福建省南平市屆普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)理試卷

1、2022年南平市普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)，第n卷第21題為選考題，其他題為 必考題.本試卷共 5頁(yè).總分值150分.考試時(shí)間120分鐘.考前須知：1. 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2. 考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域 (黑色線框)內(nèi)作答, 超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效.3 .選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選 擇題答案使用0.5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.4. 做選考題時(shí)，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把

2、所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào) 涂黑.5. 保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.參考公式：如果A與B是兩個(gè)任意事件， P(A)豐0，那么P(BA) P(AB)；P(A)柱體體積公式：V Sh,其中S為底面面積，h為高；1錐體體積公式：VSh,3其中S為底面面積，h為高; 球的外表積、體積公式：243S 4 R2, V R3,3其中R為球的半徑.第I卷(選擇題共50分)一、選擇題：本大題共 10小題，每題5分，共50分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1. i是虛數(shù)單位，那么i(1 - i)2 =A. 2 2iB. 2+2iC. 2D. 22

3、命題“x R,sin xw1的否認(rèn)是A. x R,si nx > 1B. x R,sin x 1C. x R,si nx >1D.x R ,sin x3 .如下圖的程序框圖運(yùn)行后輸出的結(jié)果為A. 36B.45C. 55D.564.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a111 ,a4a66,那么當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于A.6B.7C.8D.95. N(0, a2)，且 P( 2 w w 0)=0.4,那么 P( 2)A. 0.1C. 0.3B. 0.2D. 0.46.假設(shè)方程lnx x 50在區(qū)間(a, b) (a, b z,且b a1上有一實(shí)根，那么a的值為A. 5B. 4C. 3D

4、. 27 .右圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是正方形，側(cè)視圖是 矩形，俯視圖是半徑為2的半圓，那么該幾何體的外表積等于A. 16 + 12nC. 16+4 n、 x2 y2&雙曲線 r 1 (aa b線r的左焦點(diǎn)F作圓o： x2為 A、 B，貝y AFB =A. 45 °C. 90 °9 . ABC的面積為12，B. 24 nD. 12n0,b 0的離心率為2,過(guò)雙曲y2 a2的兩條切線，切點(diǎn)分別B. 60 °D. 120 °P是厶ABC所在平面上的一點(diǎn)，滿足PA PB 2PC 3AB，那么ABP的面積為A. 3C. 6B. 4D. 910.函

5、數(shù)fa aR,R是自然對(duì)數(shù)底數(shù)，在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增,那么a的取值范圍是A. 0，1B. 1, 0C. 1, 1d. ( e勺罠)第H卷(非選擇題共100分)、填空題：本大題共5小題，每題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.log2x,x 0,111 函數(shù)f (x)那么f (f (丄)的值是3x 1,x w 0,412假設(shè)m是2和8的等比中項(xiàng)，且 2m 1，那么拋物線 y mx的準(zhǔn)線方程為 j- 1 n *13(.-臥 )(fn N )的展開(kāi)式中含aa2的項(xiàng)為第3項(xiàng)，貝U n的值為n14.函數(shù) f(x) 3sin( x ) (06n3)圖象的一條對(duì)稱軸方程為x -,3n假設(shè)x 0,貝

6、y f (x)的取值范圍是 215 設(shè)不等式組 1 x 2x> 0,21 x W y w 2所表示的平面區(qū)域是x，那么平面區(qū)域的面積等于.三、解答題：本大題共平面BCD;BCD的體積；BC D的余弦值6小題，共80分解容許寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16. (本小題總分值13分)如圖，將邊長(zhǎng)為2，有一個(gè)銳角為60 °的菱形ABCD,沿著較短的對(duì)角線 BD對(duì)折，使得AC= . 6 , O為BD的中點(diǎn).(I)求證：AO(n)求三棱錐A(川)求二面角 A17. (本小題總分值13分)3x函數(shù)f(x) sinx， g(x) mx ( m為實(shí)數(shù)).6nn(I)求曲線y f (x)在

