蘇教版必修平面向量章末質(zhì)量評(píng)估

1、章末質(zhì)量評(píng)估（二）（時(shí)間：120分鐘滿分：160分）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）1 在平行四邊形中，BC+ DC + BA+ DA等于.解析 注意DC+BA= 0, BC+ DA = 0.答案 02在平行四邊形 ABCD 中，已知 aC= （-4,2）, BD二（2,-6），則 2aB + AD”AB + AD = AC = （ 4，2）解析 由已知得，相加得2AD= （ 2， 4）， AD AB= BD = 2， 6AD= （ 1， 2）;相減得 2AB= （ 6,8），2AB + AD = （ 6,8）+ （ 1， 2） = （ 7,6）.答案 （一7,6）3.已知

2、三個(gè)力f1 = （ 2， 1），f2= （ 3,2），f3= （4，3）同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個(gè)力f4,則f4=.解析 由力的平衡原理知f1+ f2 + f3+ f 4= 0，'f4= (f1+ f2 + f3)= (1,2).答案(1,2)4.已知平面向量 a B, I a= 1,13 = 2，a丄(a 2 3，則|2 a+ Bl的值是.解析 由 a 1( a 2 B得 a( a 2 3)= 0,；a2 2 a := 0.又' a|= 1 ,.°.a =：!，又' 3|= 2,.°|2a+ ：=寸(2 a+ : =J4孑

3、+ 4 a ：+ ：=4 + 4X 2 + 4 = . 10.答案 105. 若向量 a= (1,2)，b= (-3,4)，則(a b)(a+ b) =解析 a b= 3+ 8 = 5，a+ b= (-2,6)(a b)( a+ b) = (- 10,30).答案(10,30)6. 已知 a= (-2,5)，|b| = 2|a|，若 b 與 a 反向，貝U b=.解析 b=- 2a= (4，- 10).答案(4，- 10)7. 等邊 ABC 的邊長(zhǎng)為 1， AB= a， BC= b， CA= c，那么 a b+ b c+ c a=解析 由已知 |a|= |b|= |c|= 1， b+ b c+

4、 c a = cos 120 ° cos 120 ° cos 1208直線I平行于向量a= (2,3)，則直線l的斜率為.3答案39下列說法中錯(cuò)誤的是 .(請(qǐng)寫出所有錯(cuò)誤說法的序號(hào))a b= 0,貝U a = 0 或 b= 0；(a b)c= a(b c)； P2 q2= (P q)2.解析 '-alb時(shí)，a b= 0,.當(dāng)a b= 0時(shí)不能得出a = 0或b= 0;.是錯(cuò)誤的.ta b是數(shù)量，所以(a b)c為一個(gè)向量，并且此向量與 c共線；雖然a(b c)也是一個(gè)向量，但它與a共線；.a b)c不一定與a(b c)相等；.是錯(cuò)誤的.p2 q2=|p|2 |q|2

5、, (p q)2= |p2|qfcoS & B為 p與 q 的夾角)；當(dāng)且僅當(dāng) p/q 時(shí)，p2 q2= (p q)2才成立；.是錯(cuò)誤的.本題三種說法均不正確.答案|AB|10.已知在平面上不共線的四點(diǎn) O, A, B, C,若OA 3OB+ 2OC= 0,則匕|BC| 1 2 解析 由題意得，3OB = OA+ 2OC, OB=3OA+3OC，所以O(shè)A+ AB= OB= 1 f 2 f3OA+3OC.f 2f f所以 AB= 3(0C OA)|ABI 2所以B與AC共線，所以1 = 2.|BC|答案211. 已知 |p|= 2迄，|q|= 3, p、q夾角為n，則以 a = 5p+

6、2p, b= p 3q 為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為 .解析 a+ b= 6p q,對(duì)角線長(zhǎng)為|a+ b| =22n|6p| + |q| 2|6p| |q|cos4=288+ 9 72= 225= 15.答案 1512. 設(shè)向量 a, b, c 滿足 a+ b+ c= 0, (a b)丄c, a丄b,若|a|= 1,則 |af+ |b|2 + |c|2 的值是.解析 由 alb,得 a b= 0.由 a+ b+ c= 0,得 c= (a+ b).又(a b)Jc,(a b) c= 0, (a b) (a+ b) = 0,a2 b2= 0, |a|= |b|= 1,：|c|2= (a+ b

7、)2= |af + |b|2 + 2a b= 2,/|a |2 + |bf+ |cf= 1+ 1 + 2= 4.答案413. 若 a, b, c 均為單位向量，且 a b= 0, (a c) (b c)<0,則 |a+ b c|的最大值為解析 由(a c)(b c)w 0, a b= 0 得：a c b c+ c2< 0, 即卩 a c+ b c>c2= 12|a+ b c| = 1 + 1 + 1 2(a c+ b c) < 1'|a+ b c| w 1答案114以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形 OAB,/ OBA= 90° 則點(diǎn)B的

