11探索勾股定理

1、 探索勾股定理（探索勾股定理（1）1 勾股定理勾股定理千古第一定理千古第一定理 在古代，許多民族發(fā)現(xiàn)了這個(gè)事實(shí)，即直角三角形的三條邊長(zhǎng)在古代，許多民族發(fā)現(xiàn)了這個(gè)事實(shí)，即直角三角形的三條邊長(zhǎng)為為a,b,ca,b,c，則，則 ，其中，其中 a,b a,b是直角邊長(zhǎng)，是直角邊長(zhǎng)，c c是斜邊長(zhǎng)，我是斜邊長(zhǎng)，我國(guó)的算術(shù)國(guó)的算術(shù)周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)中，就有勾股定理的記載，為了紀(jì)念我國(guó)古中，就有勾股定理的記載，為了紀(jì)念我國(guó)古人的偉大成就，就把這個(gè)定理命名為人的偉大成就，就把這個(gè)定理命名為“勾股定理勾股定理”或或“商高定理商高定理”，在，在西方，被稱為西方，被稱為“畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯”定理或定理或“百牛百牛”

2、定理。不管怎么說，勾股定理。不管怎么說，勾股定理都是數(shù)學(xué)中的偉大定理，它給人們的巨大力量可說是難以估量，定理都是數(shù)學(xué)中的偉大定理，它給人們的巨大力量可說是難以估量，乎所有的生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)研究都離不開它。它的重要性主要表現(xiàn)在：乎所有的生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)研究都離不開它。它的重要性主要表現(xiàn)在： （1 1）勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)最基本的，也是最原始的兩個(gè)對(duì)象）勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)最基本的，也是最原始的兩個(gè)對(duì)象數(shù)與形的第一定理；數(shù)與形的第一定理； （2 2）勾股定理導(dǎo)致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，這就是所謂的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；）勾股定理導(dǎo)致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，這就是所謂的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)； （3 3）勾股定理開始把數(shù)學(xué)由計(jì)算與測(cè)量的技術(shù)

3、轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明和推理）勾股定理開始把數(shù)學(xué)由計(jì)算與測(cè)量的技術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明和推理的科學(xué)；的科學(xué)； （4 4）勾股定理中的公式是第一個(gè)不定方程，有許許多多組數(shù)滿足）勾股定理中的公式是第一個(gè)不定方程，有許許多多組數(shù)滿足這個(gè)方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導(dǎo)出各這個(gè)方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導(dǎo)出各式各樣的不定方程，包括著名的費(fèi)馬大定理，另一方面也為不定方式各樣的不定方程，包括著名的費(fèi)馬大定理，另一方面也為不定方程的解題程序樹立了一個(gè)范式。程的解題程序樹立了一個(gè)范式。222abcABC圖圖1-2BC圖圖1-1A（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面

4、積）（1）觀察圖）觀察圖1-1 正方形正方形A中含中含有有 個(gè)小方格，即個(gè)小方格，即A的面積是的面積是 個(gè)單個(gè)單位面積；位面積； 正方形正方形B中含中含有有 個(gè)小方格，即個(gè)小方格，即B的面積是的面積是 個(gè)單個(gè)單位面積；位面積； 正方形正方形C中含中含有有 個(gè)小方格，即個(gè)小方格，即C的面積是的面積是 個(gè)單個(gè)單位面積。位面積。 正方形正方形A，B，C的面積之間有什么的面積之間有什么關(guān)系嗎？關(guān)系嗎？看看 一一 看看 99189918ABC圖圖1-3ABC圖圖1-4做做一一做做（1）觀察圖）觀察圖1-3，圖，圖1-4，并填寫下表：，并填寫下表：A的面積的面積（單位面積）（單位面積）B的面積的面積（單位

5、面積）（單位面積）C的面積的面積（單位面積）（單位面積）圖圖1-3圖圖1-4（2）三個(gè)正方）三個(gè)正方形形A，B，C的的面積之間有什面積之間有什么關(guān)系？么關(guān)系？169254913議一議議一議（1）你能用三角形的邊長(zhǎng)表示正方形）你能用三角形的邊長(zhǎng)表示正方形的面積嗎？的面積嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？間存在什么關(guān)系嗎？做一做做一做 分別以分別以5厘米、厘米、12厘厘米為直角三角形的直角米為直角三角形的直角邊做出一個(gè)直角三角形，邊做出一個(gè)直角三角形，并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度.前面得到的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形還成立嗎？前面得到的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形

