基本初等函數(shù)(I)

1、第二章基本初等函數(shù)(I)一、本章的背景初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例、反比例函數(shù)。由于在日常生活、科學(xué)技術(shù)等實際問題中還會碰到除以上函數(shù)外的其它一些函數(shù)，如在自然條件下，細(xì)胞的分裂、人口的增長、生物體內(nèi)碳14 的衰減等變化規(guī)律，可以用指數(shù)函數(shù)模型來研究；地震震級的變化規(guī)律、溶液PH 的變化規(guī)律等可以用對數(shù)函數(shù)模型來研究；正方體的體積與邊長的關(guān)系、理想狀態(tài)下壓強與體積的關(guān)系，可以用冪函數(shù)模型來研究。運用它們解決一些實際問題，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重要目的之一，也是數(shù)學(xué)價值所在。又因為，函數(shù)的變化特征反映了它所刻畫的自然規(guī)律的特征。在高中階段函數(shù)的變化特征的研究主要側(cè)重函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值、特殊

2、點、周期性。因此，在第一章，首先介紹一般函數(shù)的概念及其表示、函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性，奇偶性) ，在此基礎(chǔ)上，以單獨成章形式，進(jìn)一步探討應(yīng)用較為廣泛的三類初等函數(shù)。二、學(xué)習(xí)目的通過這三類函數(shù)的學(xué)習(xí)，目的是進(jìn)一步加深對函數(shù)的理解，豐富函數(shù)內(nèi)涵，再次體會研究函數(shù)的一般思想方法，增強學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，擴展學(xué)生的視野。三、 內(nèi)容和要求上的變化： 主體內(nèi)容變化不大，冪的指數(shù)范圍擴充過程比老教材 更嚴(yán)謹(jǐn)、更科學(xué)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出更可信，對數(shù)、指數(shù)的運算要 求有所削弱，反函數(shù)要求大大降低，復(fù)合函數(shù)很少出現(xiàn)，冪函數(shù)適度控制，信息 技術(shù)應(yīng)用得到重視，章尾小結(jié)提高了

3、思考力度。四、本章的五個特點鞏固性 這章 還是研究函數(shù)，研究的思想方法與第一章一樣，第一章是研究函數(shù)的一般性，本章研究三類具體函數(shù)模型， 通過本章學(xué)習(xí)，達(dá)到 鞏固和深化函數(shù)概念之功效 。 因為對一個概念的理解需要一個過程，需要一串豐富例子在腦子里，支撐這個概念。同樣理解函數(shù)概念也不能一步到位的，需要多次接觸、反復(fù)體會、螺旋上升，逐步加深理解的一個過程，這樣才能真正掌握，靈活應(yīng)用。通過本章學(xué)習(xí)，讓學(xué)生有幾個重要的具體的函數(shù)模型。這些函數(shù)模型應(yīng)根深蒂固的放在學(xué)生頭腦中，這樣可以幫助學(xué)生更全面地認(rèn)識函數(shù)。問題性 本章設(shè)立了 7 個探究、6 個思考及回顧與思考、閱讀與思考、探究與發(fā)現(xiàn)，教材中還有許多提

4、問式，如想一想？為什么？是否有可能成立？這樣編排目的增強學(xué)生問題意識，通過問題激疑，引領(lǐng)學(xué)生去積極思考，體現(xiàn)了新課程所倡導(dǎo)的自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方式，有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)成為在教師指導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。對學(xué)生養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣大有好處。認(rèn)知心理學(xué)把知識分為陳述性知識和程序性知識，而程序性知識是從活動過程、活動方式中表現(xiàn)出來，只能在實踐中通過觀察、模仿和自主活動而獲得，它突出強調(diào)了知識的形成過程，因此，教學(xué)中盡量使學(xué)生去經(jīng)歷，探索、 體驗它們的形成的過程，通過自主探究性活動來培養(yǎng)學(xué)生綜合運用所學(xué)知識的能力，發(fā)展創(chuàng)新精神和實踐能力，是時代發(fā)

