空間解析幾何與線性代數(shù)期終

1、02-03學年第二學期空間解析幾何與線性代數(shù)期終試題一 填空題(每小題3分, 共36分):1. = ; 2. = ; 3. 若A是正交矩陣, 則行列式 |A3AT| = ; 4. 空間四點A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(1, 2, k), D(-1, 4, 9)共面的充分必要條件是 ; 5. 點P(2, -1, 1)到直線l: 的距離為 ;6. 若4階方陣A的秩為2, 則伴隨矩陣A*的秩為 ; 7. 若可逆矩陣P使AP = PB, B =, 則方陣A的特征多項式為 ;8. 若3階方陣A使I-A, 2I-A, A+3I都不可逆, 則A與對角陣 相似(其中I是3階單位矩陣);

2、9. 若A = 與對角陣相合, 則(x, y) = .10. 設A = A1, A2, A3, A4, 其中列向量A1, A2, A4線性無關, A3 = 2A1 - A2 + A4, 則齊次線性方程組Ax = q的一個基礎解系是 ; 11. 設A, B都是3階方陣, AB = O, r(A) - r(B) = 2, 則r(A) + r(B) = ; (A) 5; (B) 4; (C) 3; (D) 2;12. 設n階矩陣A滿足A2 = 2A, 則以下結(jié)論中未必成立的是 . (A) A-I可逆, 且(A-I)-1 = A-I; (B) A = O或A = 2I; (C) 若2不是A的特征值,

3、則A = O; (D) |A| = 0或A = 2I. 二 計算題(每小題8分, 共24分)13. 14. 求直線l: 在平面p : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直線方程. 15. 設XA = AB + X, 其中A = , B =求X 99. 三 計算題, 解答題(3小題共32分). 16. 設向量組, , , . V = L(a1, a2, a3)是由a1, a2, a3生成的空間. 已知維(V) = 2, b V. (1) 求a, b; (2) 求V的一個基, 并求b在此基下的坐標; (3) 求V的一個標準正交基. 17. 用正交變換化簡二次曲面方程: x12 + x

4、22 - 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x3 = 1 求出正交變換和標準形, 并指出曲面類型. 18. 設D為由yOz平面中的直線z = 0, 直線z = y ( y 0)及拋物線y + z2 = 2, 圍成的平面區(qū)域. 將D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體W. (1) 畫出平面區(qū)域D的圖形; (2) 分別寫出圍成W的兩塊曲面S1, S2的方程; (3) 求S1, S2的交線l在zOx平面上的投影曲線C的方程; (4) 畫出S1, S2和l, C的圖形. 四 證明題, 解答題(每小題4分, 共8分). 19. 設h是線性方程組Ax = b的一個解, b q, x1, x2是導出組Ax = q的基

5、礎解系. 證明: h, x1+h, x2+h線性無關. 20. 設a是3維非零實列向量, |a| =. 又A = aaT. (1) 求A的秩; (2) 求A的全部特征值; (3) 問A是否與對角陣相似? (4) 求|I - A3|. 02-03學年第二學期空間解析幾何與線性代數(shù)期終試題解答一 填空題(每小題3分, 共36分):1. = ; 2. = ; 3. 若A是正交矩陣, 則行列式 |A3AT| = 1; 4. 空間四點A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(1, 2, k), D(-1, 4, 9)共面的充分必要條件是k = 3; 5. 點P(2, -1, 1)到直線l: 的

6、距離為 1 ;6. 若4階方陣A的秩為2, 則伴隨矩陣A*的秩為 0 ; 7. 若可逆矩陣P使AP = PB, B =, 則方陣A的特征多項式為(l-1)(l-3);8. 若3階方陣A使I-A, 2I-A, A+3I都不可逆, 則A與對角陣相似(其中I是3階單位矩陣); 9. 若A = 與對角陣相合, 則(x, y) = (1, -2).10. 設A = A1, A2, A3, A4, 其中列向量A1, A2, A4線性無關, A3 = 2A1 - A2 + A4, 則齊次線性方程組Ax = q的一個基礎解系是 x = 2, -1, -1, 1T; 11. 設A, B都是3階方陣, AB =

7、O, r(A) - r(B) = 2, 則r(A) + r(B) = D ; (A) 5; (B) 4; (C) 3; (D) 2;12. 設n階矩陣A滿足A2 = 2A, 則以下結(jié)論中未必成立的是 B . (A) A-I可逆, 且(A-I)-1 = A-I; (B) A = O或A = 2I; (C) 若2不是A的特征值, 則A = O; (D) |A| = 0或A = 2I. (-1)二 計算題(每小題8分, 共24分)(-2)(-1)(-1)13. = = = (-1)= = = = = 29. 14. 求直線l: 在平面p : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直線方程.

