§3.2立體幾何中地向量方法(4)及詳解——向量法求線線角與線面角

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)10.54文檔大全高二理科數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案4)§ 3.2立體幾何中的向量方法向量法求線線角與線面角、學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .理解直線與平面所成角的概念.2 .掌握利用向量方法解決線線、線面 、面面的夾角的求法.二、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)問(wèn)題1:什么叫異面直線所成的角？它的范圍是什么？怎樣用定義法求它的大小?問(wèn)題2:怎樣通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)求異面直線所成的角?設(shè)li與12是兩異面直線，a、b分別為li、12的方向向量，li、12所成的角為 仇貝 Ua, b與 0, cos 0=問(wèn)題3:用向量的數(shù)量積可以求異面直線所成的角，能否求線面角？ 如圖，設(shè)1為平面”的斜線，m a= A, a為1的方向向量，n為平面”的法

2、向量，。為1與a所成的角，0=a, n, 則 sin（j）=。三、例題探究例1.如圖，M、N分別是長(zhǎng)為1的正方體 ABCD A'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中點(diǎn).求異面直線 MN與CD'所成的角.A. 30°C. 60°變式：在直三棱柱 ABCAB1cl中，AA=AB = AC, ABXAC, M是CC1的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在A1B1上，則直線PQ與直線AM所成的角等于（）B. 45°D. 90°例2.如圖，三棱柱 ABC AiBiCi中，CA=CB,（1）證明：ABXAiC;

3、（2）若平面 ABC，平面 AAiBiB, AB = CB = 2, 求直線AiC與平面BBiCiC所成角的正弦值.AB=AAi, / BAAi = 60°.變式：如圖，在四黏t P ABCD中，底面為直角梯形,底面 ABCD,且 PA = AD =AB = 2BC, M、N 分別為 PC、所成的角aAD II BC, / BAD = 90°, PAX四、練一練（時(shí)間：5分鐘）i. i.若平面a的法向量為科，直線l的方向向量為V,A . cos 0=M vIMMB. cos 0=|虱v|I IMC. sin 0=m vh|v|D.sin 0=|dv|IMMAiBi2 .如圖

4、，ABCD A1B1C1D1 是正萬(wàn)體，BiEi = DFi=,4則BEi與DF i所成角的余弦值是（）151_8= 172, 1723 .正三棱柱ABC AiBiCi的所有棱長(zhǎng)相等，則ACi與面BBiCiC所成角的余弦值為 （）_54B.D.102直線l與平面a的夾角為2則下列關(guān)系式成立的是 （）實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)4 .已知長(zhǎng)方體 ABCDAiBiCiDi 中，AB=BC = 4, CC1=2,則直線 BC1和平面 DBBiDi所成角的正弦值為（）A.3B.125C.-50D.-15 .正四棱錐S-ABCD ,。為頂點(diǎn)在底面上的射影， P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角為

5、 .【參考答案】§ 3.2立體幾何中的向量方法（4）向量法求線線角與線面角一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .理解直線與平面所成角的概念.2 .掌握利用向量方法解決線線、線面 、面面的夾角的求法.用向量方法求空間中的角角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為為它們的方向向量為 a, b,貝U cos 0 |cos a, b> | . J r!|a 1 |b|兀（0,習(xí)直線與平回 所成的角設(shè)直線1與平囿a所成的角為0, 1的方向向量為a, 平面 a的法向重為 n,貝U sin 0= |cos|a, n>=.|a n!|a|n|兀0,引二面角設(shè)二面角 a 1 3的平面角為 0

6、,平面 a> 3的法向量為 ni, n2,則 |cos 6|=|cos, np |= |ni 11n2|0,兀1 .求異面直線所成的角設(shè)li與12是兩異面直線，a、b分別為li、12的方向向量，li、12所成的角為9,則a,b>與。相等或互補(bǔ),cosO=Ja-bl |a| |br3 .求直線與平面所成的角如圖，設(shè)1為平面a的斜線，in a= A, a為1的方向向量，n為平面a的法向量，。為 1 與 a所成的角，0=a, n，則 sin 4= |cos 0|= |cosa, n> l = jn|.二、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)問(wèn)題1:什么叫異面直線所成的角？它的范圍是什么？怎樣用定義法求它的大小