7、點(diǎn)P,f處的切線方程;44(n)求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間；x3(川)假設(shè)m 1，證明：當(dāng)x 0時(shí)，f(x) g(x)618. (本小題總分值13分)在 ABC中，角A, B,C所對(duì)的邊分別為 a,b,c， A = 30 , a 3, b 3 3 .(I)求B和ABC的面積；(n)當(dāng)B是鈍角時(shí)，證明：tan(B 118 )不可能是有理數(shù).19. (本小題總分值13分)如下圖，質(zhì)點(diǎn) P在正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上按逆時(shí)針?lè)较蚯斑M(jìn)，現(xiàn)在投擲一個(gè)質(zhì)地均勻、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具，它的六個(gè)面上所標(biāo)數(shù)字分別為1、1、2、2、3、3 .質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，規(guī)那么如下：當(dāng)正方體朝上一面出現(xiàn)的數(shù)字是1

8、，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由 A到B );當(dāng)正方體上朝上一面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步(如由A到C )；當(dāng)正方體朝上一面出現(xiàn)的數(shù)字是 3，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn) 三步(如由A到D ).在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲， 假設(shè)超過(guò) 一圈，那么投擲終止.(I)求點(diǎn)P恰好返回到點(diǎn) A的概率；(n)在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到點(diǎn) A的所有結(jié)果中，用隨機(jī) 變量 表示點(diǎn)P恰能返回到點(diǎn) A的投擲次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.20.(本小題總分值14分)橢圓rb 0)過(guò)點(diǎn)M (J2 , 0),且離心率為(I)求橢圓r的方程;(n)設(shè)點(diǎn) p x0, y0 y00在橢圓r上,(i)證明：直線經(jīng)2y0y 1與橢圓相切;“直線AB的斜率(ii)過(guò)點(diǎn)P作

9、兩條直線PA、PB分別交橢圓于點(diǎn) A、B,求證:與過(guò)點(diǎn)P的橢圓的切線斜率互為相反數(shù)的充要條件是“直線PA的斜率與 直線PB的斜率互為相反數(shù)21.此題有(1 )、(2)、(3)三個(gè)選答題，每題 7分，請(qǐng)考生任選2個(gè)小題作答，總分值142B鉛筆在答題卡上把所選題目分如果多做，那么按所做的前兩題記分作答時(shí)，先用 對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中.(1) (本小題總分值7分)選修4 2 :矩陣與變換1二階矩陣 m有特征值4及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量 eE，并且矩陣 m對(duì)應(yīng)的1變換將點(diǎn)(1 , 1)變換成(2, 4).(I )求矩陣M ;(n)求直線|：x y 10在矩陣M的作用下的直線l的方程.(2)

10、 (本小題總分值7分)選修4 4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程x tan t在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I的參數(shù)方程為'(t為參數(shù)，y 1 kta ntnt nn , n Z),以0為原點(diǎn)，Ox軸為極軸，單位長(zhǎng)度不變，建立極坐標(biāo)系，曲2線C的極坐標(biāo)方程為cos24 cos .(I )求直線I的普通方程和曲線 C的直角坐標(biāo)方程；(n)假設(shè)直線I和曲線C相切，求實(shí)數(shù)k的值.(3)(本小題總分值7分)選修4 5 :不等式選講 a, b, c 為非零實(shí)數(shù)，且 a2 b2c21 m0, -24 2 1 2m 0.a b c(I)求證:4936A.2 2 2 .2 2b c a b c(n)求實(shí)數(shù)m的取值范圍

11、.2022年南平市普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查 理科數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 說(shuō)明：1、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題 的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)那么2、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼局部的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼局部的給分，但不得超過(guò)該局部正確解容許給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼局部的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分3、只給整數(shù)分?jǐn)?shù).選擇題和填空題不給中間分 一、 選擇題：此題考查根底知識(shí)和根本運(yùn)算，每題5分，總分值50分.1 . D ;2. D;3.B;4.A;5.A;6. C;7.A;8. B;9.

