正交實驗法及其應用

1、正交實驗法及其應用 為了研制新產(chǎn)品，提高產(chǎn)品的質(zhì)量和數(shù)量，降低原材料消耗，都需要做試驗。一項試驗如何安排，就得選擇方法。一個好的試驗方法，只要用少量試驗既能得到較好的效果和分析出較為正確的結論；如果試驗方法不好，不但試驗次數(shù)多，而且結果還不一定理想。正交試驗法就是利用一套規(guī)格化的表(正交表)來安排試驗方案，使得試驗次數(shù)盡可能地少；并通過對試驗數(shù)據(jù)的簡單分析，有助于我們在復雜的影響因素中抓住主要因素，從而找出較好的實驗方案?！罢辉囼灧ā睉玫姆秶浅V泛，現(xiàn)已成為比較簡便、易行的一種應用數(shù)學方法。這里分兩部分：簡單介紹正交試驗的基本方法和利用該方法對蘆薈多糖提取條件進行優(yōu)化。其中第一部分包括：

2、正交試驗法解決的問題；涉及的相關術語；如何用正交表安排試驗以及怎樣分析試驗結果。另外，有時試驗過程中不僅因素的水平變化對指標有影響，而且，有些因素間各水平的聯(lián)合搭配對指標也產(chǎn)生影響，這種聯(lián)合搭配作用稱為交互作用，這里不作介紹。第二部分應用正交實驗法對蘆薈多糖提取條件進行了優(yōu)化，得到很好的試驗結果，大大加快了試驗的進程，并節(jié)約了試驗的耗材。第一部分正交試驗的基本方法一、 什么是“正交試驗法” 采用什么樣的實驗設計方案能夠做到優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn)、低稍耗？要使實驗順利進行應該改進哪些實驗條件？由于實驗結果是受許多方面的因素的影響，往往需要進行試驗來增加對具體實驗的認識，以便摸索其中的規(guī)律性。 凡是要做試驗就

3、存在著如何安排試驗和如何分析試驗結果的問題?？茖W的實驗安排應能做到兩點：1)在試驗安排上盡可能地減少試驗次數(shù) 2)在進行較少次數(shù)試驗的基礎上，能夠利用所得到的試驗數(shù)據(jù)，分析出指導下一步實驗的正確結論，并得到較好的結果。 “正交試驗法”就是一種科學地安排與分析多因素試驗的方法。下面通過一個例子初步說明一下它是解決什么問題的。例. 研究人參皂苷的提取工藝試驗。根據(jù)經(jīng)驗，乙醇用量、乙醇濃度、提取時間、回流次數(shù)等對人參皂苷的提取有顯著影響。所以在提取過程中需要考察乙醇用量()、乙醇濃度 ()、回流時間 ()、回流次數(shù) ()這四個因素。每個因素比較三種不同的條件（見表）試驗考察因素試驗比較條件乙醇用量（

4、A單位：倍）456乙醇濃度（B單位：%）606570回流時間（C單位：min）304560回流次數(shù)（D單位：次）468 類似這樣的問題，在實驗中經(jīng)常遇到。這類問題稱之為多因素試驗問題?！罢辉囼灧ā闭墙鉀Q這類問題的行之有效的一種方法。 為了敘述的方便，下面介紹一下涉及到的術語和符號。一般，把試驗需要考察的結果稱為指標。如產(chǎn)品的性能、質(zhì)量、成本、產(chǎn)量等均可做為衡量試驗效果的指標。本例中的人參皂苷的量就是試驗的指標。把在試驗中要考察的對試驗指標可能有影響的因素簡稱為因素。本例中的乙醇用量()、乙醇濃度 ()、回流時間 ()、回流次數(shù) ()就是四個因素。把每個因素在試驗中要比較的具體條件稱為水平。

5、如4、5、6就是乙醇用量這個因素的三個水平，60、65、70就是乙醇濃度這個因素的三個水平。 例1中共有四個因素，每個因素都是三個水平，稱之為三水平四因素試驗，簡記為34型試驗。為了書寫方便，我們引入了一些符號。通常用大寫字母A、B、C、D等代表因素。用在字母右下方加足標1、2、等表示因素的不同水平，本例中A1，表示A因素取“1”水平即取4，B2表示B因素取“2”水平，即取65，。這樣，我們可以把例1中的因素水平寫成：A1=4；A2=5；A3=6。在選定了因素、水平之后，很自然地要考慮試驗怎樣進行的問題。在我們所舉的例題中共有四個三水平的因素，各因素所取的水平之間全部可能的搭配有3x 3x 3

