數(shù)列的解答題(綜合提升篇)(共19頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題三 數(shù)列的解答題以等差數(shù)列和等比數(shù)列綜合題【背一背重點知識】1等差數(shù)列及等比數(shù)列的廣義通項公式：；2一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則這個數(shù)列必是非零常數(shù)列；3等差數(shù)列及等比數(shù)列前n項和特征設法：【講一講提高技能】1必備技能：涉及特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）一般用待定系數(shù)法，注重研究首項及公差或公比；由原數(shù)列抽取或改變項的順序等生成新數(shù)列，一般注重研究生成數(shù)列在新數(shù)列及原數(shù)列的對應關系，通常用“算兩次”的思想解決問題2典型例題：例1【2018廣東省深中、華附、省實、廣雅四校聯(lián)考】已知等差數(shù)列的前項和為，（I）求的值；（II）求數(shù)列的前項和【答案】（I）1；（

2、II）【解析】【試題分析】（I）利用化簡已知得，這是一個等差數(shù)列，由此求得的通項公式，再利用求得，用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值（II）由（I）求得是個等差數(shù)列，故用裂項求和法求得數(shù)列的前項和【試題解析】（II） 由（I）可得，所以所以，即【方法點晴】本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念，以及數(shù)列的求和，屬于高考中常考知識點，難度不大；常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項相消法類似于，錯位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等例2【2018河北滄州高三上學期教學質(zhì)量監(jiān)測】在等差數(shù)列中，（）求數(shù)列的通項公式；（）設數(shù)列是首項為1，公比為的

3、等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和【答案】（I）；（II）當時，；當時，試題解析：解：（）設等差數(shù)列的公差為，則，解得數(shù)列的通項公式為（）數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，即當時，；當時，【名師點睛】等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q1或q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形而導致解題失誤【練一練提升能力】1【2018百校聯(lián)盟TOP20一月聯(lián)考（全國卷）】正項數(shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，（I）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（II）令，求數(shù)列的前項和【答案】（I）證明見

4、解析，（II）【解析】試題分析：（I）將條件整理可得，可得，從而證得數(shù)列是等比數(shù)列，求出后根據(jù)題意可得，進而求得（II）由（I）得，根據(jù)數(shù)列通項公式的特點，對數(shù)列求和時先分組，再分別用錯位相減求和及公式求和可得結果試題解析：（I）由題可得，又， 數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列 ， ，由題意得，解得（II）由（I）得，令 ，則，得所以2【2018四川綿陽南山中學高三二診熱身考試】已知等差數(shù)列中，公差，且成等比數(shù)列（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若為數(shù)列的前項和，且存在，使得成立，求的取值范圍【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）由題意可得解得即可求得通項公式；（II），裂項相消求和

5、，因為存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立求出的最大值即可解得的取值范圍試題解析：（I）由題意可得即又因為，所以所以（II）因為，所以 因為存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立又（當且僅當時取等號）所以，即實數(shù)的取值范圍是以求遞推數(shù)列的通項公式和求和的綜合題【背一背重點知識】1234求和方法：累加、累乘、裂項相消、錯位相減【講一講提高技能】1必備技能：會由與的關系求數(shù)列通項；會對原數(shù)列適當變形構成一個特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列），進而求出原數(shù)列通項；能根據(jù)數(shù)列通項特征，選用對應方法求數(shù)列前n項的和2典型例題：例1【2018江西臨川二中、新余四中高三1月聯(lián)合考試

6、】已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，（I）求數(shù)列和的通項公式；（II）令，設數(shù)列的前項和，求【答案】（I） ；（II）試題解析：（I）設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，由，得解得，（II）由，得，則為奇數(shù)時，為偶數(shù)時， 【方法點睛】裂項相消法適用于形如（其中數(shù)列各項均不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列，一類是常見的有相鄰兩項的裂項求和，如本題；另一類是隔一項的裂項求和，如或例2【2018廣東珠海市高三3月質(zhì)量檢測】已知數(shù)列的前項和為，滿足，（I）求數(shù)列的通項；（II）令，求數(shù)列的前項和【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）第（I）問，一般利用項和公式求數(shù)列的通項（II）第（II

7、）問，一般利用錯位相減求數(shù)列的前項和試題解析：（I），-得， ，時，即時，數(shù)列是為首項，為公比的等比數(shù)列，（II） ，則， ， ，-得 = 【名師點睛】數(shù)列求和方法中有兩類方法是對應于特定的數(shù)列，如是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列的前項是用錯位相減法求得，數(shù)列的前項和是用裂項相消法求得特定的數(shù)列，特定的方法一定要記住【練一練提升能力】1【2018福建福州高三3月質(zhì)量檢測】已知等差數(shù)列的前項和為，且（I）求；（II）若，求數(shù)列的前項和【答案】（I）（II） 【解析】試題分析：（I）利用等差數(shù)列基本公式求得通項公式；（II）由可知，利用錯位相減法求和或待定系數(shù)法求和試題解析：（I）設等差數(shù)列的公差為

8、，因為，所以，所以，解得所以（II）由（I）知，所以，所以，所以，所以，解得，所以，所以2【2018河南濮陽市高三一?！恳阎獢?shù)列是等差數(shù)列，（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若數(shù)列為遞增數(shù)列，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和【答案】（I）；（II）（II）若數(shù)列為遞增數(shù)列，則，所以，所以，所以，所以解答題（共10題）1【2018四川高三“聯(lián)測促改”活動聯(lián)考】已知數(shù)列滿足：，（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項；（II）設，數(shù)列的前項和為，求證：【答案】（I）；（II）見解析【解析】試題分析：（I）由題意可得遞推關系：，整理可得：，即是等比數(shù)列，結合首項可得，（II）結合（I）整理數(shù)列的通項公式可得：

