伴隨矩陣的性質探討

1、伴隨矩陣的性質探討伴隨矩陣的性質探討第二章伴隨矩陣的性質探討伴隨矩陣是線性代數(shù)中的一個重要的基本概念，但教材中及大學學習中所給出的主要應用是在求方陣的逆矩陣上，而關于伴隨矩陣本身的性質及其與原矩陣之間的關聯(lián)，沒有系統(tǒng)的討論和研究.本文主要通過查找現(xiàn)有資料，整理歸納出伴隨矩陣的一系列性質.主要研究內容：n階矩陣A的伴隨矩陣的行列式與秩；n階矩陣A的伴隨矩陣的可逆性，對稱性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其與原矩陣的關聯(lián)；伴隨矩陣之間的運算性質以及各性質在題目中的綜合應用.一.伴隨矩陣的定義alla21設Aij是n階矩陣A.an1al2a22a22a1na2n中元素a的代數(shù)余子式，稱矩

2、陣.annA11A12.A1nA21A22.A2nA3n為A的伴隨矩陣.Ann相關內容：高等代數(shù)（王萼芳石生明版）定義9在一個n階行列式D中任意選定K行K列（K&n）,當KVn時，在D中劃去這K行K列后余的元素按原來的次序組成的nk級行列式M稱為K級子式M的余子式，其中K級子式M為選定的K行K列（K&n）上的K2個元素按照原來的次序組成的一個K級行列式.（1）如果在M前面加上符號ik）（j1j2jk）后稱作M的代數(shù)余子式.二.伴隨矩陣的性質alla21A設.an1al2a22a22a1nA11a2nA*A12annA1nA21A22.A2nA3n.Ann2.1 伴隨矩陣的基本性質定理2.1n階

3、矩陣A可逆的充分必要條件是A非退化（即A0）,當A可逆時,其中A*為A的伴隨矩陣.設A*為A的伴隨矩陣，則AA*A*AAE證明：由行列式按一行（列）展開的公式0AaAkikj A,k 1AAAAAE.A注：A可逆時，A*AA1證畢.2.2 伴隨矩陣的行列式A*(1) 若A可逆，則A0,由性質1得，AA*AE,兩邊同時取行列式得即AA*A,又A0,則A*A(ii)若A不可逆，則A*A0綜上所述，A*A證畢.2.3 伴隨矩陣的秩的性質研究矩陣的秩是矩陣的重要特征定義：設在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D,且所有r+1階子式(如果存在的話)全等于0,那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A

4、的秩，記做R(r)求矩陣A1解：由A12.4 的秩.82.5 =0,A的一個二階子式8故R(A)2.定理2.3nn矩陣A的行列式為零的充分必要條件是A的秩小于n.(高等代數(shù)王萼芳石生明版)若用R(A)表示矩陣A的秩，則有以下結論：設A是n階矩陣，則R(A*)1,R(A)n;R(A)n1;R(A)n1.證明：R(A)n時，顯然A0,由性質2知0,故R(A)n.R(A)n1時，由定理知A0,性質1知AA*AE0,即AA*0和A*的列向量全都為方程組AX0的解，又R(A)n1,則其次方程組AX0的解向量組的和為n(n1)1.知A*的列秩為1,即R(A*)1.i,j1,2,n)R(A)n1,A*中任一

5、-兀素A(都是0,ij因為A中不存在非零的n1階子式，故R(A*)0.證畢.2.6 伴隨矩陣的伴隨矩陣的性質為n階矩陣,A*為A的伴隨矩陣，則有特別情況有：當n2時，(A*)*證明：()i)當A可逆時,A0；又由性質1AA*A*AAE知(兩邊同時左乘(A*)1A*(AA1)1A*(當A不可逆時，A0,(A*)*0.2.7 n階矩陣的伴隨矩陣的可逆性可逆的定義:n階矩陣稱為可逆的，如果有ABBAE.(E為單位矩陣).伴隨矩陣可逆性與原矩陣的可逆性有以下聯(lián)系：性質5可逆的充分必要條件是A*可逆.證明：必要性.由性質1知，AA*A*AAE.若A可逆，則A非退化，即A0.(兩邊同時消去A,得由以上的可

6、逆定義可知A*是可逆的.充分性.即證A*可逆，則A可逆，此命題與其逆否命題若A不可逆，則A*也不可逆u是等價的.由矩陣不可逆可知A0,則變?yōu)樽C明若A0,則A*0.這里我們用反正法.假設A*0,則A*可逆.由性質1知AA*AE0(兩邊同時右乘A*)有AA*(A*)10得八=0,所以A*=0,所以A*0與假設的A*0矛盾.故假設不成立，原命題成立.綜上所述，A可逆的充分必要條件是A*可逆.證畢.2.8 n階矩陣A的伴隨矩陣的對稱性對稱定義：矩陣A.an1al2a22a22a1na2n為對稱矩陣，如果aa,.anni,j1,2,n,且有AA性質6.若n階矩陣A是對陣矩陣，則其伴隨矩陣A*也為對稱矩陣

