數(shù)列新定義專(zhuān)題

1、課題：基于數(shù)列的新定義相關(guān)題型數(shù)列中新定義題型在近幾年來(lái)算是高考中的熱門(mén)考點(diǎn)，通常情況下會(huì)結(jié)合之前所學(xué)的函數(shù)、三角等來(lái)考察學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的融會(huì)貫通情況，該類(lèi)題型要求學(xué)生對(duì)之前所學(xué)的知識(shí)掌握要扎實(shí)，并能運(yùn)用連貫，并且對(duì)于數(shù)列之前所學(xué)的相關(guān)性質(zhì)也要掌握扎實(shí)，同時(shí)也會(huì)引入其他新知識(shí)點(diǎn)?；疽螅簩W(xué)生對(duì)函數(shù)及三角的相關(guān)性質(zhì)要掌握熟練，其次對(duì)于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)與各項(xiàng)的關(guān)系等要能熟練掌握。1、數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合1)與二次函數(shù)相結(jié)合例：在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列Pl(ai,bl),P2(a2,b2),P3(a3,b3),n,bn),對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n,點(diǎn)Pn(an,bn)在函數(shù)y=x2的圖象上，且點(diǎn)Pn(an,bn),

2、點(diǎn)A(n,0),點(diǎn)B(n+1,0),構(gòu)成一個(gè)以點(diǎn)pn(an,bn)為頂點(diǎn)的等腰三角形。(1)求對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n,以點(diǎn)Pn縱坐標(biāo)構(gòu)成的數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；1r令J一，求磐的值。2)與指數(shù)函數(shù)相結(jié)合例：在xOy平面上有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),n(0n,bn),對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n,點(diǎn)Pn(an,bn)在函數(shù)y=2000(0<也<10)的圖象上，且點(diǎn)Pn(an,bn),點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以點(diǎn)Pn(an,bn)為頂點(diǎn)的等腰三角形。(1) 求點(diǎn)Pn(an,bn)的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；(2) 若對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n,以bn,bn+1,bn+

3、2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的范圍；(3) 設(shè)Bn=b1b2b3b(nCN+),若a是(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)時(shí)，求Bn的最大項(xiàng)是第幾項(xiàng)？3)數(shù)列與對(duì)數(shù)函數(shù)相結(jié)合例：已知函數(shù)I，：_J,(1)n=1,2,3,時(shí)，把已知函數(shù)的圖像和直線(xiàn)y=1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次記為山秘用，；an,6-求證：ai+a2+a3+n<1;(2)對(duì)于每一個(gè)n值，設(shè)An,Bn為已知函數(shù)圖像上與x軸距離為1的兩點(diǎn)，求證n取任意一個(gè)正整數(shù)時(shí)，以AnBn為直徑的圓都與一條定直線(xiàn)相切，求出這條定直線(xiàn)的方程和切點(diǎn)坐標(biāo)。4)數(shù)列與分段函數(shù)相結(jié)合例：設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線(xiàn)。當(dāng)n<y<n+1

4、(n=0,1,2,時(shí);眩圖像是斜率為bn的線(xiàn)段(其中正常數(shù)bw°。設(shè)數(shù)列xn由f(xn)=n(n=1,2,3,定義'(1) 求x1,x2和xn的表達(dá)式；(2) 求f(x)的表達(dá)式，并寫(xiě)出定義域。5)數(shù)列與反函數(shù)相結(jié)合例：已知函數(shù)f(x)=K-24萬(wàn)+2(x>域反函數(shù)為y=f1(x),若數(shù)列an的前n項(xiàng)之和為Sn(nCN+)。對(duì)所有大于1的自然數(shù)n都有Sn=f-1($-1),且a1=2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2、數(shù)列與三角相結(jié)合把三角函數(shù)融入到數(shù)列當(dāng)中，使得數(shù)列變得復(fù)雜和陌生，但由于三角函數(shù)的周期性，也使得數(shù)列的項(xiàng)隨之有了規(guī)律，因此在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要充分利用三角函數(shù)周期

