高中數(shù)學(xué)選修4—4(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)1 平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換X = ' X （0）設(shè)點(diǎn)P（x,y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換 的作用卜丄KJy>0）下，點(diǎn)P（x,y）對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P（x,y ）,稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡(jiǎn)稱伸縮變換2.極坐標(biāo)系的概念（1）極坐標(biāo)系P、A)如圖所示O ,叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位，一個(gè)角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆 時(shí)針?lè)较颍?這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系注：極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景，而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而極

2、坐標(biāo)系則不可但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系（2）極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為T(mén) ；以極軸Ox為始 邊，射線OM為終邊的角 xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為二.有序數(shù)對(duì)（匸門(mén)）叫做點(diǎn)M的極坐般地，不作特殊說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為t -0可取任意實(shí)數(shù)特別地，當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極坐標(biāo)為（0,二）（+ R）.和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個(gè) 點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)數(shù)種表示如果規(guī)定'0,0豈二：2二，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo) （門(mén)）表示;同時(shí)，極坐標(biāo)（'門(mén)）表示的點(diǎn)也是唯一確定的3.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化（1）互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)

3、,x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,如圖所示:互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是（x,y）,極坐標(biāo)是（幾"（r 0）,于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：點(diǎn)M直角坐標(biāo)（x, y）極坐標(biāo)（P,日）X = Pcos 日p2 =x? + y2互化公式tan日 一 y （x 式 0） Xy = Psi n 日在一般情況下，由tan二確定角時(shí)，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限最小正角4.常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓CAP = r（0蘭日2兀）圓心為（r，0），半徑為r的圓JI3TP = 2r cos日（一一蘭日 <）22圓心為（

4、r，-），半2徑為r的圓r閱o5P2rsin日（0蘭日£兀）過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為a的直線日= a(PE R)或日=兀+ g(Pe R)(2)日=a ( P蘭0)和日=兀+ a (P蘭0)過(guò)點(diǎn)(a,0),與極軸垂直的直線O帆0)丘ITJTP cos日=a(< 9 < )22過(guò)點(diǎn)(a匸),與極2軸平行的直線4 打jLrXPsin 日=a(0 £日 v 兀)注：由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一，即 (幾",(幾2二"( -幾二",( -幾-二 R,都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo) ,這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的 唯一性明顯不同.所以對(duì)于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表

5、示形式，只要求至少有一個(gè)能滿足極坐標(biāo)方程即可.例如對(duì)于極坐標(biāo)方程? - ,點(diǎn)M，)可以表示為4 45：(,2-)或(，-2二)或(-,)等多種形式,其中,只有(，)的極坐標(biāo)滿足萬(wàn)4 44 44 44 4程7 .二、參數(shù)方程1. 參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x, y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)1 x f (t),并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M (x,y)都在這條曲線上y 二 g(t)那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x, y的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù),相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程2. 參數(shù)方程和普通方程的互化

6、(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程 如果知道變數(shù) x, y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如X二f(t),把它代入普通方程，求(x= f (t)出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y = g(t),那么' 就是曲線的參數(shù)方程，在參數(shù)方程與ly = g(t)普通方程的互化中，必須使x, y的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問(wèn)題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3. 圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓 0的半徑為r，點(diǎn)M從初始位置 M0出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)?/p>

7、向在圓 O上作(x - r cos -*勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè) M(x, y)，則'為參數(shù))。y = r sin 日這就是圓心在原點(diǎn) 0，半徑為r的圓的參數(shù)方程，其中 二的幾何意義是 OM0轉(zhuǎn)過(guò)的角 度。圓心為(a,b)，半徑為r的圓的普通方程是(x-a)2 (y-b)2它的參數(shù)方程為:x 二 a r costy=b+rsin畀為參數(shù)”4橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)0為中心，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2a2b22 =1(a b 0),其參焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方x 二 a cos"J數(shù)方程為(為參數(shù))，其中參數(shù)-稱為離心角;2 程是y2 a2Xb2=bsinx - b cos&q

8、uot;= 1(a b 0),其參數(shù)方程為.(為參數(shù)),其中參數(shù)仍為離心j = asi n甲角，通常規(guī)定參數(shù)：的范圍為:飛0 , 2二)。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角:區(qū)分開(kāi)來(lái)，除了在四個(gè)頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外(即在0到2二n的范圍內(nèi))，在其他任何一點(diǎn)，兩個(gè)角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)0時(shí)，相應(yīng)地也有20，在其他象限內(nèi)類似。25. 雙曲線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)0為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為2 2x y2 - =1(a0,b 0),a bx - a see-3 其參數(shù)方程為（為參數(shù)），其中）0,2二）且 ' ,：，.y

9、 二btan222 2焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是與-務(wù)=1（an0,bn0）,其參數(shù)方程為a b札x bcot （半為參數(shù)，其中（0,2兀）e且®式兀. y =acsc以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角。6. 拋物線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線y2 =2px（p 0）的參數(shù)方程為x=2pt2y =2pt（t為參數(shù)）.7. 直線的參數(shù)方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)M°（x0,y0），傾斜角為：（：）的直線l的普通方程是y-y°=ta n（x-x）,2X =人 +tCOS而過(guò)M°（x0, y。），傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）。ly = y° +tsi na注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過(guò)定點(diǎn)M0（x3,y0）,傾斜角為的直線丨的參數(shù)x = x0 tcosx方程為（t為參數(shù)），其中t表示直線l上以定點(diǎn) M。為起點(diǎn)，任一點(diǎn)y =