【2019年整理】數(shù)學競賽考試范圍

1、（一）中國大學生數(shù)學競賽（數(shù)學專業(yè)類）競賽內(nèi)容為大學本科數(shù)學專業(yè)基礎課的教學內(nèi)容，即，數(shù)學分析占50%,高等代數(shù)占 35%,解析幾何占 15%,具體內(nèi)容如下：I、數(shù)學分析部分一、集合與函數(shù)1 .實數(shù)集、有理數(shù)與無理數(shù)的稠密性，實數(shù)集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)間套定理、聚點定理、有限覆蓋定理2 .上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集、閉集、有界（無界）集、上的 閉矩形套定理、聚點定理、有限復蓋定理、基本點列，以及上述概念和定理在上的推 廣.3 .函數(shù)、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數(shù)概念，反函數(shù)與逆變換，反函數(shù)存在性定理，初等函數(shù)以及與之相關的性質(zhì)二、極限與連續(xù)1 .數(shù)列極限、收斂數(shù)列

2、的基本性質(zhì)（極限唯一性、有界性、保號性、不等式性 質(zhì)）.2 .數(shù)列收斂的條件（ Cauchy準則、迫斂性、單調(diào)有界原理、數(shù)列收斂與其子列收斂的關系），極限及其應用3 . 一元函數(shù)極限的定義、函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、局部有界性、保號性、 不等式性質(zhì)、迫斂性），歸結(jié)原則和Cauchy收斂準則，兩個重要極限及其應用，計算一元函數(shù)極限的各種方法，無窮小量與無窮大量、階的比較，記號。與o的意義，多元函數(shù)重極限與累次極限概念、基本性質(zhì)，二元函數(shù)的二重極限與累次極限的關系4 .函數(shù)連續(xù)與間斷、一致連續(xù)性、 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)（局部有界性、保號性）有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值最小值定理、介值定

3、理、一致連續(xù)性）三、一元函數(shù)微分學1 .導數(shù)及其幾何意義、可導與連續(xù)的關系、導數(shù)的各種計算方法，微分及其幾何 意義、可微與可導的關系、一階微分形式不變性2 .微分學基本定理：Fermat定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy定理，Taylor 公式（Peano 余項與 Lagrange 余項）.3 .一元微分學的應用：函數(shù)單調(diào)性的判別、極值、最大值和最小值、凸函數(shù)及其應用、曲線的凹凸性、拐點、漸近線、函數(shù)圖象的討論、洛必達（L'Hospital ）法則、近似計算.四、多元函數(shù)微分學1 .偏導數(shù)、全微分及其幾何意義，可微與偏導存在、連續(xù)之間的關系，復合函 數(shù)的偏導數(shù)

4、與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，高階偏導數(shù)，混合偏 導數(shù)與順序無關性，二元函數(shù)中值定理與Taylor公式.2 .隱函數(shù)存在定理、隱函數(shù)組存在定理、隱函數(shù)（組）求導方法、反函數(shù)組與坐 標變換.3 .幾何應用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面 與法線）.4 .極值問題（必要條件與充分條件），條件極值與Lagrange乘數(shù)法.五、一元函數(shù)積分學1 .原函數(shù)與不定積分、不定積分的基本計算方法（直接積分法、換元法、分部 積分法）、有理函數(shù)積分：型，型 2 .定積分及其幾何意義、可積條件（必要條件、充要條件：）、可積函數(shù)類.3 .定積分的性質(zhì)（關于區(qū)間可加性、不等式

5、性質(zhì)、絕對可積性、定積分第一中 值定理）、變上限積分函數(shù)、微積分基本定理、N-L公式及定積分計算、定積分第二中值定理.4 .無限區(qū)間上的廣義積分、Canchy收斂準則、絕對收斂與條件收斂、非負時的收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）、Abel判別法、Dirichlet判別法、無界函數(shù)廣義積分概念及其收斂性判別法5 .微元法、幾何應用（平面圖形面積、已知截面面積函數(shù)的體積、曲線弧長與 弧微分、旋轉(zhuǎn)體體積），其他應用六、多元函數(shù)積分學1 .二重積分及其幾何意義、二重積分的計算（化為累次積分、極坐標變換、一般 坐標變換）.2 .三重積分、三重積分計算（化為累次積分、柱坐標、球坐標變換）3 .重積分的

6、應用（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量等）4 .含參量正常積分及其連續(xù)性、可微性、可積性，運算順序的可交換性.含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性、可積性，運 算順序的可交換性.5 .第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質(zhì)、計算6 .第二型曲線積分概念、性質(zhì)、計算；Green公式，平面曲線積分與路徑無關的條件.7 .曲面的側(cè)、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)、計算，奧高公式、Stoke公式，兩類線積分、兩類面積分之間的關系七、無窮級數(shù)1 .數(shù)項級數(shù)級數(shù)及其斂散性，級數(shù)的和，Cauchy準則，收斂的必要條件，收斂級數(shù)基本性質(zhì)；正項級數(shù)收斂的充分必要條件，比較原則、比式判