8、坐標(biāo)為.解析 設(shè) B(x, y)則OB= (x, y), AB= (x 4, y 2).0BA= 90° 即OB1AB, OB AB = 0，x(x 4) + y(y 2)= 0 即 x2 + y2 4x 2y= 0設(shè)OA的中點(diǎn)為C,則點(diǎn)C(2,1), OC= (2,1), CB= (x 2, y 1)在等腰直角OB 中，OCJEBC'2(x 2) + y 1= 0 即 2x+ y 5 0|x= 1x= 3解得或B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)或(3, 1)ly= 3ly= 1答案(1,3)或(3, 1)二、解答題(本大題共6小題，共90分)15. (本小題滿分14分)(2010江蘇)在

9、平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A( 1,2), B(2,3), C( 2, 1).(1) 求以線段AB, AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；(2) 設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(AB tOC) OC= 0,求t的值. 解 (1)由題設(shè)知 AB= (3,5), AC= ( 1,1),則AB+ Ac (2,6), AlAc(4,4),所以 AB+ AC| = 2 10, AB-aC匸 4 2.故所求的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為2,10, 4 2.由題設(shè)知(-2,- 1), AB-tOC二(3+ 2t,5+1).由(AB-tOC) 0C= 0,得(3 + 2t,5+1) (-2,- 1)= 0,從而 5t= 11,所

10、以 t1115.16. (本小題滿分14分)已知平面上三個(gè)向量a、b、c的模均為1,它們相互 之間的夾角均為120°.(1)求證：(a- b)丄 c；若|ka+ b+ c|>1(k R)，求k的取值范圍.(1) 證明 因?yàn)?a-b) c= a c- b c= 1 x 1 x cos 120 1 x cos 120 =0,所以(a b)丄 c.2 2 2 2 2(2) 解 |ka+ b+ c|>1? |ka+ b+ c| >1? ka + b + c + 2ka b+ 2ka c+ 2b c>1,因?yàn)閍、b、c的模均為1,且相互之間的夾角均為120°,

11、所以 a2= b2= c2 = 1, a b= b c= a c=-,從而有 k2 + 1-2k>1, 即卩 k2- 2k>0，所以 k<0 或 k>2.17. (本小題滿分14分)已知|a|= 2, |b| = 3, a與b的夾角為60°, c= 5a+ 3b, d= 3a + kb,當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，(1)c/ d; (2)c丄 d.1解 由題意得 a b= |a|b|cos 60 = 2x 3x 丁 3.(1) 當(dāng) c/ d, c= d 貝U 5a + 3b= ?(3a+ kb).-3 后 5,且 k 后 3,. k=.5(2) 當(dāng) c丄d 時(shí)，c d=

12、 0,則(5a + 3b) (3a + kb) = 0.2229.15a2 + 3kb2 + (9 + 5k)a b= 0,. k=-18. (本小題滿分 16 分)已知向量 OA= (3,- 4), OB= (6,- 3), OC= (5- m,- (3 + m).(1) 若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù) m應(yīng)滿足的條件；(2) 若厶ABC為直角三角形，且/ A為直角，求實(shí)數(shù)m的值.解 (1)已知向量 5A= (3, 4), 0B= (6, - 3), OC = (5- m, (3 + m).若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線AB= (3,1), AC= (2- m,11-m),故

13、知3(1 - m)工2-m,：實(shí)數(shù)m時(shí)，滿足條件.(2)若厶ABC為直角三角形，且/ A為直角，則AB丄AC,： 3(2 - m) + (1-m) = 0,解得 m= 7.19. (本小題滿分16分)已知線段PQ過厶OAB的重心G,且P、Q分別在OA、OB 上，設(shè) OA= a, OB= b, OP= ma, OQ= nb.11求證：一+ 一 = 3.m n證明如右圖所示,2 1 ：OG= 3OD = 3(a+ b). 1 11 :PG= OG- OP= 3(a+ b) ma= 3 m a+ 3b.PQ= OQ- OP= nb- ma.又P、G、Q三點(diǎn)共線，所以存在一個(gè)實(shí)數(shù) 入使得PG= ?PQ

14、.m,m+入ma+ 1-3 m+0,a與b不共線，二彳13入n 0,由消去入得：-+ -= 3.m nMP MN =16分)已知兩點(diǎn) M( 1,0), N(1,0),且點(diǎn)P滿足PM PN 20.(本小題滿分NM NP PM PN<0.(1) 點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？(2) 若點(diǎn)P坐標(biāo)為(xo, yo), 0為PM與pN的夾角，求tan 0的值.解 (1)設(shè) P(x, y), M( 1,0), N(1,0),PM= IMP = ( 1 x,y), PN= NP= (1 x,y),MN = NM = (2,0),二 MP MN = 2(1 + x),PM PN = x2 + y2 1, NM NP = 2(1 x),依題意得2 2,1x + y 1= q2 1+ x + 2 1 x, 2(1-x)