7、.證明如下：設為對稱矩陣，可知AA,aijaji,且AijAji,可知A(A).即證得A*為對稱矩陣.證畢.性質7.設A非退化，若A*為對稱矩陣，則A也為對稱矩陣.即證AA.證明如下：A*對稱可知A*(A*).A(A1)1(A(AA即A為對稱矩陣.證畢.2.7 伴隨矩陣A*與原矩陣A的正定性之間的聯(lián)系A)(A)矩陣正定的定義：實對稱矩陣A為正定的，如果二次型XAX正定.又有，實二次型fx1,x2,.xn正定，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)c2,cn都有fc1,c2,cn0性質8若n階矩陣A是正定的，則A*也是正定的.證明：因為A是正定的，所以存在可逆矩陣B,使得BABE,則(BAB)*E*E*

8、又(BABBA(B)BA(B)E由正定的定義知A*也是正定矩陣.證畢.2.8 伴隨矩陣A*的正交性與其原矩陣n階矩陣A的正交性的關系矩陣正交的定義：n階實數(shù)矩陣A稱為正交矩陣，如果AAE.性質9若A為正交矩陣，則A*也為正交矩陣.證明：A為正交矩陣，知AAE,A*(A*)A*(A)*(AA)*E*E由正交的定義知，A*也為正交矩陣.證畢.2.9 伴隨矩陣A*的特征值的性質性質10設為n階矩陣A(A可逆)的特征值，則其伴隨矩陣A*的特征值1與的關系為1證明：設是A的特征值，是A的屬于特征值A的特征向量.則有A兩邊同時左乘A*有A*AA*A*由性質1AA*AE知上式變?yōu)锳A*得A*由A的特征值的性

9、質可知證畢.即為A*的特征值.推廣：性質11若1,2,值，則其伴隨矩陣的特征值為n為n階矩陣A(A可逆)的特征).(i1,2,n)是A的特征向量)證明：由題意知有Aiii(i1,2,n兩邊左乘A*,知A*AiA*ii即AiiAi,得為A*的特征值.即A*的特征值是證畢.(i1,2,n)2.10 伴隨矩陣的運算性質性質12(A)*(A*).a21證明：設n階矩陣A.an1al2a22a22a1na2n則.annA11A12.A1nA21A22.A2nA3nAn1A11(A*)21AnnAn1A12A22.An2Anna11a12a1na21a22.a2n(A)*21annAn1A12A22An2

10、.Ann其Aij(i,j1,2,n)是A中元素aij的代數(shù)余子式，由結果分析知(A)*(A*).證畢.性質13設A為nn1階方陣，k為任意非零常數(shù)，則kA證明設Aaij,可知kannA.kkn1A11n1性質14(AB)*B*A*證明：由性質1知，A*知(AB)*AB(AB)1ABB1A1AB*A1B*A*證畢.Am(m2),則推廣性質15n階矩陣A1,A2,(A1,A2,Am)(Am)(Am1)A2A1,證明過程同性質13的過程.推廣性質16(Am)*(A*)m證明：令A1A2AmA,則AA1A2Am(A1A2Am)(Am)(Am1)A2A1(A).性質17上(下)三角矩陣的伴隨矩陣仍為上(

11、下)三角矩陣a11a21a n1al2a22an2,當ij時，aij0.直接計算得，ann證明設AaijnnA0,iA21A220,Ann則A*亦為上三角矩陣.同理可證，若A為下三角矩陣，則A*也為下三角矩陣.證畢.性質18若矩陣A與B合同，且A與B可逆，則A*與B*也合同.證明因為A與B合同，所以存在可逆矩陣P使PTAPB.又A與B可逆，則有,即CA1CTB1.其中CP1.又PTAPPAB,則PCAA1PCBB1,即QTA*QB*,其中QPC是可逆矩陣.故A*與B*也合同.三.伴隨矩陣的性質在題目中的綜合應用41例3.1設A00求(A3E)1504000500130021 解：A3E02 00A3E1112又(A3E)0例3.2設三階實數(shù)矩陣A(A非退化)的特征值為11,24,31.求2(A1)23A*2A*A2的值.此題目應用知識：A1,f(A),A*與A的特征值的關系.解：由題目條件先知為A的特征值，則性質10可知，A*的特征值為為A1特征值，f()為改勺的特征值.設x