5、展的要求。因此，教師的角色要作出相應(yīng)改變。教師的角色在于組織學(xué)生去經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過程， 并在這個過程中與學(xué)生平等地交流和給以恰到好處的點撥。教師的作用，特別要體現(xiàn)在引導(dǎo)學(xué)生思考和尋找眼前的問題與自己已有的知識體驗之間的關(guān)聯(lián)方面，在于提供把學(xué)生置于問題情境之中的機會，在于營造一個激勵探索和理解的氣氛，在于為學(xué)生提供有啟發(fā)性的討論模式。教師要鼓勵學(xué)生表達(dá)， 并且在加深理解的基礎(chǔ)上，對不同的答案開展討論。要引導(dǎo)學(xué)生分享彼此的思想和結(jié)果， 并重新審視自己的想法。教師要善于抓住學(xué)生的想法，不斷啟發(fā)學(xué)生關(guān)注問題的重要方面，及時提示那些出現(xiàn)在學(xué)生中的、新鮮的、有意義的交流實例。應(yīng)用性 當(dāng)今知識經(jīng)濟(jì)時代，

6、數(shù)學(xué)正在從幕后走向臺前。教材選用了大量現(xiàn)實生活中學(xué)生們感興趣、具有開放性、有時代氣息的實例。可以說在每個概念引入都以生活實際問題作為背景而提出，通過大量的情境，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)各類函數(shù)的必要性，不僅如此，本章共54道習(xí)題中應(yīng)用問題占17 題。這樣設(shè)計的教科書使學(xué)生感到親切，推動數(shù)學(xué)教學(xué)活動的結(jié)構(gòu)與呈現(xiàn)方式發(fā)生變化，使數(shù)學(xué)課程更具現(xiàn)實性，讓數(shù)學(xué)走進(jìn)學(xué)生生活，與屬于學(xué)生的世界聯(lián)系得更緊密，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，為數(shù)學(xué)發(fā)展開拓了廣闊前景，同時，也有利于擴展學(xué)生的視野。直觀性 利用函數(shù)圖象直觀形象， 引導(dǎo)學(xué)生觀察到什么？發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？以具體實際問題為背景引出新知識，幫助學(xué)生對概念的理解，借助信

7、息技術(shù)，不僅減少繁瑣計算，同時，有助于改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，而且突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，這樣有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，。文化性 因為函數(shù) 反映客觀世界變量之間變化規(guī)律的一種重要數(shù)學(xué)模型， 模型需要背景和實際事例來支撐， 本章在每個概念學(xué)習(xí)時都從學(xué)生所熟悉而又貼近學(xué)生實際生活事例中提出，說明學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)知識的必要性。教材還安排了閱讀與思考，介紹了對數(shù)的發(fā)明，這樣安排目的，使學(xué)生從對數(shù)的發(fā)明過程看到，社會生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)的需要是數(shù)學(xué)發(fā)展的主動力，建立對數(shù)與指數(shù)之間聯(lián)系的過程表明，使用較好的符號體系對于數(shù)學(xué)的發(fā)展是至關(guān)重要的，數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)符號體系的發(fā)展與完善作出了長期而艱苦的努力。強調(diào)了數(shù)學(xué)

8、是人類文化的重要組成部分，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識、技能、實際應(yīng)用，還應(yīng)當(dāng)認(rèn)識數(shù)學(xué)在社會進(jìn)步、科學(xué)發(fā)展中的作用，體會數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的文化價值，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。 對數(shù)學(xué)文化的感受有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，提高學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)之美，發(fā)揮數(shù)學(xué)的人文教育價值。五、說明與建議：本章重點內(nèi)容是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，五種冪函數(shù)作為了解，通過本章學(xué)習(xí)讓學(xué)生對建立和研究一個函數(shù)的基本過程和方法有一個完整認(rèn)識，同時會運用它們解決一些實際問題。建議在 本章教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生不斷體驗指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實問題中的作用。進(jìn)一步

9、加深對函數(shù)本質(zhì)的理解。應(yīng)注意鼓勵學(xué)生運用現(xiàn)代教育技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決問題，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中如何去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，例如：利用計算器、計算機畫出指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等的圖象，探索、比較它們的變化規(guī)律，研究函數(shù)的性質(zhì)。學(xué)習(xí)本章后，要學(xué)生明白增長速度的三種不同模式：線性增長，指數(shù)增長，對數(shù)增長；指數(shù)把變量的加變成冪的積，對數(shù)是把變量的積變成對數(shù)的和。還要讓學(xué)生知道本章的內(nèi)容在整個函數(shù)中地位，即要整體把握函數(shù)。|癖缶1穌布I:角國跑y=- aac I bI尚卑的稚麗黜四犯席I良U E 件離型！ FT% E卜力強I產(chǎn)i 一 y HHE 一凝函霽dE 際由踞rm：型|卜心工#用 地i制坤會

