第三節(jié)一階線性微分方程

1、第三節(jié) 一階線性微分方程分布圖示 一階線性微分方程及其解法 例1 例2 例3 例4 例5 例6 伯努利方程 例7 例8 例9 例10 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題8-3內(nèi)容要點(diǎn):一、 一階線性微分方程形如 (3.1)的方程稱為一階線性微分方程. 其中函數(shù)、是某一區(qū)間上的連續(xù)函數(shù). 當(dāng)方程(3.1)成為 (3.2)這個(gè)方程稱為一階齊次線性方程. 相應(yīng)地，方程(3.1)稱為一階非齊次線性方程.方程(3.2)的通解 (3.3)其中為任意常數(shù).求解一階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法：即在求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解(3.3)后，將通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)，并設(shè)一階非齊次方程通解為 一階非齊次線性方程(3.1)

2、的通解為 (3.5) 二、伯努利方程：形如 (3.7)的方程稱為伯努利方程，其中為常數(shù)，且. 伯努利方程是一類非線性方程，但是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，就可以把它化為線性的. 事實(shí)上，在方程(3.7)兩端除以，得或 于是，令，就得到關(guān)于變量的一階線性方程.利用線性方程的求解方法求出通解后，再回代原變量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解例題選講： 一階線性微分方程例1（E01）求方程的通解.解 于是所求通解為例2（E02）求方程的通解.解 這是一個(gè)非齊次線性方程.先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解.由用常數(shù)變易法,把換成即令則有代入所給非齊次方程得兩端積分得回代即得所求方程的通解為例3 求下列微分方程滿足所給初始條

3、件的特解. 解 將方程標(biāo)準(zhǔn)化為于是由初始條件得故所求特解為例4 求解方程 是的已知函數(shù).解 原方程實(shí)際上是標(biāo)準(zhǔn)的線性方程，其中直接代入通解公式，得通解例5求方程的通解.解 當(dāng)將看作的函數(shù)時(shí)，方程變?yōu)檫@個(gè)方程不是一階線性微分方程，不便求解.如果將看作的函數(shù)，方程改寫(xiě)為則為一階線性微分方程，于是對(duì)應(yīng)齊次方程為分離變量，并積分得即其中為任意常數(shù)，利用常數(shù)變易法，設(shè)題設(shè)方程的通解為代入原方程,得積分得 故原方程的通解為，其中為任意常數(shù).例6 如所示, 平行于軸的動(dòng)直線被曲線與截下的線段之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線解 兩邊求導(dǎo)得解此微分方程得由得故所求曲線為 例7 求的通解.解 兩端除以得令得

4、解得故所求通解為 伯努利方程例8（E03）求方程的通解.解 以除方程的兩端,得即 令則上述方程變?yōu)?解此線性微分方程得 以代得所求通解為 例9求方程的通解.解 令則于是得到伯努利方程令上式即變?yōu)橐浑A線性方程其通解為 回代原變量，即得到題設(shè)方程的通解例10求解微分方程解 令則利用分離變量法解得 將代回，得所求通解為 課堂練習(xí)1.求微分方程的通解.2. 設(shè)函數(shù)可微且滿足關(guān)系式求.雅各布.伯努利（Jacob Bermoulli，16541705)伯努利瑞士數(shù)學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)家。1654年12月27日生于瑞士巴塞爾；1705年8月16日卒于巴塞爾。雅各布.伯努利出生于一商人世家。他的祖父是一位藥商，1

5、662年移居巴塞爾。他的父親接過(guò)興隆的藥材生意，并成了市議會(huì)的一名成員和地方行政官。他的母親是市議員兼銀行家的女兒。雅格布在1684年一位富商的女兒結(jié)婚，他的兒子尼古拉，伯努得是藝術(shù)家，巴塞爾市議會(huì)的議員和藝術(shù)行會(huì)會(huì)長(zhǎng)。雅格布畢業(yè)于巴塞爾大學(xué)，1671年獲藝術(shù)碩士學(xué)位。這里的藝術(shù)是指“自由藝術(shù)”，它包括算術(shù)、幾何、天文學(xué)、數(shù)理、音樂(lè)的基礎(chǔ)，以及方法、修辭和雄辯術(shù)等七大門(mén)類。遵照他父親的愿望，他又于1676年得碩士學(xué)位。同時(shí)他對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣，但是他在數(shù)學(xué)上的興趣遭到父親的反對(duì)，他違背父親的意愿，自學(xué)了數(shù)學(xué)和天文學(xué)。1676年，他到日內(nèi)瓦做家庭教師。從1677年起，他開(kāi)始在這里寫(xiě)內(nèi)容豐富的沉

6、思錄。1678年雅格布進(jìn)行了他第一次學(xué)習(xí)旅行，他到過(guò)法國(guó)、荷蘭、英國(guó)和德國(guó)，與數(shù)學(xué)家們建立了廣泛的通信聯(lián)系。然后他又在法國(guó)度過(guò)了兩年時(shí)光，這期間他開(kāi)始研究數(shù)學(xué)問(wèn)題。起初他還不知道牛頓和萊布尼茲的工作，他首先熟悉了笛卡爾的幾何學(xué)、活利斯的無(wú)窮的算術(shù)以及巴羅的幾何學(xué)講義。他后來(lái)逐漸地熟悉了萊布尼茲的工作。1681-1682年間，他做了第二次學(xué)習(xí)旅行，接觸了許多數(shù)學(xué)家和科學(xué)家。通過(guò)訪問(wèn)和閱讀文獻(xiàn)，豐富了他的知識(shí)，拓寬了個(gè)人的興趣。這次旅行，他在科學(xué)上的直接收獲就是發(fā)表了還不夠完備的有關(guān)慧星的理論以及受到人們高度評(píng)價(jià)的重力理論。回到巴塞爾后，從1683年起，雅格布做了一些關(guān)于科技問(wèn)題的文章，并且也繼續(xù)研究數(shù)學(xué)著作。1687年，雅格布在教師學(xué)報(bào)上發(fā)表了他的“用兩相互垂直的直線將三角形的面積四等分方法”。1684年之后，雅格布轉(zhuǎn)向詭辯邏輯的研究。1685年出版了他最早的關(guān)于概率論的文章。由于受到活利斯以及巴羅的涉及到數(shù)學(xué)、光學(xué)、天文學(xué)的那些資料的影響，他又轉(zhuǎn)向了微分幾何學(xué)。在這同時(shí)，他的弟弟約翰.伯努利一直跟其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。1687年雅格布成為巴塞爾科學(xué)院的國(guó)外院士，直到1705年去世。在這段時(shí)間里，他一直與萊布尼茲保持著通信聯(lián)系。1699年，雅格布被選為巴黎科學(xué)院的國(guó)外院士，1