6、x 33481種。當然，我們?nèi)绨迅饕蛩厮∷介g全部可能搭配的全面試驗作完，就可以選出其中最好的試驗條件。但是，每次都做全面試驗不僅是不必要的，而且當因素、水平取得較多時，往往也是不可能做到的。因此，我們希望只選做其中的一部分試驗，就能相當好地反映全面試驗可能出現(xiàn)的各種情況，以便從中選出較好方案。 那么，究竟選則哪一部分試驗才能反映全面的情況呢?顯然，隨手拈來幾個試驗是不可能滿足上述要求的?！罢辉囼灧ā本湍軌驇椭覀冞x擇一部分有代表性的試驗方案，并給出了科學地分析試驗結果的方法。利用“正交試驗法”可以解決多因素、多水平及多指標這一類的試驗問題。采用“正交試驗法”雖然試驗次數(shù)比較少，但同樣能夠

7、明確回答下面的幾個問題：1 因素的主次。如例1中所考察的四個因素中哪個是影響產(chǎn)量的主要因素，哪個是比較次要的，哪些是影響很小的。2 因索與指標的關系。如例1中每個因紊各取不同水平時產(chǎn)量是怎樣變化的。3 什么是較好的生產(chǎn)條件。也就是例l中所考察的四個因素各取什么水平能獲得較滿意的產(chǎn)量。4 進一步試驗的方向。因素水平確定之后，全面試驗的次數(shù)可由各因素水平數(shù)的乘積算得。如本例中有三水平因素四個，所以全面試驗的次數(shù)為3x 3x 3x 3=81。如另一試驗為二水平五因素試驗那么全面試驗的次數(shù)應為2×2x 2x 2x 232。二、用正交法安排試驗前面介紹了“正交試驗法是解決什么樣問題的?！罢辉?/p>

8、驗法”是用正交表安排試驗的。這部分敘述如何用正交表安排試驗。根據(jù)試驗的目的，確定了試驗指標，例1中指標為人深皂苷產(chǎn)量，又分析了可能影響指標的因素，選取了各因素的水平于是可以列出因素水平表。例1的因素水平表(見表11)如下。在確定了因素、水平之后，就要選一張合適的正交表來安排試驗方案。為此，先介紹一下正交表。表l2是一張正交表，記為L9(34)。其符號和數(shù)字的意義是除了L9(34)之外，還有一些常用的正交表，如，二水平表有L4(23)、L8(27)、L16(215)，三水平表還有L27(318)，等(可見有關書中的附錄)，其中的符號和數(shù)字的含義與L9(34)類似。 例1是一個三水平試驗，應該從三

9、水平表L9(34)、L27(318)中選一張比較合適的表。例1中只有四個因素，這兩張表都至少有四個列。因此都可用來安排這個試驗。選用它們則分別要做9次、27砍試驗。我們要求盡量少做試驗，L9(34)表正好可以安排四個因素，所以就選用這張表。 怎樣用它來安排試驗呢?具體做法很方便，只要把A、B、C、D四個因素分別填在表中的1、2、3、4列的上方就行了。這叫做排表頭。一按說來，一列只排一個因素，不要排兩個，就是說不要“混雜”，至于哪一個因素排在四一列上是可以任意的。但是，表頭一旦排定，試驗方案也就由正交表完全確定了。表l3給出了例1中四個因素的一種排法。把表13中各列的數(shù)字“l(fā)”、“2”、“3”分

10、別看作所填因素在各號試驗中的水平，就可以寫出這個方案所要做的九次試驗的具體條件了。例如，第一行就是第一號試驗A因素下面表中的數(shù)字為“1”(見表I-4)，就是說A因素應取“1”水平A1。其它因素下面表中的數(shù)字均為“1”，就是說共余因素也應取“l(fā)”水平B1C1D1。所以第一號試驗的條件就是A1B1C1D1。同樣，可以寫出其余各號試驗的條件。我們將這九次試驗的條件分別寫出是：我們把翻譯好的試驗條件列成試驗方案表(見表15)。表1-5 試驗方案表 因素試驗號乙醇用量（A單位：倍）乙醇濃度（B單位：%）回流時間（C單位：min）回流次數(shù)（D單位：次）146030424654563470608456045

