電路方程的矩陣形式

1、第十五章 電路方程的矩陣形式重點(diǎn)：1. 關(guān)聯(lián)矩陣；2. 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式；3. 狀態(tài)方程。難點(diǎn)： 電路狀態(tài)方程列寫(xiě)的直觀(guān)法和系統(tǒng)法。§15.1 圖的矩陣表示1 有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣2 電路的圖是電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的抽象描述。若圖中每一支路都賦予一個(gè)參考方向，它成為有向圖。有向圖的拓?fù)湫再|(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣和割集矩陣描述3 關(guān)聯(lián)矩陣是用結(jié)點(diǎn)與支路的關(guān)系描述有向圖的拓?fù)湫再|(zhì)。4 回路矩陣是用回路與支路的關(guān)系描述有向圖的拓?fù)湫再|(zhì)。5 割集矩陣是用割集與支路的關(guān)系描述有向圖的拓?fù)湫再|(zhì)。6 本節(jié)僅介紹關(guān)聯(lián)矩陣以及用它表示的基爾霍夫定律的矩陣形式。7 一條支路連接某兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，則稱(chēng)該支路與這兩個(gè)

2、結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。支路與結(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣描述。設(shè)有向圖的結(jié)點(diǎn)數(shù)為 n ，支路數(shù)為 b ，且所有結(jié)點(diǎn)與支路均加以編號(hào)。于是，該有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣為一個(gè)階的矩陣，用 表示。它的每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)，每一列對(duì)應(yīng)一條支路，它的任一元素 定義如下：8 ，表示支路 k 與結(jié)點(diǎn) j 關(guān)聯(lián)并且它的方向背離結(jié)點(diǎn);9 ，表示支路 k 與結(jié)點(diǎn) j 關(guān)聯(lián)并且它指向結(jié)點(diǎn)；10 ，表示支路 k 與結(jié)點(diǎn) j 無(wú)關(guān)聯(lián)。 對(duì)于圖 15.1 所示的有向圖，它的關(guān)聯(lián)矩陣是 關(guān)聯(lián)矩陣 的特點(diǎn)：圖 15.1 每一列只有兩個(gè)非零元素，一個(gè)是+1，一個(gè)是-1，的每一列元素之和為零。 矩陣中任一行可以從其他 n-1 行中導(dǎo)出，即只有 n-

3、1 行是獨(dú)立的。如果把 的任一行劃去，剩下的 矩陣用 表示，并稱(chēng)為降階關(guān)聯(lián)矩陣（今后主要用這種降階關(guān)聯(lián)矩陣，所以往往略去“降階”二字），被劃去的行對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)可以當(dāng)作參考結(jié)點(diǎn)。例如，若以結(jié)點(diǎn) 4 為參考結(jié)點(diǎn)，把上式中 的第 4 行劃去，得 若以結(jié)點(diǎn) 3 為參考結(jié)點(diǎn)，把上式中 的第 3 行劃去，得 矩陣 的某些列將只具有一個(gè) +1 或一個(gè) 1 ，每一個(gè)這樣的列必對(duì)應(yīng)于與參考結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的一條支路。注意 ： 給定 可以確定 ，從而畫(huà)出有向圖。2用A 表示矩陣形式的 KCL 電路中的 b 個(gè)支路電流可以用一個(gè) b 階列向量表示，即 若用矩陣 左乘電流列向量，則乘積是一個(gè) 階列向量，由矩陣相乘規(guī)則可知，它

4、的每一元素即為關(guān)聯(lián)到對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)上各支路電流的代數(shù)和，即 因此，有上式是用矩陣表示的KCL的矩陣形式。例如對(duì)圖15.1，以結(jié)點(diǎn)4 為參考結(jié)點(diǎn)，有： 上式為 n-1 個(gè)獨(dú)立方程。3用 A 表示矩陣形式的 KVL 電路中 b 個(gè)支路電壓可以用一個(gè) b 階列向量表示，即 個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓可以用一個(gè) 階列向量表示，即 由于矩陣 的每一列，也就是矩陣 的每一行，表示每一對(duì)應(yīng)支路與結(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)情況，所以有 例如，對(duì)圖 15.1 有： 可見(jiàn)上式表明電路中的各支路電壓可以用與該支路關(guān)聯(lián)的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)電壓（參考結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)電壓為零）表示，這正是結(jié)點(diǎn)電壓法的基本思想。同時(shí)，可以認(rèn)為該式是用矩陣 表示的 KVL 的矩陣形式。小

