數(shù)的整數(shù)題庫教師版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上5-2數(shù)的整除教學目標本講是數(shù)論知識體系中的一個基石，整除知識點的特點介于“定性分析與定量計算之間”即本講中的題型有定性分析層面的也有定量計算層面的，是很重要的一講，也是競賽?？嫉闹R板塊。本講力求實現(xiàn)的一個核心目標是讓孩子熟悉和掌握常見數(shù)字的整除判定特性，在這個基礎上對沒有整除判定特性的數(shù)字可以將其轉(zhuǎn)化為幾個有整除判定特性的數(shù)字乘積形式來分析其整除性質(zhì)。另外一個難點是將數(shù)字的整除性上升到字母和代數(shù)式的整除性上，這個對于學生的代數(shù)思維是一個良好的訓練也是一個不小的挑戰(zhàn)。知識點撥一、常見數(shù)字的整除判定方法1. 一個數(shù)的末位能被2或5整除，這個數(shù)就能被2或5整除；一個數(shù)的

2、末兩位能被4或25整除，這個數(shù)就能被4或25整除；一個數(shù)的末三位能被8或125整除，這個數(shù)就能被8或125整除；2. 一個位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除；一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除；3. 如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個數(shù)能被11整除.4. 如果一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個數(shù)能被7、11或13整除.【備注】（以上規(guī)律僅在十進制數(shù)中成立.）二、整除性質(zhì)性質(zhì)1 如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c整除即如果ca，cb，那么c(ab)性質(zhì)2 如果數(shù)a能被數(shù)

3、b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除即如果ba，cb，那么ca用同樣的方法，我們還可以得出：性質(zhì)3 如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除即如果bca，那么ba，ca性質(zhì)4 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì)，那么a一定能被b與c的乘積整除即如果ba，ca，且(b，c)=1，那么bca 例如：如果312，412，且(3，4)=1，那么(34) 12性質(zhì)5 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除如果 ba，那么bmam（m為非0整數(shù)）；性質(zhì)6 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除如果 ba ，且dc ，那么bdac；例

4、題精講模塊一、常見數(shù)的整除判定特征【例 1】 已知道六位數(shù)20279是13的倍數(shù)，求中的數(shù)字是幾？ 【解析】 本題為基礎題型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1?！眷柟獭?六位數(shù)能被99整除，是多少？ 【解析】 方法一：被99除商2020余28，所以能被99整除，商72時，末兩位是28，所以為71；方法二：，能被99整除，所以各位數(shù)字之和為9的倍數(shù)，所以方框中數(shù)字的和只能為8或17；又根據(jù)數(shù)被11整除的性質(zhì)，方框中兩數(shù)字的差為6或5，可得是71.【鞏固】 六位數(shù)2008能被49整除，中的數(shù)是多少？ 【解析】 詳解類似上題，從略。填入05【例 2】 173是個四位數(shù)字。數(shù)學老師說：“我在這

5、個中先后填人3個數(shù)字，所得到的3個四位數(shù)，依次可被9、11、6整除?！眴枺簲?shù)學老師先后填入的3個數(shù)字的和是多少？ 【解析】 用1730試除，17309=1922，17301l=1573，17306=2882所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除所以，這三種情況下填入口內(nèi)的數(shù)字的和為7+8+4=19【鞏固】 某個七位數(shù)1993能夠同時被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是多少？ 【解析】 本題可采用整除數(shù)字的判定特征進行判斷，但是太過繁瑣。采用試除法比較方便，若使得7位數(shù)能夠同時被2，3，

6、4，5，6，7，8，9整除，只要讓七位數(shù)是2，3，4，5，6，7，8，9最小公倍數(shù)的倍數(shù)即可?！?，3，4，5，6，7，8，9】=2520.用試除，2520=7902200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格內(nèi)填入320即可【鞏固】 如果六位數(shù)1992能被105整除，那么它的最后兩位數(shù)是多少？ 【解析】 因為，所以這個六位數(shù)同時滿足能被3、7、5整除的數(shù)的特征即可方法一：利用整除特征末位只能為0或5 如果末位填入0，那么數(shù)字和為，要求數(shù)字和是3的倍數(shù)，所以 可以為0，3，6， 9，驗證， 有91是7的倍數(shù)，即是7的倍數(shù)，所以題中數(shù)字的末兩位為90 如果末位填入

7、5，同上解法，驗證沒有數(shù)同時滿足能被3、7、5整除的特征所以，題中數(shù)的末兩位只能是90方法二：采用試除法用試除，余15可以看成不足， 所以補上90，即在末兩位的方格內(nèi)填入90即可【例 3】 在六位數(shù)1111中的兩個方框內(nèi)各填入一個數(shù)字，使此數(shù)能被17和19整除，那么方框中的兩位數(shù)是多少? 【解析】 采用試除法.設六位數(shù)為如果一個數(shù)能同時被17和19整除，那么一定能被323整除，余191也可以看成不足所以當時，即是100的倍數(shù)時，六位數(shù)才是323的倍數(shù)所以有的末位只能是，所以n只能是6，16，26，驗證有時，所以原題的方框中填入5，3得到的滿足題意【鞏固】 已知四十一位數(shù)555999（其中5和9

