相似圖形提高講義

1、圖形相似線段的比、黃金分割及形狀相同的圖形知識要點要點1 線段的比(1) 線段的比：在同一單位下，兩條線的長度的比叫做這兩條線段的比。(2) 成比例線段：四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段成比例線段，當(dāng)bc時，有，稱b為a與d的比例中項。(3) 比例尺：比例尺圖上距離：實際距離（4）兩條線段被一組平行線所截的線段成比例。說明：判斷四條線段是否成比例，首先要把四條線段的單位化成同一單位，再計算它們的比值來判斷，要注意它們的順序。要點2 比例的性質(zhì)比例的基本性質(zhì)： 要點3 黃金分割概念：若點C把線段AB分成兩條線段AC、BC (ACBC)，若，我們稱線段AB

2、被點C黃金分割，C點為該條線段的黃金分割點，較短線段與較長線段（或較長線段與原線段）的比叫做黃金比。說明：(1)一條線段有兩個黃金分割點。黃金分割比是兩個線段的比，沒有單位；(2) 一條線段黃金分割后，原線段、較長線段、較短線段有其固定關(guān)系：若AB1，XS01相似多邊形相似三角形及三角形相似的條件知識要點相似多邊形要點1 各角對應(yīng)相等，各邊對應(yīng)成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做多邊形的相似比。說明：(1) 相似多邊形的定義既可以看作是相似多邊形的性質(zhì)，又可以看作相似多邊形的判定；(2)判定相似的兩個條件，一個是各角對應(yīng)相等，另一個是各邊對應(yīng)成比例；二者缺一不可。相似三角

3、形要點2 三個角對應(yīng)相等，三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形叫做相似三角形。說明：(1) 相似三角形的各角對應(yīng)相等，各邊對應(yīng)成比例；(2) 兩個三角形的相似比為1時，這兩個三角形就是全等三角形，故全等三角形是相似三角形的特殊情況；(3) ABC與A/B/C/相似和 ABCA/B/C/的含義有所不同，前者沒有指明這兩個相似三角形的對應(yīng)關(guān)系，而后者表明了對應(yīng)關(guān)系。 要點3 三角形相似的判別方法方法1：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似. 方法2：兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；方法3：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；方法4：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似。引申 直

4、角三角形除了具有以上3種判別方法，還有以下方法：一條直角邊和一條斜邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似；斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。說明：(1) 相似三角形判定的三種判別方法中，“角角”“邊邊邊”用的最廣泛。在用“邊角邊”時要注意，必須是夾“角”的兩邊對應(yīng)成比例；(2) 要找準(zhǔn)對應(yīng)邊，一般對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，最長的邊或最短的邊是對應(yīng)邊，公共邊一般不是對應(yīng)邊。在找對應(yīng)角時，公共角、對頂角一般是對應(yīng)角。相似形的應(yīng)用、相似多邊形的性質(zhì)、圖形的放大與縮小知識要點132要點1 測量旗桿高度的三種方法：(1) 方法1：利用陽光下的影子 （如圖1） （還可利用結(jié)論：同一時刻：）；(2)方法

5、2：利用標(biāo)桿；（如圖2，本方法主要注意人與標(biāo)桿及被測旗桿應(yīng)都與地面垂直，故三者平行，由此構(gòu)造相似三角形）(3)方法3：利用鏡子反射（如圖3，本方法用鏡面反射，由反射角等于入射角，人與被測旗桿與地面垂直）說明：在測量旗桿高度的三種方法中，都是利用三角形相似的知識解決，根據(jù)實際情況，構(gòu)造相似三角形，通過測量三角形的邊，利用對應(yīng)邊成比例計算出要求的目標(biāo)。要點2 相似三角形與相似多邊形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)：(1) 相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比；(2) 相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比；(3) 相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比；(4) 相似三角形周長的比等于相似比；(5) 相似三角形面積的比等于

6、相似比的平方。說明：這里的高線、角平分線、中線必須是對應(yīng)的。相似多邊形的性質(zhì)：(1) 相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方；(2) 相似多邊形中，對應(yīng)的三角形相似，相似比等于原多邊形的相似比。要點3 位似圖形定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形。每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過的點叫位似中心。在已確定的兩位似圖形中，只有一個位似中心，兩位似圖形可在位似中心的同側(cè)，也可在位似中心的兩側(cè)。兩個位似圖形的相似比又稱為位似比。如圖(1)、(2)、(3)、(4)、(5)。位似圖形的性質(zhì)： (1) 對應(yīng)邊的比等于位似比；(2) 周

7、長的比等于位似比，面積的比等于位似比的平方；(3) 位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比。說明：(1) 位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；(2)判斷兩個圖形是位似圖形，先判斷兩個圖形相似，再看它們的對應(yīng)點的連線或其延長線是否經(jīng)過同一點；(3)將一個圖形放大或縮小時，位似中心可以在圖形內(nèi)或邊上，也可以在圖形的頂點上。例題精講：例1 若，則_。變形1：已知，求及的值。例2 已知x：y：z1：3：5，求的值。變形1：若4x7y5z，2xyz，那么x：y：z（ ） A. 2：1：(3) B. 2：1：3 C. 2：(1)：3 D. 3：2：1變形2：若，且xyz18