12、 C;10.C.10.解析：在區(qū)間0,1上，當(dāng)a1時(shí)，f (x)ex aex ,而又當(dāng)a 1時(shí)，f (x) e ae 0在區(qū)間0,1上恒成立，所以 1 a 1 ；當(dāng)a 1時(shí)，f (x)在區(qū)間 0,1上不可能單調(diào)遞增，應(yīng)選 C.二、 填空題：此題考查根底知識(shí)和根本運(yùn)算，每題4分，總分值20分.11.1012. x 113.1014. 3,315.4216.解:(I)連接 OC，由得 ABD和 CBD是等邊三角形， 0為BD的中點(diǎn),三、解答題：本大題共6小題，共80分.解容許寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.AO BD,CO BD,又邊長(zhǎng)為 2, AO CO -32分由于 AC . 6，在 AOC

13、 中， AO2 CO2 AC2AOC 90，即 AOOC BDOC O， AO平面 BCD.：32nS BCD243 , VA BCD1 .331 38分川解法一：過(guò) O作OE BC于E,謹(jǐn)接AE,AO 平面BCD ,AE在平面BCD上的射影為OEAE BCAEO為二面角A BC D的平面角在 RT AEO 中，AO 3, OE 3 ,2tan AEO2OEcos AEO 12 分J513分即二面角A BC D的余弦值為 .5解法二：以0為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，貝U0(0,0,0) , B(1,0,0) ,D( 1,0,0) ,C(0,、3,0) ,A(0,0,3)顯然，平面BCD的法

14、向量為n1設(shè):(0,0,1) 10分平面ABC的法向量n2(x, y, z),AB 0BC 0x 3zx 、3y(-3,1,1)C0S(m ,n-1n2二面角 A BCD的余弦值為12分17解：(I)由題意得所求切線的斜率切點(diǎn)P(4,2y 12),那么切線方程為yf ( ) cos44后()T(x 4)(n) g(x) m-041 2x2,)；.2 m ,(1) 當(dāng)m w 0時(shí)，g (x) w 0,那么g(x)的單調(diào)減區(qū)間是(2) 當(dāng)m 0時(shí)，令g (x)0，解得x 2m或x那么g(x)的單調(diào)減區(qū)間是(，2m), C、2m,).9分(川)證明：令 h(x) x sinx,x 0,), h (x

15、)1 cosx >0那么h(x)是0,)上的增函數(shù)11分3x 故當(dāng) x 0時(shí)，h(x) h(0)0 即 sinx x, f (x) g(x)613分ab3 3 sin 30,3解：(I)由正弦定理得 ，即 sin B2分sin A sin B32因?yàn)锽是三角形內(nèi)角且B A,貝U B60或B120 4分記ABC的面積為S.1當(dāng) B 60 時(shí)，C 90 , Sab1 33.39、3.6 分2221j19 - 3當(dāng) B 120 時(shí)，C 30 , Sabsin 303 338分2224)證明：因?yàn)?B是鈍角，結(jié)合(I)的結(jié)論得tan(B 118 ) =tan2 .9 分假設(shè)tan2是有理數(shù)，那么

16、tan42怡呼 為有理數(shù)；1 tan 2同理可證tan8 , tan16 , tan32為有理數(shù). 11分tan 30 旦絲tan乙，等式左邊二三 為無(wú)理數(shù)，等式右邊為有理數(shù)， 從而矛盾,1 tan 32 tan 23那么tan 2不可能是有理數(shù)，即tan(B 118 )不可能是有理數(shù). 13分19解：(I)事件“點(diǎn) P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到點(diǎn) A 記為M ;事件“投擲兩次點(diǎn) P就恰能 返回到點(diǎn)A 記為B ;事件“投擲三次點(diǎn) P就恰能返回到點(diǎn) A 記為D ;事件“投擲 四次點(diǎn)P就恰能返回到點(diǎn) A 記為E。投擲一次正方體玩具，朝上一面每個(gè)數(shù)字的出2 1現(xiàn)都是等可能的，其概率為R，因?yàn)橹煌稊S一次不可能返

17、回到點(diǎn)A ；假設(shè)投擲63兩次點(diǎn)P就恰能返回到點(diǎn) A,那么朝上一面出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：(1,3), (3,1),( 2,2)211三種結(jié)果，其概率為 P(B)3； 3分3 3假設(shè)投擲三次點(diǎn)P恰能返回到點(diǎn) A，那么朝上一面出現(xiàn)的三個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：311(1,1,2) , (1,2,1), (2,1,1 )三種結(jié)果，其概率為P(D) -3 - ; 5分39假設(shè)投擲四次點(diǎn)P恰能返回到點(diǎn)A，那么朝上一面出現(xiàn)的四個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為:(1,1,1,1),其概率為 P(E)1 4丄381所以點(diǎn)P恰好返回到點(diǎn) A的概率為P(M) P(B) P(D) P(E)丄813781 (n)隨機(jī)變量的可能取值為2, 3,