5、結(jié)： 矩陣 表示有向圖結(jié)點(diǎn)與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。 用 表示的 KCL 的矩陣形式為 用 表示的 KVL 的矩陣形式為 。§15.2 支路電壓電流的矩陣形式在列矩陣形式電路方程時(shí)，必須有一組支路約束方程。因此需要規(guī)定一條支路的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容?？梢圆捎盟^“復(fù)合支路”。1復(fù)合支路 設(shè)復(fù)合支路如圖15.2所示， 其中下標(biāo) k 表示第 k 條支路，和 分別表示獨(dú)立電壓源和獨(dú)立電流源，（或 ）表示阻抗（或?qū)Ъ{），且規(guī)定它只可能是單一的電阻、電感或電容，而不能是它們的組合，即 圖 15.2 注意 ： 復(fù)合支路只是定義了一條支路最多可以包含的不同元件數(shù)及連接方式，但允許缺少某些元件。另外，為了 寫(xiě)出復(fù)合支

6、路的支路方程，還應(yīng)規(guī)定電壓和電流的參考方向。本章中采用的電壓和電流的參考方向如圖 15.2 所示。2用支路阻抗表示的支路方程的矩陣形式復(fù)合支路如圖 15.2 所示應(yīng)用 KCL 和 KVL 可以寫(xiě)出用阻抗表示的 k 支路電壓、電流關(guān)系方程： 若設(shè)： 為支路電流列向量； 為支路電壓列向量； 為支路電流源的電流列向量； 為支路電壓源的電壓列向量。 對(duì)整個(gè)電路，支路方程為 即式中 Z 稱(chēng)為支路阻抗矩陣，它是一個(gè) 的對(duì)角陣。當(dāng)電路中存在耦合電感時(shí)，支路阻抗矩陣 Z 不再是對(duì)角陣，這里不再詳述。3用支路導(dǎo)納表示的支路方程的矩陣形式 設(shè)復(fù)合支路如圖 15.3 所示。當(dāng)電路中無(wú)受控電流源 （即 ），電感間無(wú)耦

7、合時(shí)，對(duì)于第 k 條支路有 對(duì)整個(gè)電路有 式中Y 稱(chēng)為支路導(dǎo)納矩陣，它是一個(gè)對(duì)角陣。 圖 15.3當(dāng)電路中含有受控電流源，電感間無(wú)耦合時(shí)，設(shè)第 k 支路中有受控電流源并受第 j 支路中無(wú)源元件上的電壓 或電流 控制，其中 或 。此時(shí)，對(duì)第 k 支路有 在 VCCS 情況下，上式中的 。而在 CCCS 的情況下， 。于是有 式中 即可見(jiàn)此時(shí)支路方程在形式上仍與情況 1 時(shí)相同，只是矩陣 Y 的內(nèi)容不同而已。注意此時(shí) Y 也不再是對(duì)角陣。§15.3 結(jié)點(diǎn)電壓電流的矩陣形式 1KCL、KVL 和支路方程的矩陣形式 結(jié)點(diǎn)電壓法以結(jié)點(diǎn)電壓為電路的獨(dú)立變量，并用 KCL 列出足夠的獨(dú)立方程。由于

8、描述支路與結(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)性質(zhì)的是矩陣 A ，因此宜用以 A 表示的 KCL 和 KVL 推導(dǎo)結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式。設(shè)結(jié)點(diǎn)電壓列向量為 ， KVL 方程為上述 KVL 方程表示了 與支路電壓列向量 的關(guān)系，它提供了選用 作為獨(dú)立電路變量的可能性。用矩陣 A 表示的 KCL 為 （式中 i 表示支路電流列向量）作為導(dǎo)出結(jié)點(diǎn)電壓方程的依據(jù)。 對(duì)于結(jié)點(diǎn)電壓方程，宜采用支路導(dǎo)納表示的矩陣形式的支路方程. 即 。2結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式 為了推導(dǎo)出結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式，將用 A 表示的 KCL 和 KVL 以及用支路導(dǎo)納表示的支路方程重寫(xiě)如下： KCL KVL 支路方程 把支路方程代入 KCL 可得： 再把

