11 不等式的基本性質(zhì)和一元二次不等式的解法

1、1.1不等式的基本性質(zhì)和一元二次不等式的解法1.1.1不等式的基本性質(zhì)1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.理解實(shí)數(shù)大小與實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)間的關(guān)系，掌握比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法.2.理解不等式的性質(zhì)，能夠運(yùn)用不等式的性質(zhì)比較大小.3.掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法.基礎(chǔ)·初探教材整理1不等式的性質(zhì)1.對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，有且只有以下三種情況之一成立：a>bab>0；a<bab<0；abab0.2.不等式的基本性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a>bb<a.(2)傳遞性：a>b，b>ca>c.(3)加(減)：a>bac&g

2、t;bc.(4)乘(除)：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc.(5)乘方：a>b>0an>bn，其中n為正整數(shù)，且n2.(6)開方(取算術(shù)根)：a>b>0>，其中n為正整數(shù)，且n2.(7)可加性：a>b，c>dac>bd.(8)可乘性：a>b>0，c>d>0ac>bd.若a，b是任意實(shí)數(shù)，且a>b，則()A.a2>b2B.<1C.lg(ab)>0D.<【解析】a>b并不能保證a，b均為正數(shù)，從而不能保證A，B成立.又a>

3、;bab>0，但不能保證ab>1，從而不能保證C成立.顯然D成立.事實(shí)上，指數(shù)函數(shù)y是減函數(shù)，所以a>b<成立.【答案】D教材整理2一元一次不等式的解法關(guān)于x的不等式ax>b，(1)當(dāng)a>0時(shí)，該不等式的解集為；(2)當(dāng)a<0時(shí)，該不等式的解集為；(3)當(dāng)a0時(shí)，若b<0，則該不等式的解集為R；若b0，則該不等式的解集為.不等式組的解集是x|x2，則m的取值范圍是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000000】A.m2B.m2C.m1D.m1【解析】原不等式組可化為解集為x|x2，m12，m1.【答案】C教材整理3一元二次不等式的解法形如ax2bxc>0

4、(a>0)的解法：b24ac>00<0yax2bxc (a>0)的圖象ax2bxc0(a>0)的根有兩個(gè)不等的實(shí)根x1，x2且x1<x2有兩個(gè)相等的實(shí)根x1，x2且x1x2無實(shí)根ax2bxc >0(a>0) 的解集x|x<x1或x>x2Rax2bxc<0(a>0)的解集x|x1<x<x2不等式x25x6>0的解集是()A.x|2<x<3B.x|x<2或x>3C.x|1<x<6D.x|x<1或x>6【解析】原不等式可化為x25x6<0，即(x2)(x3)

5、<0，所以原不等式的解集為x|2<x<3.【答案】A質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型比較大小(1)已知x>3，比較x33與3x2x的大??；(2)若m>0，試比較mm與2m的大小.【精彩點(diǎn)撥】(1)只需考查兩者的差同0的大小關(guān)系；(2)注意到2m>0，可求商比較大小，但要注意到用函數(shù)的性質(zhì).【自主解答】(1)x333x2xx2(x3)(x3)(x3)(x1)(x1).x>3，(x3)(x1)(x1)>0，x33>3x2x.(2)，當(dāng)m2

6、時(shí)，1，此時(shí)mm2m；當(dāng)0<m<2時(shí)，0<<1，<1，mm<2m；當(dāng)m>2時(shí)，>1，>1，mm>2m.1.利用作差法比較大小，實(shí)際上是把比較兩數(shù)大小的問題轉(zhuǎn)化為差的符號(hào)問題.作差時(shí)，只需看差的符號(hào)，至于差的值究竟是多少，這里無關(guān)緊要.2.在變形中，一般是變形得越徹底越有利于下一步的判斷.作差法變形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等.3.利用求商比較法比較兩個(gè)式子的大小時(shí)，第(2)步的變形要向著有利于判斷商與1的大小關(guān)系的方向變形，這是最重要的一步.再練一題1.已知A，B，其中x，y為正數(shù)，試比較A與B的大小. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：

7、38000001】【解】AB.x，y均為正數(shù)，x>0，y>0，xy>0，xy>0，(xy)20，AB0，即AB.利用不等式的性質(zhì)求范圍設(shè)f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，在求f(2)的取值范圍時(shí)有如下解法：由得3f(2)4a2b12.上述解法是否正確？為什么？【精彩點(diǎn)撥】本題錯(cuò)在多次運(yùn)用同向不等式相加(單向性)這一性質(zhì)上，導(dǎo)致f(2)的范圍擴(kuò)大.因此需要將f(2)用ab與ab整體表示.【自主解答】給出的解法不正確.設(shè)f(2)mf(1)nf(1)，則4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(mn)b.于是解得f(2)3f(1)f(1).又1f(1