18、4. 8分234P2737937137P(2)P(B|M)P(BM)P(M)P(3)P(D |M)P(DM )P(M)P(4)P(E| M)P(EM)P(M)即的分布列為P(B)327 ；P(M)3737，811P(D)99 ；P(M)3737 ；811P(E)81111分P(M)37378127918585所以E 234 一一.即的數(shù)學(xué)期望是一 13分373737 373720. (I)解:由題意得i)將直線方程泌221代入橢圓方程y21 ,2整理得6分由點(diǎn)P在橢圓上得2 xy02 1，故方程可化為：x2 2x0x x,0 022X22解得b 1，即所求橢圓方程為y 14分2(n)證明：因此

19、判別式0，那么直線X2Xy0y 1與橢圓相切(ii)解法一：必要性：直線AB的斜率與過(guò)點(diǎn)P的橢圓的切線斜率互為相反數(shù)，由(i)知過(guò)點(diǎn) P的橢圓的切線斜率為-X，那么可設(shè)直線 AB方程為y kx m (其2yo2中kX°2 y0)，A(X1, yj、B(X2, y2)將 ykxm代入-y21 中,2得(2k221)x 4kmx2m220，4km2m22故xX2XXo2 9分2k2 12k21y1y°yykx1my0kx2my0kPAkPB+X1X0X2X0X1 X0X2X02kx1x2(my0kx°)(X1X2)2(my°)x°(X1X°

20、;)(X2X0)考慮分子,并注意到k212y0,2 y°，2得：分子2_2k(2m22)4km (kx0-_ 2y0m)2( my°)x°2k12k14ky0m4k4k2x°y°2x°y0 2mx02k2 12mx02x03X.2x°y02mx02x0(21)2x0 y°y0y0,y°22k212k210，那么 k pa k pb011分2x°y° 2x°y°2k2 1充分性：設(shè)點(diǎn)人(冷，力)、B(X2,y2)，記直線PA的斜率為k，那么直線PA方程為2y y0 k

21、(x x0)，將其代入y2 1中,化簡(jiǎn)、整理得2(2k21)x2 4(ky。k2xJx 2k2x： 4kx°y° 2y：20,故X。4(k2x°2k2ky。)124(k x° ky°)2k21x0 (1)12分因?yàn)橹本€PA的斜率與直線 PB的斜率互為相反數(shù)，那么可設(shè)直線PB方程為yy°k(xX0)，同理可求X2(2)-(1)得：x28ky°口X12，又2k2 1那么kABy2 y1，易知過(guò)點(diǎn)X2X,2 y024(kx0 ky0) x 22k21y y1k(%X2) 2x°P的橢圓切線斜率k切 =X02 y04x&#

22、176;k2k21，故 kAB k切=0即直線AB的斜率與過(guò)點(diǎn)P橢圓切線斜率互為相反數(shù)14分(ii)解法二：由(i)知過(guò)點(diǎn)P的橢圓的切線斜率為2y，設(shè) AX,)、B(x2,y2),y21得(2k21)x2 4kmx 2m220,2直線AB方程為y kx m ,代入2故 x-ix24 km2k21，XlX22m222k21y1y。y2yokx1yo+kx2m yoX2XoX1XoX2Xo2kxM2 (m yo kx°)(X1 x?)2(m yo)x°(X1 Xo)(X2 Xo)2分子= 2k(2m2) 4km(kx°2 yo m) 2(m yo)xo2k 12k 124ky°m 2mx° 4k 4k 2x°y°2k2 111分4ky°m 2mxo 2(2ky° Xo)(kx° y°)2k2 122(其中 Xo 2yo 2,yo o)= 2(2kyo Xo)2(m kXo yo)(其中，點(diǎn)(Xo,yo)不在直線 y 2k 1kx m 上，m kxo