8、，求x，y，z。例3 若點C是線段AB的分割點（ACBC），AB16，則AC_，BC_；如果D是線段AB的另一個黃金分割點，則CD_。變形：如果線段上一點P把線段分割為兩條線段PA，PB. 當(dāng)PA2PB·AB時，則稱點P是線段AB的黃金分割點，現(xiàn)已知線段AB10，點P是線段AB的黃金分割點，如圖所示，那么線段PB的長約為（ ） A. 6.18 B. 0.382 C. 0.618 D. 3.82例4、如圖，D，E分別為ABC的邊AB，AC上一點，且ADEABC，F(xiàn)為AD上一點，且AEFACD，(1) AD2AF·AB嗎？請說明理由。(2) 若AF4，AB9，求AD。變形：如圖

9、所示，已知梯形ABCD，ADBC，若EFBC，且所分成的梯形AEFD和梯形EBCF相似，AD4，BC9，求EF的長。XS11XS11-1XS11-2例5、如圖XS11所示，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F，試證AE·ABAF·AC。 變形1：如圖XS111，ABC中，D為AB上一點，若BDEBAC，則_。變形2：如圖XS112，AOBCOD，AC，下列各式正確的有（ ）個；。A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ZJ26例6、如圖 ZJ26，興趣小組的同學(xué)要測量樹的高度，在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1m的竹竿的影長為0.4m，同時另一名同學(xué)測量樹的高

10、度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2m，一級臺階高為0.3m，如圖所示，若此時落在地面上的影長為4.4m，則樹高為（ ）A. 11.5m B. 11.75m C. 11.8m D. 12.25m5題4題2題一、選擇題1梯形兩底分別為m、n，過梯形的對角線的交點，引平行于底邊的直線被兩腰所截得的線段長為（）（A）（B）（C）（D）6題7題8題2如圖，在正三角形ABC中，D，E分別在AC，AB上，且，AEBE，則有（）（A）AEDBED（B）AEDCBD（C）AEDABD（D）BADBCD3P是RtABC斜邊BC上異于B、C的一點，過點P作直線截

11、ABC，使截得的三角形與ABC相似，滿足這樣條件的直線共有（）（A）1條（B）2條（C）3條（D）4條4如圖，ABDACD，圖中相似三角形的對數(shù)是（）（A）2（B）3（C）4（D）55如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點，P是BC邊上的一點，下列條件中，不能推出ABP與ECP相似的是（）（A）APBEPC（B）APE90°（C）P是BC的中點（D）BPBC236如圖，ABC中，ADBC于D，且有下列條件：（1）BDAC90°；（2）BDAC；（3）；（4）AB2BD·BC其中一定能夠判定ABC是直角三角形的共有（）（A）3個（B）2個（C）1個（D）0個7如圖，

12、將ADE繞正方形ABCD頂點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得ABF，連結(jié)EF交AB于H，則下列結(jié)論中錯誤的是（）（A）AEAF（B）EFAF1（C）AF2FH·FE（D）FBFCHBEC8如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上任意一點，則有（）（A）ABE的周長CDE的周長BCE的周長（B）ABE的面積CDE的面積BCE的面積（C）ABEDEC9題10題11題（D）ABEEBC9如圖，直線ab，AFFB35，BCCD31，則AEEC為（）（A）512（B）95（C）125（D）3210如圖，在ABC中，M是AC邊中點，E是AB上一點，且AEAB，連結(jié)EM并延長，交BC的延長線于D，此時

13、BCCD為（）（A）21（B）32（C）31（D）5211如圖，矩形紙片ABCD的長AD9 cm，寬AB3 cm，將其折疊，使點D與點B重合，那么折疊后DE的長和折痕EF的長分別為（）（A）4 cm、 cm（B）5 cm、 cm（C）4 cm、2 cm（D）5 cm、2 cm二、填空題12已知線段a6 cm，b2 cm，則a、b、ab的第四比例項是_cm，ab與ab的比例中項是_cm13若m2，則m_14題15題14如圖，在ABC中，ABAC27，D在AC上，且BDBC18，DEBC交AB于E，則DE_ 15如圖，ABCD中，E是AB中點，F(xiàn)在AD上，且AFFD，EF交AC于G，則AGAC_16題17題18題16如圖，已知ABC，P是AB上一點，連結(jié)CP，要使ACPABC，只需添加條件_（只要寫出一種合適的條件） 17如圖，AD是ABC的角平分線，DEAC，EFBC，AB15，AF4，則DE的長等于_18如圖，ABC中，ABAC，ADBC于D，AEEC，AD18，BE15，則ABC的面積是_三、證明題1、如圖，在ABC中，ABAC，延長BC至D，使得CDBC，CEBD交AD于E，連結(jié)BE交AC于F，求證AFFC2、如圖，ABCCDB90°