9、，裂項求和有試題解析：（I）解：由知，代入得：，化簡得：，即是等比數(shù)列，又，則，進而有（II）證明：由于，所以2【2018湖北武漢武昌區(qū)高三1月調(diào)研】已知數(shù)列的前項和（I）求數(shù)列的通項公式；（II）令，求數(shù)列的前項和【答案】（I）；（II）【解析】【試題分析】（I）利用公式，可求得數(shù)列的通項公式（II）化簡的表達式，由于它是由一個等差數(shù)列乘以一個等比數(shù)列組合而成，故用錯位相減法來求其前項和3【2018河南豫南九校高三下學期第一次聯(lián)考】設正項等比數(shù)列，且的等差中項為（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若，數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，若恒成立，求的取值范圍【答案】（I）（II）【解析】【

10、試題分析】（I）利用基本元的思想將已知轉(zhuǎn)化為的形式列方程組解出，由此得到通項公式（II）化簡，是個等差數(shù)列，求得其前項和為，利用裂項求和法可求得的值，代入不等式，利用分離常數(shù)法可求得【試題解析】（I）設等比數(shù)列的公比為，由題意，得，解得，所以 （II）由（I）得，若恒成立，則恒成立，則，所以4【2018河北衡水中學高三上學期九模】已知在數(shù)列中，（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若，數(shù)列的前項和為，求【答案】（I） （II）當為奇數(shù)時， ，當為偶數(shù)時， 【解析】試題分析：試題解析：（I）因為，所以當時，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項構成等比數(shù)列，偶數(shù)項也構成等比數(shù)列又，所以當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，所以（

11、II）因為，所以討論：當為奇數(shù)時， ；當為偶數(shù)時， 5【2018河北邯鄲高三1月教學質(zhì)量檢測】已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項公式；（II）求數(shù)列的前項和【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）結合遞推關系可得是以為首項，公比為的等比數(shù)列，據(jù)此可得通項公式為（II）結合（I）的結論有，分鐘求和可得試題解析：（）因為，故，得；設，所以，又因為，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，故，故（）由（）可知，故6【2018安徽皖南八校高三第二次（12月）聯(lián)考】已知是等比數(shù)列，滿足，且（）求的通項公式和前項和；（）求的通項公式【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）由，令 可解得，從而可得

12、的通項公式和前項和；（II）結合（I）的結論，可得，從而得時，兩式相減、化簡即可得的通項公式試題解析：（） ，是等比數(shù)列，的通項公式為，的前項和（）由及得，時，的通項公式為7【2018上海浦東新區(qū)高三一?！恳阎炔顢?shù)列的公差為2，其前項和（，）（I）求的值及的通項公式；（II）在等比數(shù)列中，令（），求數(shù)列的前項和【答案】（I） ；（II）【解析】試題分析：（I）由求得的值及的通項公式；（II）由題意可得：，分奇偶項討論，分組求和即可試題解析：（I）， （II），當時， ，當時，是偶數(shù)， ，8【2018湖南永州高三第二次模擬考試】在數(shù)列中，（I）證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求的通項公式；（II）令，求

13、數(shù)列的前項和【答案】（I）答案見解析；（II）【解析】試題分析：（I）可化為，由此數(shù)列構成首項為，公比為的等比數(shù)列，從而可得的通項公式；（II）由（I）可得，利用錯位相減法可得數(shù)列的前項和試題解析：（I）由條件得，又時，故數(shù)列構成首項為1，公比為的等比數(shù)列從而，即（II）由得，兩式相減得：， ，故9【2018江西蓮塘一中、臨川二中高三上學期第一次聯(lián)考】二次函數(shù)的圖象過原點，對，恒有成立，設數(shù)列滿足（I）求證：對，恒有成立；（II）求函數(shù)的表達式；（III）設數(shù)列前項和為，求的值【答案】（I）證明見解析；（II）；(3)2018【解析】試題分析：（I）左右兩側(cè)做差，結合代數(shù)式的性質(zhì)可證得，即對，

14、恒有：成立；（II）由已知條件可設，給定特殊值，令，從而可得：，則，從而有恒成立，據(jù)此可知，則(3)結合（I）（II）的結論整理計算可得：，據(jù)此分組求和有：試題解析：（I）（僅當時，取“=”）所以恒有：成立（II）由已知條件可設，則中，令，從而可得：，所以，即，又因為恒成立，即恒成立，當時，不合題意舍去，當時，即，所以，所以（III），所以，即10【2018江蘇南京師大附中、天一、海門、淮陰四校高三聯(lián)考】如圖，一只螞蟻從單位正方體的頂點出發(fā)，每一步（均為等可能性的）經(jīng)過一條邊到達另一頂點，設該螞蟻經(jīng)過步回到點的概率（I）分別寫出的值；（II）設頂點出發(fā)經(jīng)過步到達點的概率為，求的值；（III）求【答案】（I）；（II）；（III）【解析】試題分析：（I）由題意得經(jīng)過1步不可能從點A回到點A，故；經(jīng)過2步從點A回到點A的方法有3種，即A-B