步步高江蘇專用理高三數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí)與增分策略專題七坐標(biāo)系與參數(shù)方程

1、第3講坐標(biāo)系與參數(shù)方程【高考考情解讀】高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時(shí)考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識(shí)高考中以解答題形式出現(xiàn)，中檔難度，分值為10分1 直線的極坐標(biāo)方程若直線過點(diǎn)M(0，0)，且極軸到此直線的角為，則它的方程為：sin()0sin(0)幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程(1)直線過極點(diǎn)：；(2)直線過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸：cos a；(3)直線過M且平行于極軸：sin b.2 圓的極坐標(biāo)方程若圓心為M(0，0)，半徑為r的圓方

2、程為：220cos(0)r20.幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程(1)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：r；(2)圓心位于M(r,0)，半徑為r：2rcos ；(3)圓心位于M，半徑為r：2rsin .3 常見曲線的參數(shù)方程(1)圓x2y2r2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)圓(xx0)2(yy0)2r2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(3)橢圓1的參數(shù)方程為(為參數(shù))(4)拋物線y22px的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(5)過定點(diǎn)P(x0，y0)的傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))4 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角

3、坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(，)，則，.考點(diǎn)一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例1在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是cos()3和sin28cos ，直線l與曲線C交于點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)解cos()cos cos sin sin cos sin 3，直線l對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲線C對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程是y28x.解方程組，得或，所以A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.即線段AB的長(zhǎng)為16. (1)在由點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的范圍，否則點(diǎn)的極坐標(biāo)將不唯一(2)在與曲線的方程進(jìn)行互化

4、時(shí)，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性 (1)(2012陜西改編)求直線2cos 1與圓2cos 相交的弦長(zhǎng)解直線2cos 1可化為2x1，即x；圓2cos 兩邊同乘得22cos ，化為直角坐標(biāo)方程是x2y22x.將x代入x2y22x得y2，y.故弦長(zhǎng)為2.(2)(2012湖南)在極坐標(biāo)系中，曲線C1：(cos sin )1與曲線C2：a(a0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，求a的值解(cos sin )1，即cos sin 1對(duì)應(yīng)的普通方程為xy10，a(a0)對(duì)應(yīng)的普通方程為x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.將代入x2y2a2得a.考點(diǎn)二參數(shù)方程與普通方程的互化例2(1)(2013江蘇

5、)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo)解因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，由xt1得tx1，代入y2t，得到直線l的普通方程為2xy20.同理得到曲線C的普通方程為y22x.聯(lián)立方程組解得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)，.(2)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓y21上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值解由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，故直線l的普通方程為x2y0.因?yàn)镻為橢圓y21上的任意一點(diǎn)，故可設(shè)P(2cos ，sin )，其中R.因此點(diǎn)P到直線l的距離是d.所以當(dāng)k，

6、kZ時(shí)，d取得最大值. (1)參數(shù)方程化為普通方程，主要用“消元法”消參，常用代入法、加減消元法、利用三角恒等式消元等在參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意保持同解變形(2)參數(shù)方程思想的應(yīng)用，不僅有利于曲線方程的表達(dá)，也成為研究曲線性質(zhì)的有力工具，如在求軌跡方程、求最值的問題中有廣泛的應(yīng)用 (1)(2013廣東改編)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，C在點(diǎn)(1,1)處的切線為l，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求l的極坐標(biāo)方程解由(t為參數(shù))，得曲線C的普通方程為x2y22.則在點(diǎn)(1,1)處的切線l的方程為y1(x1)，即xy20.又xcos ，ysin ，故l的極坐標(biāo)方程為

7、cos sin 20.(2)(2013課標(biāo)全國(guó))已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t與t2(02)，M為PQ的中點(diǎn)求M的軌跡的參數(shù)方程；將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)解依題意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)，02)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d(0b0)，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為sin()m(m為非零常數(shù))與b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓

8、O相切，求橢圓C的離心率解橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，直線l的標(biāo)準(zhǔn)方程為xym，圓O的方程為x2y2b2，由題意知，a2b22b2，a23b2，e.(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線C2的極坐標(biāo)方程為(cos sin )1，若曲線C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)求線段AB的長(zhǎng)；求點(diǎn)M(1,2)到A、B兩點(diǎn)的距離之積解由曲線C1的參數(shù)方程可得曲線C1的普通方程為yx2(x0)，由曲線C2的極坐標(biāo)方程可得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為xy10，則曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，將其代入曲線C1的普通方程得t2t20，設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分