8、)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10.因此，f(2)的取值范圍是5,10.1.求代數(shù)式的取值范圍是不等式性質(zhì)應(yīng)用的一個(gè)重要方面，嚴(yán)格依據(jù)不等式的性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，是解答此類問題的基礎(chǔ).2.先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“不等關(guān)系的運(yùn)算，求得待求的范圍”，是避免犯錯(cuò)誤的一條途徑.再練一題2.已知6<a<8,2<b<3，分別求ab，的取值范圍.【解】6<a<8,2<b<3.3<b<2，9<ab<6，則ab的取值范圍是(9,6).又<<，(1)當(dāng)0a<8時(shí)，0<4；

9、(2)當(dāng)6<a<0時(shí)，3<<0.由(1)(2)得3<<4.因此的取值范圍是(3,4).一元二次不等式的解法解下列關(guān)于x的一元二次不等式.(1)3x25x2>0；(2)9x26x1>0；(3)x24x5>0.【精彩點(diǎn)撥】先由不等式確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2bxc0的根，再根據(jù)二次函數(shù)yax2bxc的圖象確定不等式的解集.【自主解答】(1)方程3x25x20的兩根為x12，x2，函數(shù)y3x25x2的圖象開口向上，與x軸交于兩個(gè)點(diǎn) (2,0)，觀察圖象可得不等式3x25x2>0的解集為x或x<2.(2)方程9x26x10有兩個(gè)相等的

10、實(shí)數(shù)根x1x2，二次函數(shù)y9x26x1的圖象開口向上，與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，觀察圖象可以得到不等式9x26x1>0的解集為.(3)方程x24x50可化為(x2)210，故方程x24x50沒有實(shí)數(shù)根，函數(shù)yx24x5的圖象開口向上并且與x軸沒有交點(diǎn)，由圖象可得，不等式x24x5>0的解集為R.當(dāng)a>0時(shí)，解形如ax2bxc>0(0)或ax2bxc<0(0)的一元二次不等式，一般可以分為三步：(1)確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2bxc0的解；(2)畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)yax2bxc的圖象；(3) 由圖象得出不等式的解集.再練一題3.不等式x2x20的解集為_.【解析】方程x2x2

11、0的兩根為x12，x21，函數(shù)yx2x2的圖象開口向上，不等式x2x20的解集為2,1.【答案】2,1含參數(shù)的一元二次不等式的解法解關(guān)于x的不等式：ax2(a1)x10.【精彩點(diǎn)撥】由于aR，故分a0，a0，a0討論.【自主解答】若a0，原不等式可化為x10，即x1.若a0，原不等式可化為(x1)0，即x或x1.若a0，原不等式可化為(x1)0.(*)其解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定，故(1)當(dāng)a1時(shí)，由(*)式可得x；(2)當(dāng)a1時(shí)，由(*)式可得x1；(3)當(dāng)0a1時(shí)，由(*)式可得1x.綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，解集為；當(dāng)a0時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)0a1時(shí)，解集為；當(dāng)a1時(shí)，解集為；當(dāng)a1時(shí)，

12、解集為.解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)要注意對(duì)參數(shù)分類討論.討論一般分為三個(gè)層次，第一層次是二次項(xiàng)系數(shù)為零和不為零；第二層次是有沒有實(shí)數(shù)根的討論，即判別式0，0，0；第三層次是根的大小的討論.再練一題4.解關(guān)于x的不等式x2(aa2)xa3>0(aR).【解】原不等式可化為(xa)(xa2)>0，當(dāng)a<0時(shí)，a<a2，解集為x|x<a或x>a2；當(dāng)a0時(shí)，a2a，解集為x|x0；當(dāng)0<a<1時(shí)，a2<a，解集為x|x<a2或x>a；當(dāng)a1時(shí)，a2a，解集為x|x1；當(dāng)a>1時(shí)，a<a2，解集為x|x<a或x>

13、a2.綜上所述：當(dāng)a<0或a>1時(shí)，解集為x|x<a或x>a2；當(dāng)0<a<1時(shí)，解集為x|x<a2或x>a；當(dāng)a0時(shí)，解集為x|x0；當(dāng)a1時(shí)，解集為x|x1.一元二次不等式的應(yīng)用設(shè)aR，關(guān)于x的一元二次方程7x2(a13)xa2a20有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2且0<x1<1<x2<2，求a的取值范圍.【精彩點(diǎn)撥】若把方程左邊看成二次函數(shù)f(x)，則它的圖象是開口向上的拋物線，與x軸相交的條件是f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，所以只需解關(guān)于a的不等式組，即可求出a的取值范圍.【自主解答】設(shè)f(x)7

