直角三棱錐的幾個(gè)性質(zhì)

1、直角三棱錐的幾個(gè)性質(zhì)有一類特殊笊三鏤雀，它的經(jīng)過(guò)同一廉點(diǎn)的三條喙兩曲垂巨，我們不妨把這種三棱毎稱作直角三 樓鋰，從結(jié)構(gòu)上看.它是平面的亙吊三金形在空間的1T風(fēng) 循著宜金三角形的一些重娶性質(zhì)對(duì)宜萌三 棱錯(cuò)進(jìn)行探究.我們能得到SL甬三棱竹的有逝的祁應(yīng)性質(zhì)現(xiàn)在我們來(lái)探究一下宜角三棱徉旳性質(zhì).如圖所示，在三棱祚PPBC中，三條啊核PAs PB. PC 兩兩至宜.設(shè) PA= a. PB=b. PC=co性質(zhì)1：直角三棱錐的底面是銳角三角形。證明 1 VPA. PB. PC 兩兩乖乳 /.PA1¥ PBC. PB1 叵FCA. PC丄面?A3.面PAB.直PBC、面PCA兩兩垂直。 作PHI面A

2、BC于H,連0并延長(zhǎng)井交AB于D.連PD.則 PH1A3, PH丄CD,面 PCD丄面 AES 而 PC丄面 PAEZ>PC丄AB, 所以AB丄面PCD, AB丄P) AB丄CH。辰理.AH丄BC5H 丄CA。由AB丄面PCD知CD丄AE ,而PD丄皿 且/APB二 90° , A ZABCs Z"B為銳角°同理./BCA也是俛角，性質(zhì)2：宜角三棱錐頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的垂心。訂明：tl AB1CH. AII1BC. BH丄CA易犯 I【是AAEC的垂心.由此可得,性質(zhì)3直角三棱錐頂點(diǎn)到底面的距離為hahoW證明：在 RtA PAB 中，PD - A

3、E-PA - PLZ>?D=;在骯厶 PCD 中，CLj =PdJ +PCjPD7 PC1 _J77戸_.1+i2cJ fc2o)l 扣皿曲兩TP齊而陽(yáng)2 而?1 1 1?v+?-性質(zhì)4：直角三棱錐三條側(cè)棱與底面所成角的止張值的半方和等于1“(三 條側(cè)棱與底面所成角，和二個(gè)側(cè)面與底面所成角互為余角。)證明|因FH丄面ABC,側(cè)棱PC與底面ABC所成角為ZPCH=a ,則sin ZPCH-sinJ a()黑7?；睄u盤；心同理冊(cè)沖底面S如和=a2P .sinjZPBH-sin卩三_??？_，側(cè)棱P4勻底直桂：所成角為ZFAH-VsinjZPEH ,所Mv sina +sin) 3 +sin)

4、y 三1因此,性質(zhì)5：肓角三棱錐三個(gè)側(cè)面與底面所成角的余弦值的平方和等于lo曲出丄PQAB丄CD.；側(cè)IfFAB與底而ABS所成血為ZPDCf由PC丄PD知0 +a 90° , AsinJ a =sin j(90e -G ) =ccsj 0。婁似推理.由 sin a +»in jP +sinjy =1.易得i s in j G +«inj 0 +sin = 1。性質(zhì)6：底面內(nèi)任一點(diǎn)到頂點(diǎn)距離的平方，等于它到三個(gè)側(cè)面距離的平方 和。如圖，Q為底3A ABC 任一點(diǎn)作點(diǎn)Q到ifcPAB的距離為RQ=d至価PBC的距離為RT封面PCA的距離為RS-dJ.容扇性質(zhì)7：真角三棱錐底面三角形的面積S=£站好初T+J,。證明：底而=角形的面和S1性質(zhì)&直角三棱錐三個(gè)側(cè)面面積的平方和，等于底面面積的平方。證明把spjiL；皿 ;ilK-叫Jt> ' tfCIi池$曲；這三個(gè)式子相加，得s此=3酬】<-$m+F,性質(zhì)9：宜角=棱錐外接球的半徑r=| 77F7?-證明：特宜角三極鉗補(bǔ)成長(zhǎng)方體.則自角三檢鏈的外接球也