7、別法、根式判別法以及它們的極限形式；交錯級數(shù)的Leibniz 判別法；一般項級數(shù)的絕對收斂、條件收斂性、Abel判別法、Dirichlet 判別法.2 .函數(shù)項級數(shù)函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性、Cauchy準則、一致收斂性判別法（M-判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法）、一致收斂函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)及其應用.3 .哥級數(shù)哥級數(shù)概念、 Abel定理、收斂半徑與區(qū)間，哥級數(shù)的一致收斂性，哥級數(shù)的逐項 可積性、可微性及其應用，哥級數(shù)各項系數(shù)與其和函數(shù)的關系、函數(shù)的哥級數(shù)展開、 Taylor 級數(shù)、Maclaurin 級數(shù).4 .Fourier 級數(shù)三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、2

8、及2周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)展開、Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函數(shù)的Fourier 級數(shù)的收斂性定理 n、高等代數(shù)部分一、 多項式1 .數(shù)域與一元多項式的概念2 .多項式整除、帶余除法、最大公因式、輾轉(zhuǎn)相除法3 .互素、不可約多項式、重因式與重根4 .多項式函數(shù)、余數(shù)定理、多項式的根及性質(zhì)5 .代數(shù)基本定理、復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解6 .本原多項式、Gauss引理、有理系數(shù)多項式的因式分解、曰senstein 判別法、有理數(shù)域上多項式的有理根7 .多元多項式及對稱多項式、韋達 （Vieta）定理.二、行列式1 . n級行列式的定義.2 . n

9、級行列式的性質(zhì).3 .行列式的計算.4 .行列式按一行（列）展開 5 .拉普拉斯（Laplace） 展開定理.6 .克拉默（Cramer）法則.三、線性方程組1 .高斯（Gauss）消元法、線性方程組的初等變換、線性方程組的一般解2 . n維向量的運算與向量組.3 .向量的線性組合、線性相關與線性無關、兩個向量組的等價4 .向量組的極大無關組、向量組的秩5 .矩陣的行秩、列秩、秩、矩陣的秩與其子式的關系6 .線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結(jié)構(gòu)7 .齊次線性方程組的基礎解系、解空間及其維數(shù)四、 矩陣1 .矩陣的概念、矩陣的運算 （加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運算）及其運算律.2 .矩陣乘積的

10、行列式、矩陣乘積的秩與其因子的秩的關系3 .矩陣的逆、伴隨矩陣、矩陣可逆的條件4 .分塊矩陣及其運算與性質(zhì).5 .初等矩陣、初等變換、矩陣的等價標準形6 .分塊初等矩陣、分塊初等變換五、雙線性函數(shù)與二次型1 .雙線性函數(shù)、對偶空間2 .二次型及其矩陣表示.3 .二次型的標準形、化二次型為標準形的配方法、初等變換法、正交變換法4 .復數(shù)域和實數(shù)域上二次型的規(guī)范形的唯一性、慣性定理5 .正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣六、線性空間1 .線性空間的定義與簡單性質(zhì).2 .維數(shù)，基與坐標.3 .基變換與坐標變換.4 .線性子空間.5 .子空間的交與和、維數(shù)公式、子空間的直和 七、線性變換1 .

11、線性變換的定義、線性變換的運算、線性變換的矩陣2 .特征值與特征向量、可對角化的線性變換3 .相似矩陣、相似不變量、哈密爾頓-凱萊定理.4 .線性變換的值域與核、不變子空間八、若當標準形1 .矩陣.2 .行列式因子、不變因子、初等因子、矩陣相似的條件3 .若當標準形.九、歐氏空間1 .內(nèi)積和歐氏空間、向量的長度、夾角與正交、度量矩陣2 .標準正交基、正交矢I陣、施密特 (Schmidt)正交化方法.3 .歐氏空間的同構(gòu) .4 .正交變換、子空間的正交補5 .對稱變換、實對稱矢I陣的標準形6 .主軸定理、用正交變換化實二次型或?qū)崒ΨQ矩陣為標準形7 .酉空間.出、解析幾何部分一、向量與坐標1 .向

12、量的定義、表示、向量的線性運算、向量的分解、幾何運算.2 .坐標系的概念、向量與點的坐標及向量的代數(shù)運算3 .向量在軸上的射影及其性質(zhì)、方向余弦、向量的夾角4 .向量的數(shù)量積、向量積和混合積的定義、幾何意義、運算性質(zhì)、計算方法及 應用.5 .應用向量求解一些幾何、三角問題二、軌跡與方程1 .曲面方程的定義：普通方程、參數(shù)方程（向量式與坐標式之間的互化）及其關系2 .空間曲線方程的普通形式和參數(shù)方程形式及其關系3 .建立空間曲面和曲線方程的一般方法、應用向量建立簡單曲面、曲線的方程4 .球面的標準方程和一般方程、母線平行于坐標軸的柱面方程三、平面與空間直線1 .平面方程、直線方程的各種形式，方程中各有關字母的意義2 .從決定平面和直線的幾何條件出發(fā)，選用適當方法建立平面、直線方程.3 .根據(jù)平面和直線的方程，判定平面與平面、直線與直線、平面與直線間的位置 關系.4 .根據(jù)平面和直線的方程及點的坐標判定有關點、平面、直線之間的位置關系、計算他們之間的距離與交角等；求兩異面直線的公垂線方程四、二次曲面1 .柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的定義，求柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的方程2 .橢球面、雙曲面與拋物面的標準方程和主要性質(zhì)，根據(jù)不同條件建立二次曲面 的標準方