14、x2(a13)xa2a2.x1，x2是方程f(x)0的兩個(gè)實(shí)根，且0<x1<1,1<x2<2，有即有有有2<a<1或3<a<4.a的取值范圍是a|2<a<1或3<a<4.解關(guān)于二次方程根的分布問題，應(yīng)考慮“三個(gè)二次”的關(guān)系，分清對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向及根所在區(qū)域的范圍，畫出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象列出有關(guān)的不等式或不等式組進(jìn)行求解.再練一題5.一個(gè)服裝廠生產(chǎn)風(fēng)衣，日銷售量x(件)與售價(jià)p(元/件)之間的關(guān)系為p1602x，生產(chǎn)x件的成本R50030x元.(1)該廠日產(chǎn)量多大時(shí)，日利潤(rùn)不少于1 300元？(2)當(dāng)日產(chǎn)

15、量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【解】(1)由題意知，日利潤(rùn)ypxR，即y(1602x)x(50030x)2x2130x500，由日利潤(rùn)不少于1 300元.得2x2130x5001 300，即x265x9000，解得20x45.故當(dāng)該廠日產(chǎn)量在2045件時(shí)，日利潤(rùn)不少于1 300元.(2)由(1)得，y2x2130x5002，由題意知，x為正整數(shù).故當(dāng)x32或33時(shí)，y最大為1 612.所以當(dāng)日產(chǎn)量為32或33件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為1 612元.可化為一元二次不等式的分式不等式的解法解不等式：2.【精彩點(diǎn)撥】把不等式轉(zhuǎn)化為0求解.【自主解答】2，20，即0，0，x2或x5

16、.即原不等式的解集為x|x2或x5.解分式不等式總的原則是利用不等式的同解原理將其轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)求解.即0f(x)·g(x)0或f(x)0.0或f(x)·g(x)0.再練一題6.不等式0的解集為()A.x|1x2B.x|x2且x1C.x|1x2且x1D.x|x1或1x2【解析】因?yàn)椴坏仁?，等價(jià)于(x1)(x1)(x2)0，所以該不等式的解集是x|x1或1x2.【答案】D探究共研型不等式的性質(zhì)及恒成立問題探究1甲同學(xué)認(rèn)為a>b<，乙同學(xué)認(rèn)為a>b>0<，丙同學(xué)認(rèn)為a>b，ab>0<，請(qǐng)你思考一下，他們誰說的正確？【提示

17、】它們的說法都不正確.設(shè)f(x)，則f(a)，f(b)，可以利用函數(shù)f(x)的圖象比較f(a)與f(b)的大小.探究2不等式兩邊同時(shí)乘以(或除以)一個(gè)數(shù)時(shí)，要注意什么？【提示】要先判斷這個(gè)數(shù)是否為零，決定是否可以乘以(或除以)這個(gè)數(shù)，再判斷是正還是負(fù)，決定不等號(hào)的方向是否改變.探究3ax2bxc>0對(duì)一切xR都成立的充要條件是什么？【提示】或若不等式x2ax10對(duì)一切xR都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【精彩點(diǎn)撥】設(shè)f(x)x2ax1，只要f(x)的圖象全部位于x軸上方，只要頂點(diǎn)在x軸上或x軸上方即可.【自主解答】a240，2a2，實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,2.再練一題7.把上述例題中“xR”改

18、為x，求a的取值范圍.【解】法一：x2ax10，x可化為ax，設(shè)f(x)x，x，af(x)min.f(x)在上是減函數(shù)，f(x)minf，a，a，a的取值范圍是.法二：設(shè)f(x)x2ax1，則對(duì)稱軸為x.當(dāng)，即a1時(shí)，f(x)在上是減函數(shù)，應(yīng)有f0a1；當(dāng)0，即a0時(shí)，f(x)在上是增函數(shù)，應(yīng)有f(0)1>0恒成立，故a0；當(dāng)0<<，即1<a<0時(shí)，應(yīng)有f110恒成立，故1<a<0.綜上，有a.a的取值范圍是.構(gòu)建·體系1.若x2且y1，Mx2y24x2y，N5，則M與N的大小關(guān)系是()A.M>NB.M<NC.MND.不能確定【解析】MNx2y24x2y(5)(x2)2(y1)2.x2且y1，x20且y10，(x2)2(y1)2>0，故M>N.【答案】A2.已知函數(shù)f(x)xx3，x1，x2，x3R，x1