10、t* M!劃Ig 串、交息 _!_ _ FI六、課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容1 .通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景。2 .理解有理指數(shù)哥的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)哥的意義，掌握哥的運算。3 .理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點。4 .在解決簡單實際問題過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。5 .理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或 常用對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及其對簡化運算的作用。初步理解對數(shù)函數(shù)的概6 .通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系,能借助計算器或計算

11、機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象,念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型; 探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點。7 .知道指數(shù)函數(shù) y= ax與對數(shù)函數(shù)y = logax互為反函數(shù)（a>0,且aw 1）。18 .通過實例，了解哥函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y = x,y =x2,y = x3, y= x2, y= x”的圖象，了解它們的變化情況。七、教學(xué)要求2. 1指數(shù)函數(shù)基本要求了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，認(rèn)識學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的必要性；理解n次方根與n次根式的概念，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的含義，熟練掌握用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)哥表示一個正實數(shù)的算術(shù)根；能運用有理指數(shù)哥的運算性質(zhì)進(jìn)行運算和化簡，會進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的相互轉(zhuǎn)

12、化；通過經(jīng)歷用有理指數(shù)哥逼近無理指數(shù)哥的過程，了解實數(shù)指數(shù)哥的意義；理解指數(shù)函數(shù)的概念和含義；能用描點法或借助計算機(器)畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、特殊點、定義域、值域)；在解決簡單的實際問題過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；發(fā)展要求會求一類與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等；了解 函數(shù)圖象的平移與對稱變換；體會數(shù)學(xué)的逼近、數(shù)形結(jié)合等思想；體驗數(shù)學(xué) 概念的發(fā)生、發(fā)展的過程，在引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括中，培養(yǎng)學(xué) 生的思維能力。說明有關(guān)根式的復(fù)雜運算及繁瑣的根式化簡不必多練。3. 2對數(shù)函數(shù)經(jīng)歷由指數(shù)得到對數(shù)的過程，理解對數(shù)的概念，會熟練地進(jìn)

13、行指數(shù)式基本要求與對數(shù)式的互化；理解對數(shù)的運算性質(zhì)，并能靈活準(zhǔn)確地運用對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行對數(shù)式的化簡與計算；了解對數(shù)的換底公式，能將一般對數(shù)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)的發(fā)明史以及對數(shù)在簡化運算中的作用；理解對數(shù)函數(shù)的概念；能用描點法或借助計算機(器)畫出對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、特殊點、單調(diào)性)；通過實例，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；了解指數(shù)函數(shù) y=ax (a> 0, aw 1)與對數(shù)函數(shù) y = loga x (a> 0, a 豐1)是互為反函數(shù)。發(fā)展要求能研究一些與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等；知道y -a (a&g

14、t;0,aw 1)與對數(shù)函數(shù) y - loga x (a> 0,aw 1)的圖象關(guān)于直線 y=x 對稱；體會化歸、數(shù)形結(jié)合、類比、分類討論等數(shù)學(xué)思想。說明不必去討論形式化的反函數(shù)定義，也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)。2. 3 幕函數(shù)基本要求了解哥函數(shù)的概念。掌握以卜五種募函數(shù)的圖象和性質(zhì)11232y = x, y =x , y = x，丫 =4,y = x2發(fā)展要求了解哥函數(shù)y=x° (口為有理數(shù))的圖象特征。說明不必在一般的哥函數(shù)上作引伸和作過多的介紹。八、教學(xué)建議1.課時分配(14課時)2.1.1引言、指數(shù)與指數(shù)塞的運算約3課時2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)約3課時2.2.1對數(shù)與

15、對數(shù)運算約3課時2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)約3課時2.3哥函數(shù)約1課時小結(jié)約1課時2 .重點難點2.1 節(jié)的重點是指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。難點是對非整數(shù)指數(shù)哥意義的了解，特 別是對無理指數(shù)哥意義的了解。2.2 節(jié)的教學(xué)重點是對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。難點是理解對數(shù)的概念，以及對數(shù) 函數(shù)性質(zhì)的歸納。2.3 節(jié)的教學(xué)重點是從五個具體備函數(shù)中認(rèn)識哥函數(shù)的基本性質(zhì)。難點是畫五個哥函數(shù) 的圖象并由圖象概括其性質(zhì)。3 .分析說明本章教學(xué)時，可先引領(lǐng)學(xué)生閱讀章頭圖、章引言以及問題1、問題2,從而說明學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、募函數(shù)以及擴張指數(shù)范圍的必要性。根式的概念是后繼學(xué)習(xí)所必需的，比較重要。要通過復(fù)