7、?問(wèn)題2:怎樣通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)求異面直線所成的角？設(shè)11與12是兩異面直線，a、b分別為11、12的方向向量，11、12所成的角為 仇貝 Ua, b與 0, cos 0=問(wèn)題3:用向量的數(shù)量積可以求異面直線所成的角，能否求線面角？ 如圖，設(shè)1為平面”的斜線，m a= A, a為1的方向向量，n為平面”的法向量，。為1與a所成的角，0=a, n, 則 sin（j）=。三、例題探究A例1.如圖，M、N分別是長(zhǎng)為1的正方體 ABCD A'B'C'D'的棱BB'、B'C'的 中點(diǎn).求異面直線 MN與CD'所成的角.【答案】60°

8、變式：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA=AB = AC, ABXAC, M是CC1的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在A1B1上，則直線PQ與直線AM所成的角等于（）B. 45°D. 90°A. 30°C. 60°答案D解析以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AAi為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)11 1AB=1, A(0,0,0), M(0,1, 2), Qg,萬(wàn),0),設(shè) P(x,0,1),AM =(0,1, , PQ=(2-x, 1, 1), AM pQ = 0X(1x)+1X；+ 2x(-1)=0,AMlPQ, ,.選 d.點(diǎn)評(píng)1.求異面直線所成的角

9、的常用方法是：(1)作圖一一證明一一計(jì)算；(2)把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.2. 一般地，若直線 AM和點(diǎn)Q固定，點(diǎn)P變動(dòng)，則直線 AM與PQ所成的角為變量， 若此角不隨P的變化而變化，則只能是 AM,平面P1P2Q(其中P1、P2是P運(yùn)動(dòng)軌跡中的 兩個(gè)點(diǎn))，故選D.AB=AAn / BAA1 = 60°.例2.如圖，三棱柱 ABC A1B1C1中，CA=CB,(1)證明：ABXA1C;(2)若平面 ABC,平面 AA1B1B, AB = CB = 2, 求直線AC與平面BB1C1C所成角的正弦值.解析(1)取AB中點(diǎn)O,連接CO, A1B , A1O, . AB= AA1, / BA

10、A1=60°, .BAA1 是正三角形, A1OXAB, . CA=CB,COXAB,文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn) COnA1O = o,AB,平面 COA1,ABXAiC.(2)由(1)知 OCXAB,OAJAB,文檔大全|OA|為單位長(zhǎng)度OA1兩兩相互垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA的方向?yàn)閤軸正方向,設(shè) n = (x, y,z)是平面CBB1C1的法向量,n BC= 0則 一ni BB1 = 0x + *z = 0, x+ 73y= 0,可取 n = (>/3, 1, 1),又平面ABC，平面ABBiAi,平面 ABCn 平面 ABBiAi= AB, . OCL平面 ABBiAi ,OCX

11、OA1, .OA, OC,由題設(shè)知 A(1,0,0), Ai(0, 73, 0), C(0,0,m),B(-1, 0,0),則 bC=(1,0,木),BBi = aA1 =(1,小,0),枇=(0, 逐 回L、 n A1C. 10 . cos n, A1C> = -= 一 |n|AC|，直線AC與平面BBGC所成角的正弦值為 尊變式：如圖，在四麴隹P-ABCD中，底面為直角梯形，AD/BC, Z BAD = 90°, FAX底面 ABCD,且PA = AD =AB = 2BC, M、N分別為 PC、PB的中點(diǎn).求 BD與平面 ADMN所成的角0解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