5、性的特點(diǎn)，只有這樣才能將所遇困難有效化解.例：數(shù)列an的通項(xiàng)公式anncos,其前n項(xiàng)和為Sn,則S2016等于多少？2例：Sn sin sinL 77是多少？sin(nN),則在S,S2,，S。中，正數(shù)的個(gè)數(shù)22n2n例：數(shù)列an的通項(xiàng)公式ann(cossin),其刖n項(xiàng)和為Sn.33(i)求Sn；(n)令bn-S3，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.n43、其他新定義題型這類(lèi)題型通常會(huì)引入一些學(xué)生未學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)，預(yù)設(shè)相關(guān)前提條件，再引出問(wèn)題，該類(lèi)題型重點(diǎn)在于審題，對(duì)相關(guān)題目所涉及的知識(shí)點(diǎn)需要牢牢把握。d ( n N 7為常數(shù)),則稱(chēng)數(shù)列an為調(diào)和數(shù)列。已例：若數(shù)列 an滿(mǎn)足an1an.1知數(shù)列一為倜和

6、數(shù)列，且x1x2x20200,則x5x16.xnn例：7E乂：稱(chēng)，f為n個(gè)正數(shù)尸2,Pn的均倒數(shù)。若數(shù)列an的前n項(xiàng)PP2Pn1，,的均倒數(shù)為，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為2n1例：有限數(shù)列A(a1,a2,an),Sn為其前n項(xiàng)和，定義S1SSn為A的“凱森和”，n如有500項(xiàng)的數(shù)列3,22，,a500)的“凱森和”為2004,則有501項(xiàng)的數(shù)列(2,a1,a2,a500)的“凱森和”為.例：定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且a12,公和為5,那么a18的值為,這個(gè)數(shù)列的前21項(xiàng)和S

7、21為.aan1例：在數(shù)列an中，對(duì)任意nN都有k(k為常數(shù))，則稱(chēng)數(shù)列an為“等an1an差比數(shù)列”.下面對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷：k不可能為0；等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列；通項(xiàng)公式為anabnc(a0,b0,1)的數(shù)列一定是等差比數(shù)列；等差比數(shù)列中可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為0,其中正確的是.例：定義：若數(shù)列an對(duì)任意的正整數(shù)n,都有anan1d（d是常數(shù)），則稱(chēng)an為“絕對(duì)和數(shù)列”，d叫做“絕對(duì)公和”。已知“絕對(duì)和數(shù)列"an中，a12,“絕對(duì)公和”d2,則其前2010項(xiàng)和S2010的最小值為.S2n,例：設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，右人一（nN）是非零常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列an

8、為“和Sn等比數(shù)列”。（1） 若數(shù)列2bn是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列，則數(shù)列bn（填“是”或“不是”）“和等比數(shù)列”.（2） 若數(shù)列cn是首項(xiàng)為g,公差為d（d0）的等差數(shù)列，且數(shù)列cn是“和等比數(shù)列”，則d與G之間滿(mǎn)足的關(guān)系為.22例：在數(shù)列an中，若anan1p（p2,nN,p為吊數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列an為“等方差數(shù)列”。下列是對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷：若an是等方差數(shù)列，則an2是等差數(shù)列；（1）n是等方差數(shù)列；若an是等方差數(shù)列，則akn（kN,k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；若an是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列。其中正確命題的序號(hào)是.課后練習(xí)：aa1 .若數(shù)列an滿(mǎn)足k（k為常數(shù)

9、），則稱(chēng)數(shù)列an為“等比和數(shù)列”，k稱(chēng)2 ,則 a2009an1an為公比和。已知數(shù)列an是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中a11,a22 .對(duì)數(shù)列an,規(guī)定an為數(shù)列an的一階差分?jǐn)?shù)列，其中anan1an(nN).一一，一.523(1) 已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an-n2n(nN),試判斷an是否為等差數(shù)列22或等比數(shù)列，并說(shuō)明理由.(2) 若數(shù)列an的首項(xiàng)為ai1,且滿(mǎn)足anan2n，記0與，求數(shù)列bn的2n通項(xiàng)bn及數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.3 .在數(shù)列an中，若ai,a2是正整數(shù)，且an昌1an2l，n3,4,5,L，則稱(chēng)an為“絕對(duì)差數(shù)列”.(1)舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對(duì)差數(shù)列”(只要求寫(xiě)出前十項(xiàng))；(2)若“絕對(duì)差數(shù)列”an中，a203a10,數(shù)列bn滿(mǎn)足bnanan1an2,n1,2,3,L，分別判斷當(dāng)n時(shí)，an與bn的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；(3)證明：任何“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng)4 .在m(m>2)個(gè)不同數(shù)的排列P1P2Pn中，若1wivjwm時(shí)P>p(即前面某數(shù)