9、 KVL 代入便得 上式即結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式。由于乘積 AY 的行和列數(shù)分別為 和 b ，乘積 的行和列數(shù)都是 ，所以乘積 是一個(gè) 階方陣。同理，乘積 和 都是 階的列向量。 如設(shè) ， ， 則式 可寫(xiě)為 稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，它的元素相當(dāng)于第三章中結(jié)點(diǎn)電壓方程等號(hào)左邊的系數(shù)；為由獨(dú)立電源引起的注入結(jié)點(diǎn)的電流列向量，它的元素相當(dāng)于第三章中結(jié)點(diǎn)電壓方程等號(hào)右邊的常數(shù)項(xiàng)。3結(jié)點(diǎn)電壓法的一般步驟 1）將電路圖抽象為有向圖； 2）形成有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣 A ； 3）形成支路導(dǎo)納矩陣 Y ； 4）形成電壓源向量和電流源向量； 5）用矩陣相乘形成結(jié)點(diǎn)電壓方程 ， 即 §15.4 狀態(tài)方程1. 網(wǎng)絡(luò)的

10、狀態(tài)與狀態(tài)變量1) 網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)指能和激勵(lì)一道唯一的確定網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)時(shí)和未來(lái)的行為的最少的一組信息量。2) 狀態(tài)變量在分析網(wǎng)絡(luò)(或系統(tǒng))時(shí)在網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部選一組最少數(shù)量的特定變量 X，X=X1 ,X2 XnT ，只要知道這組量在某一時(shí)刻值 X(t0), 再知道輸入 e(t) 就可以確定t0及t0以后任何時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)的性狀(響應(yīng))，稱(chēng)這一組最少數(shù)目的特定變量為狀態(tài)變量。網(wǎng)絡(luò)中各獨(dú)立的電容電壓（或電荷），電感電流（或磁通鏈）在任意瞬間t0的值確定，就可完全確定t3t0 以后的完全響應(yīng)。如一階二階電路，因此可以選擇為狀態(tài)變量。注意 ： 這里講的為數(shù)最少的網(wǎng)絡(luò)變量是互相獨(dú)立的。因此：1）當(dāng)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中存在純電容回路，由 K

11、VL 可知其中必有一個(gè)電容電壓可由回路中其它元件的電壓求出，此電容電壓為非獨(dú)立的電容電壓。2）網(wǎng)絡(luò)中與獨(dú)立電壓源并聯(lián)的電容元件，其電壓 uc由 us決定。3）當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中存在純電感割集，由 KCL 可知其中必有一個(gè)電感電流可由其它元件的電流求出，此電感電流為非獨(dú)立的。4）網(wǎng)絡(luò)中與獨(dú)立電流源串聯(lián)的電感元件，其 iL由 is決定。以上四種請(qǐng)況中非獨(dú)立的 uc和 iL不能作為狀態(tài)變量，不含以上四種情況的網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)為常態(tài)網(wǎng)絡(luò)。狀態(tài)變量數(shù)等于 C、L 元件總數(shù)。含有以上四種情況的網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)為非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變量數(shù)小于網(wǎng)絡(luò)中 C、L 元件總數(shù)，下面著重討論常態(tài)網(wǎng)絡(luò)。2狀態(tài)方程 求解狀態(tài)變量的方程稱(chēng)為狀態(tài)方程。每

12、個(gè)狀態(tài)方程中只含有一個(gè)狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)。 狀態(tài)方程的特點(diǎn)： 1) 聯(lián)立的一階微分方程組； 2) 左端為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)； 3) 右端含狀態(tài)變量和輸入量 狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式如下： 其中， x 稱(chēng)為狀態(tài)向量， v 稱(chēng)為輸入向量。在一般情況下，設(shè)電路具有 n 個(gè)狀態(tài)變量 ， m 個(gè)獨(dú)立源，上式中的 和 x 為 n 階向量， A 為 方陣， B 為 矩陣。上式有時(shí)稱(chēng)為向量微分方程。3狀態(tài)方程的列寫(xiě) （1）直觀(guān)列寫(xiě)法 適用于簡(jiǎn)單的電路。要列出包含 項(xiàng)的方程，必須 對(duì)只接有一個(gè)電容的結(jié)點(diǎn)或割集寫(xiě)出 KCL 。要列出包含 項(xiàng)的方程，必須 對(duì)只包含一個(gè)電感的回路列寫(xiě) KVL 。當(dāng)列出全部這樣的 KCL 和 KVL 方程后，通?？梢哉沓蓸?biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程。注意： 對(duì)于上述 KCL 和 KVL 方程中出現(xiàn)的非狀態(tài)變量，只有將它們表示為狀態(tài)變量后，才能得到狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。直觀(guān)編寫(xiě)法的缺點(diǎn)： 1）編寫(xiě)方程不系統(tǒng)，不利于計(jì)算機(jī)計(jì)算。 2）對(duì)復(fù)雜網(wǎng)