6、還成立嗎？勾股定理勾股定理 如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜，斜邊為邊為c，那么，那么a2 + b2 = c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.問題解決問題解決問題情境問題情境 某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來救火，某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來救火，了解到每層樓高了解到每層樓高3米，消防隊(duì)員取來米，消防隊(duì)員取來6.5米長(zhǎng)米長(zhǎng)的云梯的云梯,如果梯子的底部離墻基的距離是如果梯子的底部離墻基的距離是2.5米米,請(qǐng)問消防隊(duì)員能否進(jìn)入三樓滅火請(qǐng)問消防隊(duì)員能否進(jìn)入三樓滅火? 歐幾里得歐幾里得（Euclid of Alexan

7、dria; 約約 325 B.C. 約約 265 B.C.） 歐幾里的歐幾里的的的幾何幾何原本原本是用公理方法建立是用公理方法建立演繹演繹數(shù)學(xué)體系的最早典范數(shù)學(xué)體系的最早典范 幾何原本第一卷的幾何原本第一卷的第第 47 命題命題也有對(duì)勾股定也有對(duì)勾股定理的證明。理的證明。 加菲（James A. Garfield； 1831 1881） 1881 年成為美國(guó)第 20 任總統(tǒng) 1876 年提出有關(guān)證明想一想想一想 小明媽媽買了一部小明媽媽買了一部29英寸（英寸（74厘米）的厘米）的電視機(jī)電視機(jī).小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有只有58厘米長(zhǎng)和厘米長(zhǎng)和46厘米寬

8、，他覺得一定是售厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯(cuò)了貨員搞錯(cuò)了.你同意他的想法嗎？你能解釋這你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？是為什么嗎？練一練練一練 1. 如圖，根據(jù)以下數(shù)學(xué)情境，你可以提出多少個(gè)如圖，根據(jù)以下數(shù)學(xué)情境，你可以提出多少個(gè)數(shù)學(xué)問題？你能解決所提出的問題嗎？數(shù)學(xué)問題？你能解決所提出的問題嗎？35x2. 若正方形的面積為若正方形的面積為2cm2，則它的對(duì)角線長(zhǎng)，則它的對(duì)角線長(zhǎng)是是 .3. 一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長(zhǎng)分別為長(zhǎng)分別為 .4 .在在 ABC中中, C=90, (1)若若a=5,b=12,則則c=_. (

9、2)若若a=15,c=25,則則b=_. (3)若若c=61,b=60,則則a=_. (4)若若a:b=3:4,c=10,則則a=_,b=_.5 .在直角在直角 ABC中中,a=5,c=13,則則 ABC的面積的面積 S=_.6. 在直角在直角 ABC中中, C=90,c=20,b=15,則則 a=_.1. 如圖如圖1.1-1,求圖中字母求圖中字母M所代表的正方形的面積所代表的正方形的面積. 圖圖1.1-1 圖圖1.1-22. 如圖如圖1.1-2,在四邊形在四邊形ABCD中中, BAD=90, CBD=90,AD=4,AB=3,BC=12,求正方形求正方形DCEF的面積的面積. ?M?75?4

10、5?F?E?D?C?B?A辨析：辨析：ABC的兩邊為的兩邊為3和和4，求第三邊，求第三邊解：由于三角形的兩邊為解：由于三角形的兩邊為3、4所以它的第三邊的所以它的第三邊的c應(yīng)滿足應(yīng)滿足=25 即：即：c=5 辨析：（辨析：（1）要用勾股定理解題，首先應(yīng)具備直角三角）要用勾股定理解題，首先應(yīng)具備直角三角形這個(gè)必不可少的條件，可本題形這個(gè)必不可少的條件，可本題 ABC并未說明它是否并未說明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據(jù)。是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據(jù)。 （2）若告訴）若告訴ABC是直角三角形，第三邊是直角三角形，第三邊C也不一定也不一定 滿足勾股定理，因?yàn)轭}目中并未交待滿足勾股定理，因?yàn)轭}目中并未交待c是斜邊是斜邊 綜上所述這個(gè)題目條件不足，第三邊無法求得。綜上所述這個(gè)題目條件不足，第三邊無法求得。如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a a，b b，斜邊斜邊為為c c，那么那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形兩直角即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理