9、別為t1、t2，則t1t2，t1t22，所以AB|t1t2|.由可得MAMB|t1t2|2.1 解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程或?qū)?shù)方程化為普通方程，有助于對(duì)方程所表示的曲線的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的，這是化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用在涉及圓、橢圓的有關(guān)最值問題時(shí)，若能將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)表示出來，借助相應(yīng)的參數(shù)方程，可以有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算，從而提高解題的速度2 極坐標(biāo)方程與普通方程互化核心公式：，.3 過點(diǎn)A(0，0) ，傾斜角為的直線方程為sin()0sin(0)特別地，過點(diǎn)A(a,0)，垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程為cos a.平行于極軸且過點(diǎn)A(b，)的直

10、線l的極坐標(biāo)方程為sin b.4 圓心在點(diǎn)A(0，0)，半徑為r的圓的方程為r2220cos(0)5 重點(diǎn)掌握直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))，理解參數(shù)t的幾何意義.1 在極坐標(biāo)系中，求過圓6cos 的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程解把6cos 兩邊同乘以，得26cos ，所以圓的普通方程為x2y26x0，即(x3)2y29，圓心為(3,0)，故所求直線的極坐標(biāo)方程為cos 3.2 已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長(zhǎng)度單位相同直線l的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)P(1cos ，sin )，參數(shù)0,2)(1)求點(diǎn)P軌跡的直角坐標(biāo)方程；(2)求點(diǎn)P到直線l距離的最大值解

11、(1)由得點(diǎn)P的軌跡方程(x1)2y21.(2)由，得，sin cos 9.曲線C的直角坐標(biāo)方程為xy9.圓(x1)2y21的圓心(1,0)到直線xy9的距離為4，所以(PQ)min41.(推薦時(shí)間：60分鐘)1 (2013湖南改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l1：(s為參數(shù))和直線l2：(t為參數(shù))平行，求常數(shù)a的值解由消去參數(shù)s，得x2y1.由消去參數(shù)t，得2xaya.l1l2，a4.2 (2012江蘇)如圖，在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P，圓心為直線sin與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程解在sin中令0，得1，所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)P，所以圓C的半徑PC1，于

12、是圓C過極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為2cos .3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓(為參數(shù))的右焦點(diǎn)，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程解由題設(shè)知，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a5，短半軸長(zhǎng)b3，從而c4，所以右焦點(diǎn)為(4,0)將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x2y20.故所求直線的斜率為，因此其方程為y(x4)，即x2y40.4 (2013重慶改編)在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系若極坐標(biāo)方程為cos 4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)解將極坐標(biāo)方程cos 4化為直角坐標(biāo)方程得x4，將x4代入得t2，從而y8.所以A(4,8)，B(4，8

13、)所以AB|8(8)|16.5 在極坐標(biāo)系中，已知圓2cos 與直線3cos 4sin a0相切，求實(shí)數(shù)a的值解將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得圓的方程為x2y22x，即(x1)2y21，直線的方程為3x4ya0.由題設(shè)知，圓心(1,0)到直線的距離為1，即有1，解得a8或a2.故a的值為8或2.6 求直線關(guān)于(R)對(duì)稱的直線方程解直線化為直角坐標(biāo)方程為3x2y5，化為直角坐標(biāo)方程為yx，則3x2y5關(guān)于yx對(duì)稱的直線方程為3y2x5，化為極坐標(biāo)方程為3sin 2cos 5，即.7 在極坐標(biāo)系中，P是曲線12sin 上的動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線12cos上的動(dòng)點(diǎn)，試求PQ的最大值解12sin ，212s

14、in ，x2y212y0，即x2(y6)236.圓心坐標(biāo)為(0,6)，半徑為6.又12cos，212(cos cossin sin)，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236，圓心坐標(biāo)為(3，3)，半徑為6.(PQ)max6618.8 已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為4sin ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為(R)，曲線C1，C2相交于點(diǎn)M，N.(1)將曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求線段MN的長(zhǎng)解(1)由4sin ，得24sin ，即曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2y24y0，由(R)得，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為yx.(2)把yx代入x2y24y0，得x2x2x0，即x2x0，解得x1

15、0，x2，y10，y21.MN2.即線段MN的長(zhǎng)為2.9 (2013遼寧)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系圓C1，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為4sin ，cos2.(1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù))，求a，b的值解(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2(y2)24，直線C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.解得所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一(2)由(1)可得，P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,2)，(1,3)故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為xy20，由參數(shù)方程可得yx1，所以解得a1，b2.10(2012遼寧)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：x2y24，圓C2：(x2)2y24.