11、855656046570306766060686653089670454從表13決定的試驗方案可以看出，用正交表安排試驗有下述兩個特點：(1)每個因素的各個不同水平在試驗中出現(xiàn)了相同的次數(shù)。 例如A因素的“1”水平出現(xiàn)在第1、2、3號試驗中，“2”水平出現(xiàn)在第4、5、6號試驗中，“3”水平出現(xiàn)在第7、8、9號試驗中，每個水平各出現(xiàn)三次。又如C因素的“1”水平出現(xiàn)在第1、6、8號試驗中，“2”水平出現(xiàn)在第2、 4、9號試驗中，“3”水乎出現(xiàn)在第3、5、7號試驗中，每個水平各出現(xiàn)三次。其它因素也是一樣。(2)任何兩個因素的各種不同水平的搭配，在試驗中都出現(xiàn)了，并且出現(xiàn)了相同的次數(shù)。 例如A與B兩個

12、因素的不同水平的全部搭配A1B1、A1B2、AlB3、A2B1、A2B2 、A2B3、A3B1、A3B2、A3B3，分別出現(xiàn)在第1至第9號試驗里，每種搭配只出現(xiàn)一次。同樣，B與D兩個因素的不同水平的全部搭配B1D1、B1D2、B1D3，B2D1、B2D2，B2D3、B3D2、B3D3，分別出現(xiàn)在第1、7、4、5、2、8、9、6、3號試驗中，每種搭配只出現(xiàn)一次。表中的任何兩個因素均滿足。由于上述特點，“正交試驗法”安排的試驗方案是有代表性的，能夠比較全面地反映各因素各水平對指標影響的大致情況。因此，用“正交試驗法”安排試驗就能夠減少試驗次數(shù)。根據(jù)試驗的目的、要求確定指標、因素和水平后，選擇合適的

13、正交表排表頭，寫出試驗方案表，以上是整個試驗的第一階段叫做安排試驗。三、用正交表分析試驗結果一極差分析根據(jù)表15排好的試驗方案，按各號試驗規(guī)定的試驗條件，進行了人參皂苷的提取工藝試驗，并把收口后的組合件進行拉脫試驗后，得到了九個拉脫力數(shù)據(jù)。將它們填入jI(34)表右側數(shù)據(jù)攔內(nèi)(見表l6)?，F(xiàn)在，我們從九個試驗數(shù)據(jù)出發(fā)，利用正交表來分析試驗結果。表l6首先分析因素A。因素A排在第1例，所以，要從第1列來分析。如果把包含A因素“1”水平的三次試驗(第1、2、3號試驗)算做第一組，同樣，把包含A因素“2”水平、“3”水平的各三次試驗(第4、5、6號及第7、8、9號試驗)分別算第二組、第三組。那么，九

14、次試驗就分成了三組。在這三組試驗中，各因素的水平出現(xiàn)的情況見表17，由表17可以看出，在Al、A 2、A3各自所在的那組試驗中，其它因素(B、C、D)的1、2、3水平部分別出現(xiàn)了一次。把第一組試驗得到的試驗數(shù)據(jù)相加，即將第一列l(wèi)水平所對應的第1、2、3號試驗數(shù)據(jù)相加(見表l6)，其和記作I。 I=3.27+4.14+4.30=11.71把第二組試驗得到的數(shù)據(jù)相加，即將第一列2水平所對應的第4、5、6號試驗數(shù)據(jù)相加，其和記作II。 II4.36十4.29十4.39=13.04 同樣，將第一列3水平所對應的第7、8、9號試驗數(shù)據(jù)相加，其和記作III。III5.15十5.22十5.5215.89于是

15、、就可以將I看作是這樣三次試驗的數(shù)據(jù)和，即在這三次試驗中，只有A1水平出現(xiàn)三次，而B、C、D三個因素的l、2、3水平各出現(xiàn)一次(見表17)，數(shù)據(jù)和I反映了三次A1水平的影響，和B、C、D每個因素的1、2、3水平各一次的影響。同樣，II(III)反映了三次A2(A3)水平及B、C、D每個因素的三個水平各一次的影響。比較I、II、III的大小時，可以認為B、C、D對I、II、III的影響大體相同的。因此，可以把I、II、III之間的差異看作是由于A取了三個不同的水平而引起的。用同樣的方法分析因素B。B因素排在第2列，所以要從第2列來分析。把包含B1水平的第1、4、7號試驗數(shù)據(jù)相加記作I，把包含B2