8、 解: 過直線l且垂直于平面p的平面p1的法向量必垂直于向量2, 1, 2和1, 1, - 2, 因而可取為 = -4, 6, 1.又因為p1過直線l上的點(2, 1, -1), 由此可得平面p1的點法式方程-4(x - 2) + 6( y - 1) + (z + 1) = 0 整理得4x -6 y - z - 3 = 0 于是可得直線l: 在平面p : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直線的一般方程: . 15. 設XA = AB + X, 其中A = , B =求X 99. 解: 原方程可化為X(A-I) = AB, 其中I表示單位矩陣. A-I = , AB = . 初等

9、列變換 = = .于是可得X = AB(A-I) -1 = , X2 = = , X 99 = (X 2)49X = = . (注意X未必等于(A-I) -1AB !)三 計算題, 解答題(3小題共32分). 16. 設向量組, , , . V = L(a1, a2, a3)是由a1, a2, a3生成的空間. 已知維(V) = 2, b V. (1) 求a, b; (2) 求V的一個基, 并求b在此基下的坐標; (3) 求V的一個標準正交基. 初等行變換解: (1) A = a1, a2, a3, b = . 因為維(V) = 2, b V. 所以a - 6 = b + 2 = 0, 即a

10、= 6, b = - 2. (2) 由上述初等行變換的結(jié)果可知a1, a2構(gòu)成V的一個基, 且b =3a1 - a2. (3) 令b1 = a1, b2 = a2 - = = , 再單位化得V的一個標準正交基 , . 17. 用正交變換化簡二次曲面方程: x12 + x22 - 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x3 = 1 求出正交變換和標準形, 并指出曲面類型. 解: 二次型f(x1, x2, x3) = x12 + x22 - 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x3的矩陣A = . A的特征多項式|lI -A | = = (l - 3)( l - 1)( l + 2). A的特征

11、值l1 = 3, l2 = 1, l = -2. 由(liI -A)x = q求得A的對應于l1 = 3, l2 = 1, l = -2的特征值向量:, , . 它們已經(jīng)兩兩正交, 單位化得, , . 令P = , 則PTP = I, 且P-1AP = PTAP = . 令x = Py, 則原二次曲面的方程化為3y12 + y22 - 2y32 = 1. 可見該二次曲面為二次錐面. Oyz218. 設D為由yOz平面中的直線z = 0, 直線z = y ( y 0)及拋物線y + z2 = 2, 圍成的平面區(qū)域. 將D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體W. (1) 畫出平面區(qū)域D的圖形; (2) 分別寫出

12、圍成W的兩塊曲面S1, S2的方程; (3) 求S1, S2的交線l在zOx平面上的投影曲線C的方程; (4) 畫出S1, S2和l, C的圖形. 解: (1) 平面區(qū)域D的圖形如右圖所示: Oyz2lS1CS2x(2) W由錐面S1: 和旋轉(zhuǎn)拋物面S2: y = 2- x2 - z2圍成. (3) 由和y = 2- x2 - z2消去y得x2 + z2 = 1. 由此可得S1, S2的交線l在zOx平面上的投影曲線C的方程: (4) S1, S2和l, C的圖形如右圖所示:四 證明題, 解答題(每小題4分, 共8分). 19. 設h是線性方程組Ax = b的一個解, b q, x1, x2是

13、導出組Ax = q的基礎解系. 證明: h, x1+h, x2+h線性無關. 證明: 因為Ah = b q, 所以h不是線性方程組Ax = q的解. 而x1, x2是Ax = q的基礎解系, 故h, x1, x2線性無關, 否則h能由x1, x2線性表示, 從而是線性方程組Ax = q的解, 矛盾! 假若k1h + k2(x1+h) + k3(x2+h) = q, 則(k1 + k2 + k3)h + k2x1 + k3x2 = q.于是(k1 + k2 + k3) = k2 = k3 = 0, 即k1 = k2 = k3 = 0. 所以h, x1+h, x2+h線性無關. 20. 設a是3維

14、非零實列向量, |a| =. 又A = aaT. (1) 求A的秩; (2) 求A的全部特征值; (3) 問A是否與對角陣相似? (4) 求|I - A3|. 解: (1) 設a = a, b, cT q, 則A = aaT = O, 且秩(A) = 1. (2) 設b q是A的對應于特征值l的特征向量. 即aaTb = lb. 若aTb = 0, 則lb = aaTb = q, 而b q, 故l = 0. 此時, b是aTx = 0的解向量. 而秩(aT) = 1, 故aTx = 0的每個基礎解系均由兩個線性無關的解向量構(gòu)成. 即對應于l = 0, A有兩個線性無關的特征向量, 若aTb 0, 則由aaTb = lb 可得aTaaTb = laTb. 從而l = aTa.