8、各有20個）能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是多少？【解析】 我們知道這樣的六位數(shù)一定能整除7、11、13原41位數(shù)中從高位數(shù)起共有20個5，從低位數(shù)起共有20個9，那么我們可以分別從低位和高位選出，和，從算式的結構上將就是進行加法的分拆，即：1000(35個0)+1000(29個0)+5599+1000(12個0)+.這個算式的和就是原來的41位數(shù)，我們可以發(fā)現(xiàn)每一組含有或因數(shù)的部分都已經(jīng)是7的倍數(shù)，唯獨剩余5599待定，那么只要令5599是7的倍數(shù)即可，即只要44是7的倍數(shù)即可，應為6【例 4】 在方框中填上兩個數(shù)字，可以相同也可以不同，使432是9的倍數(shù). 請隨便填出一種，并檢查自己填的

9、是否正確； 一共有多少種滿足條件的填法？【解析】 一個數(shù)是9的倍數(shù)，那么它的數(shù)字和就應該是9的倍數(shù)，即432是9的倍數(shù)，而4329, 所以只需要兩個方框中的數(shù)的和是9的倍數(shù)依次填入3、6，因為是9的倍數(shù)，所以43326是9的倍數(shù)；經(jīng)過分析容易得到兩個方框內(nèi)的數(shù)的和是9的倍數(shù)，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10種情況，還有（0,0）和（9,9），所以一共有12種不同的填法【例 5】 (2008“數(shù)學解題能力展示”初賽)已知九位數(shù)既是9的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)；那么，這個九位數(shù)是多少？

10、【解析】 設原數(shù)， 或者， ()或者()或者根據(jù)兩數(shù)和差同奇偶，得： 或者 不成立.所以， .【例 6】 一位后勤人員買了72本筆記本，可是由于他吸煙不小心，火星落在帳本上，把這筆帳的總數(shù)燒去兩個數(shù)字.帳本是這樣的：72本筆記本，共元(為被燒掉的數(shù)字)，請把處數(shù)字補上，并求筆記本的單價. 【解析】 把元作為整數(shù)分.既然是72本筆記本的總線數(shù)，那就一定能被72整除，又因為，(8，9) .所以，. ，根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，8 |79，通過計算個位的.又，根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征， ()，顯然前面的應是3.所以這筆帳筆記本的單價是： (元).【例 7】 由1，3，4，5，7，8這六個數(shù)字所組成的

11、六位數(shù)中，能被11整除的最大的數(shù)是多少？ 【解析】 根據(jù)11的整除判定特征我們知道六位數(shù)的奇數(shù)位與偶數(shù)位三個數(shù)字的和的差要為11的倍數(shù)，我們不妨設奇數(shù)位上的數(shù)和為a，偶數(shù)位上的數(shù)和為b，那么有a+b=1+3+4+5+7+8=28,同時有a-b=0或a-b=11或a-b=22等情況，根據(jù)奇偶性分析自然數(shù)a與b的和為偶數(shù)，那么差也必須為偶數(shù)，但是a-b不可能為22，所以a-b=0，解得a=b=14，則容易排列出最大數(shù).模塊二、數(shù)的整除性質(zhì)應用【例 8】 各位數(shù)碼是0、1或2，且能被225整除的最小自然數(shù)是多少？【解析】 被合數(shù)整除把225分解，分別考慮能被25和9整除特征。，所以要求分別能被25和

12、9整除。要能被25整除，所以最后兩位就是00。要能被9整除，所以所有數(shù)字的和是9的倍數(shù)，為了使得位數(shù)盡可能少，只能是4個2和1個1，這樣得到?！纠?9】 張老師帶領同學們?nèi)シN樹，學生的人數(shù)恰好等分成三組.已知老師和學生共種樹312棵，老師與學生每人種的樹一樣多，并且不超過10棵.問：一共有多少學生？每人種了幾棵樹？【解析】 因為總棵數(shù)是每人種的棵數(shù)和人數(shù)乘積，而每個人種的棵數(shù)又不超過10所以通過枚舉法來解(注意人數(shù)是減去1后是3的倍數(shù))：，不是3的倍數(shù)；，不是3的倍數(shù)；，不是3的倍數(shù)；，不是3的倍數(shù)；，是3的倍數(shù)；，不是3的倍數(shù)；共有51個學生，每個人種了6棵樹.【鞏固】 某班同學在班主任老師

13、帶領下去種樹，學生恰好平均分成三組，如果老師與學生每人種樹一樣多，共種了1073棵，那么平均每人種了棵樹？【解析】 因為總棵數(shù)是每人種的棵數(shù)和人數(shù)的乘積，所以首先想到的是把1073數(shù)相乘，一個數(shù)為人數(shù)一個數(shù)為每人種的棵數(shù)，注意到人數(shù)是減去1是3倍數(shù)，所以人數(shù)是37均每人種了29棵。【例 10】 在865后面補上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，且使這個數(shù)值盡可能的小?！窘馕觥?方法一：設補上數(shù)字后的六位數(shù)是，因為這個六位數(shù)能分別被3、4、5整除，所以它應滿足以下三個條件：第一：數(shù)字和是3的倍數(shù)；第二：末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)是4的倍數(shù)；第三：末位數(shù)字是0或5。由以上條件，4|