16、水平的第2、5、8號試驗數(shù)據(jù)相加記作II。把包含B3水平的第3、6、9號試驗數(shù)據(jù)相加記作III。計算結果如下：I=3.27+4.36+5.15=12.78II=4.14+4.29+5.22=13.65III=4.30+4.39+5.52=14.21同樣，在B因素取某一水平的三次試驗中，其它A、C、D的三個水平也是各出現(xiàn)一次。所以，按第二列計算的I、II、III之間的差異同樣是由于B取了三個不同的水平而引起的。 按照這個方法，我們便可把各因素的I、II、III計算出來?？傊?，按正交表各列計算的I、 II、III數(shù)值的差異，就反映了各列所排因素取了不同水平對指標的影響。 在計算完各列的I、II、I

17、II之后，還要把每一列的I、II、III中最大值和最小值之差算出來，我們把這個差值叫作極差，記作R。這樣，使可算出這四列(即四個因素)的極差，結果如下：第一列(A因素) R=15.89-11.714.18；第二列(B因素) R14.21-12.781.43； 第三列(C因素) R14.02-12.881.14； 第四列(D因素) R13.88-13.080.8。 每一列算出的極差大小、反映了該列所排因素選取的水平變動對指標影響的大小。至此，計算了各列的I、 II、IIII及R，并把這些結果填入表16的相應位置上。這樣，就完成了試驗數(shù)據(jù)的計算這一步。根據(jù)這些計算結果就可以回答在第一節(jié)末尾提出的四

18、個問題。1)各因素對指標的影響誰主誰次呢? 根據(jù)極差R這一欄的數(shù)據(jù)可知，第1列A較大，第四列D最小。這反映了因素A水平變動時，指標波動最大，因素D的水平變動時，指標波動很小。由此可根據(jù)極差的大小順序排出因素的主次順序： 主一次 A； B、 C； D(這里，R值相近的因素用“、”號隔開，而R值相差較大的因素用“；”號隔開；另外，還可以用圖形直觀地描述這些關系。)。 2)各因素取什么水平好呢? 選取因素的水平是與要求的指標有關的。要求的指標越大越好，應該取使指標增大的水平，即各因素I、II、III中最大的那個水平。反之，加要求的指標越小越好，則取其中最小的那個水平。例1的試驗目的是提高產(chǎn)量，所以應

19、該挑選每個因素I、II、III中最大的那個水平，即A3、B3、C2、D3。（也可從所作的圖上挑出各因素圖形中最高點的水平得到。） 3)什么是較好的生產(chǎn)條件? 各因素的好水平加在一起，是否就是較優(yōu)生產(chǎn)條件?從I、 II、III的計算可以看出，各因素選取的水平變動時，指標被動的大小，實際上是不受其它因素的水平變動影響的。所以，把各因素的好水平簡單地組合起來就是較好生產(chǎn)條件。但是，實際上選取較好生產(chǎn)條件時，還要考慮因素的主次，以便在同樣滿足指標要求的情況下，對于一些比較次要的因素按照優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn)、低消耗的原則選取水平，得到更為結合生產(chǎn)實際要求的較好生產(chǎn)條件。 對于主要因素，一定要按有利于指標的要求選取

20、水平(即取計算結果選出的好水平)。而次要因素可同時考慮其它指標。例l中對于次要因素D，就可根據(jù)其它方面的要求選取水平。最后決定選D2。較優(yōu)生產(chǎn)條件是：A3B3C2D2即：最佳提取工藝為藥材加倍量%乙醇 ,提取次 ,每次。 需要指出的是，例1中得到的較好生產(chǎn)條件，恰恰不包括在已做過的九次試驗中。這是由于使用正交表安排的九個試驗是有代表性的，能夠比較全面地反映四個因素各個水平對產(chǎn)量的影響，在對試驗數(shù)據(jù)進行了計算分析后，再從較好的搭配中挑出更好的生產(chǎn)條件，這樣就不會漏掉。 4)各因素的水平變化時，指標的變化規(guī)律怎祥呢? 從數(shù)據(jù)或圖中分析可以看出，因素A、B、D隨著值的增加產(chǎn)量是逐漸提高的。其中，A、B增加較顯著，因此在進一步作試驗還有希望進一步提高；而D的影響到D3時已經(jīng)不夠明顯，且增加了試驗