12、設(shè) BC=1,則A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,2,0),P(0,0,2),則 N(1,0,1).D>>> .BD = (-2,2,0), AD = (0,2,0), AN= (1,0,1),設(shè)平面 ADMN的一個(gè)法向量為 n=(x, y, z),nA D= 0y= 0則由；，得f，取x= 1,則z= 1,eaN = 0x+z= 0n = (1,0, 1).cos BD, n>BD n 21=-=|BD|n| 乖乖1. sin 0= |cos BD , n> |=2.又 0y 陛 90°,0= 30°.方法規(guī)律總結(jié)用向量方法求異

13、面直線所成的角、線面角、二面角，都是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量或平面的法向量的夾角計(jì)算問(wèn)題，需注意的是異面直線所成的角長(zhǎng)（0, 2,故兩直線的方向向量夾角a的余弦值為負(fù)時(shí)，應(yīng)取其絕對(duì)值；若直線與平面所成的角9,直線的方向向量和平面的法向量夾角為八則其關(guān)系為sin 0= |cos業(yè)若二面角為。，兩平面的法向量夾角為a,則|cos 0|= |cos d，需分辨角。是銳角還是鈍角，可由圖形觀察得出，也可由法 向量特征得出.四、練一練（時(shí)間：5分鐘）1 .若平面a的法向量為臼直線l的方向向量為V,直線l與平面a的夾角為2則下列關(guān)系式成立的是（）A. cos 0= rvB. cos 0= v C. sin 0

14、= Tjv.D. sin 0= |-v|IMMIMIU1MMIMM答案D2.如圖，ABCD A1B1C1D1是正方體,BiEi = D1F1 =A1B141518A.B.一C.17217則BE1與DF 1所成角的余弦值是（）D.2答案A解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè) AB = 4,則 D (0,0,0), B(4,4,0), E1(4,3,4),F1(0,1,4),則 BEi= (0, 1,4), DFi= (0,1,4).BEi DFi = 0X 0+(1)X 1 + 4X4=15, |BEi|=T17, |DFi|=；77,. cos <BEi, DFpBE DF _15 _

15、15一 一 V17 v'17 17' |B E|D F| " 1 17設(shè)BE1與DFi所成的角為 2則cos 9=| BE DF |=17, |BE|DF|15即BEi與DFi所成的角的余弦值為 故選A.3 .正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)相等，則ACi與平面BB1C1C所成角的余弦值為（）A也B5C犯A、4B、4C、2答案B解析取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)DCi,可以證明AD _L平面BBQiC,則/ACiD是ACi與平面BBiCiC所成的角,cos/ACiD =CD=業(yè)，即ACi與平面BBiCiC所成角的余弦值為 叵，故選B.ACi 2,2444 .已知長(zhǎng)方體 AB

16、CD AiBiCiDi 中，AB=BC = 4, CC1=2,則直線 BC1和平面 DBBQi 所成角的正弦值為()/BqC)ioA. 2B. 2C. 5D. i0答案C解析解法一：連結(jié)AiCi交BiDi于。點(diǎn)，由已知條件得 CiOBiDi,且平面BDDiBi ，平面AiBiCiDi,所以CiOL平面BDDiBi,連結(jié)BO,則BO為BCi在平面BDDiBi上的 射影，/ CiBO即為所求，通過(guò)計(jì)算得 sin/CiBO = "50,故選C.解法二：以A為原點(diǎn)，AB、AD、AAi為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則B(4,0,0)、Bi(4,0,2)、D(0,4,0)、Di(0,4

17、,2)、Ci(4,4,2) BCi = (0,4,2), BD = (-4,4,0), BBi = (0,0,2), 設(shè)平面BDDiBi的法向量為 n=(x, y, z),則n BD= 0 4x+4y=0y=x(,i ，取 x=i,貝U n=(i,i,0).2z =0lz=0、n BBi = 0設(shè)所求線面角為a,則sin a= |cosn, BCp.|n BCi|=_4_ =匹一V2 V205 .|n| |BCi|5.正四棱錐SABCD中，O為頂點(diǎn)S在底面ABCD上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角為答案30解析可利用平面的法向量。課堂小結(jié):1 .異面直線l, m的方向向量為a, b,則l與m