16、習(xí)和舉實例，讓學(xué)生真正理解：當(dāng)n為偶數(shù)時，n(nC N*,n > 1)次方根及運算性質(zhì)，實際上就是平方根及運算性質(zhì)的推廣；當(dāng)n為奇數(shù)時，n(nC N*,n > 1)次方根及運算性質(zhì)，實際上就是立方根及運算性質(zhì)的推廣。通過對問題“等式 七打 =a 一定成立嗎？ ”的探究，可培養(yǎng)學(xué)生自主探究精神和感受分類 討論思想?！胺?jǐn)?shù)指數(shù)哥”教學(xué)時，可向?qū)W生說明，指數(shù)概念由整數(shù)集擴展到有理數(shù)集時，為避免產(chǎn)生歧義需要對底數(shù) a加以限制，即規(guī)定 a> 0。否則的話，會引起矛盾。要更好的理解分 數(shù)指數(shù)哥的意義和學(xué)會根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)哥之間的相互轉(zhuǎn)化，應(yīng)多舉些實例，而要認(rèn)識和理解分?jǐn)?shù)指數(shù)募運算性質(zhì)的合理

17、性，則要經(jīng)過一番練習(xí)。 在進(jìn)行根式運算時， 應(yīng)先將根式化成有 理數(shù)數(shù)哥，再進(jìn)行運算。“無理指數(shù)嘉”的教學(xué)，可讓學(xué)生進(jìn)一步體會“無限逼近”的思想，建議指導(dǎo)學(xué)生利用 計算器或計算機進(jìn)行實際操作，親歷逼近的過程?！爸笖?shù)函數(shù)”教學(xué)時，通過對問題1、2中的兩個函數(shù)的比較，抽象概括出指數(shù)函數(shù)的一般形式，這樣既可體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型，又可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的欲望。課本用列表描點繪圖法僅給出兩個具體的指數(shù)函數(shù)的圖象，建議引導(dǎo)學(xué)生再畫幾個具體的指數(shù)函數(shù)的圖象。有條件的學(xué)校，最好利用信息技術(shù)繪圖。指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)放手讓學(xué) 生通過觀察圖象，自己歸納概括。例 7是用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個值(哥)的大

18、小，其 目的是熟悉指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，同時使學(xué)生形成用函數(shù)觀點解決問題的意識。通過例7,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)比較兩哥的大小的兩種類型(同底和不同底) 及相應(yīng)的解決方法。 例8的教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的思維過程，以及歸納、總結(jié)的一般方法，還可讓學(xué)生自己舉 一些指數(shù)函數(shù)模型在實際生活中的應(yīng)用的例子。通過例8后面所附問題的“探究“，使學(xué)生初步感受到“按指數(shù)增長”是怎樣變化的?！皩?shù)與對數(shù)的運算”教學(xué)時，先通過具體實例，讓學(xué)生知道研究對數(shù)的必要性。ab=N 與b=l0gaN是等價的，即它們所表示的是a、b、N三個量之間的同一關(guān)系。按課標(biāo)和教材的要求，只要求理解以下對數(shù)的計算公式就可以了： 10ga1

19、=0,(a>0,awl)(2)1ogaa-1(a>0,awl);loga (MN) =1oga M 1oga N a'7»a »a (a> 0,aw 1,M > 0,N > 0);M(4)log a =1ogaM log a N (a> 0,aw 1,M>0,N>0); N(5) log a M n = n log a M . (a> 0,aw 1,M > 0,N > 0, n C R)； logcb(6) loga b = (a > 0,aw 1;c > 0,c w 1;b > 0)。logc a對上述公式的教學(xué)，可先通過具體實例驗證，證明時要注意展現(xiàn)類比聯(lián)想、觀察驗證、 推理證明的過程，還要注意上述公式成立的條件，并能靈活地用來簡化對數(shù)計算。通過上述公式(6)(換底公式)的應(yīng)用，可讓學(xué)生再次體會化歸