 8d) a15a1d2d a1d5 42d (a1 4d)235由得:(n1)3 -n5點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差(公比)后再寫出通項(xiàng)。12 解：由 a1 S1 2al 1a1 1當(dāng)時(shí)，有經(jīng)驗(yàn)證a1.21也滿足上式，所以an 2n( 1)313 解由 an 1 an 2 3n 1 得 烝 1 an 2 3n 1 則(an an 1) (an

8、1 an 2)L(a3 a?)n 1(2 3n 1 1) (2n 1 n 22(33 L2 3(1 3n1)(n3n2 1) L 32 31) (n1) 32 (2 321) 3 a1) a11) (2 31 1)3n 3 n 1 3所以 an 3nn 1.14解：因?yàn)閍n 12(n 1)5n an, a1 3,所以 an0,則二 an2(n 1)5n，故an an1 I a3 a2La1an 1 an 2 a2 al2(n 1 1)5" 12(n 2 1)5n 2 L 2(2 1) 522(1 1) 51 32n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1)(n 2) L 2 1 3n

9、 (n 1)3 2n 1 5k 川所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann(n 1)3 2n 15 丁n!.15 解：設(shè) an 1 x 5n 1 2(an x 5n)將an1 2 an 3 5n代入式，得2an 3 5n x 5n 1 2an2x 5n ,等式兩邊消去2an ,得 3 5n x 5n 12x 5n ,兩邊除以5n，得3 5x 2x,則x1,代入式得an 1.n 1n.52(an 5 )由ai0及式得an5n0,則注an5n 1> 2,則數(shù)列an 5n是以5a1511為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則nan5n 1n 1.n2,故 an 2516解:由 an 1 an8(n 1) (2

10、n 1)2(2n1及a1 3)2a2aia3a28(1 1)-22(2 1 1) (2 1 3)8(2 1)252425a4a3_2 _2(221)(223)8(3 1)"7"""2 一Z- 2(231)(233)2425484925 498 449 81由此可猜測(cè)an(2n 1)2 12(2n 1)2(1)當(dāng)n 1時(shí),(2)假設(shè)當(dāng)ak 1ak48498081,往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。2(2 1 1)2 1a12-(2 1 1)288,所以等式成立。9n k時(shí)等式成立，即ak2,吠,則當(dāng)1時(shí),8(k 1)(2 k 1)2(2k 3)2116(14a

11、nkn)得24(哈11) 11612中1)b.(2k 1)2 18(k 1)Z2- -12-I2(2k 1)(2k 1) (2k 3)(2 k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1) 22(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 3)2 8(k 1)Z 2 -2(2k 1) (2k 3)(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2 2(2k 1)2(2k 3)2-2(2 k 3) 1(2 k 3)222(k 1) 12 1 2 2(k 1) 12由此可知，當(dāng)n k 1時(shí)等式也成立。根據(jù)(1), (2)可知，等式對(duì)任何 n N都成立。-:1 O17解：令h 4ar,則an匯(憂1)一19an1 24(bn1 D，代入 an1即 4b：1 (bn 3)2因?yàn)?bn J1 24an 0,故 bn1，1 24% 1 013則 2bn1 bn 3,即 01: 0 二，22一八，1可化為 0 1 3 1(bn 3),所以bn 3是以b, 3 也 24a1 3 J1 24 1 3 2為首項(xiàng)，以1為公比的等比數(shù) 2列，因此 bn3 2(1)n1(3)n2 ,則 bn(1)n2 3 ,即 J124an (-)n2 3 ,得22222(1)n(1) . 7x 2 2_ 3x 1 18解：令x