14、 ，且只能取0或5，又能被4整除的數(shù)的個位數(shù)不可能是5， c只能取0，因而b只能取0，2，4，6，8中之一。又3| ，且（8+6+5）除以3余1，除以3余2。為滿足題意“數(shù)值盡可能小”，只需取，。要求的六位數(shù)是。方法二：利用試除法，由于要求最小數(shù)，用進行試除分別被3、4、5整除，就是被整除，所以能被整除要求的六位數(shù)是?！眷柟獭?在523后面寫出三個數(shù)字，使所得的六位數(shù)被7、8、9整除那么這三個數(shù)字的和是多少? 【解析】 7、8、9的最小公倍數(shù)是504，所得六位數(shù)應被504整除，所以所得六位數(shù)是，或因此三個數(shù)字的和是17或8【鞏固】 要使能被36整除，而且所得的商最小，那么分別是多少？ 【解析】

15、 分解為互質(zhì)的幾個數(shù)的乘積，分別考慮所以能被4整除,從而只可能是1，3，5，7，9.要使商最小，應盡可能小，先取，又，所以是9的倍數(shù)所以，時，取得最小值.【例 11】 從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數(shù)字中選出五個不同的數(shù)字組成一個五位數(shù)，使它能被3、5、7、13整除，這個數(shù)最大是多少？ 【解析】 本題采用試除法。因為3，5，7，13的最小公倍數(shù)為1365，在之內(nèi)最大的1365的倍數(shù)為99645(1365=73355，-355=99645)，但是不符合數(shù)字各不相同的條件，于是繼續(xù)減1365依次尋找第二大，第三大的數(shù)，看是否符合即可。有99645-1365=98280，98280-

16、1365=9691596915-1365=9555095550-1365=94185所以，滿足題意的5位數(shù)最大為94185【鞏固】 請求出最大的七位數(shù)，使得它能被3、5、7、11、13整除，且各位數(shù)字互不相同，這個七位數(shù)是多少？ 【解析】 解法一：因為711131001，9991001不是七位數(shù)，這個七位數(shù)是1001abcdabcd000abcd，如果c不是9，那么b就會重復，所以c9，因為是5的倍數(shù)，所以d5，要使最大，先假設a8時，b取8，5，2都不符合要求，當a7時，b取9，6，3，0中3符合要求，所以最大的是分析題意知，這個七位數(shù)是711131001的倍數(shù)，根據(jù)1001的特點，解法二:

17、假設這個七位數(shù)是abcdefg，滿足abcdefgn00n，很容易得出c0，f9，b和e相差1，如果g0，那么ad，所以g5。假設a8，那么d3，b和e就是2，1或者7，6，經(jīng)檢驗都不符合要求。假設a7，那么d2，b和e就是4，3，經(jīng)檢驗剛好可以。這個七位數(shù)是.【例 12】 修改31743的某一個數(shù)字，可以得到823的倍數(shù)。問修改后的這個數(shù)是幾？ 【解析】 本題采用試除法。823是質(zhì)數(shù)，所以我們掌握的較小整數(shù)的特征不適用，31743823=38469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改動某位數(shù)字使得得到的新數(shù)比原來大354或354+823n

18、也是滿足題意的改動有n=1時，354+823：1177，n=2時，354+8232=2000，所以當千位增加2，即改為3時，有修改后的五位數(shù)33743為823的倍數(shù)【例 13】 某個自然數(shù)既能寫成9個連續(xù)自然數(shù)的和，還同時可以寫成10個連續(xù)自然數(shù)的和，也能寫成11個連續(xù)自然數(shù)的和，那么這樣的自然數(shù)最小可以是幾？ 【解析】 本題所體現(xiàn)的是一個常用小結論，即任意奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的和必定是這個奇數(shù)的倍數(shù)。任意偶數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的和必定是這個偶數(shù)的一半的倍數(shù)，并且除以這個偶數(shù)的一半后所得的商為一個奇數(shù)。證明方法很簡單，以連續(xù)9個奇數(shù)為例子：我們可以令連續(xù)9個奇數(shù)為：a-4,a-3,a-2,a-1,a,a

19、+1,a+2,a+3,a+4則他們的和為9a，即為9的倍數(shù)。對于連續(xù)10個自然數(shù)，可以為a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4，a+5則它們的和為10a+5=5（2a+1），即是5的倍數(shù)且除以5后商是奇數(shù)。所以本題中要求的數(shù)是5，9，11的最小公倍數(shù)的倍數(shù)即495的倍數(shù)，最小值即495.【鞏固】 是一個三位數(shù).它的百位數(shù)字是4，能被7整除，能被9整除，問是多少？ 【解析】 能被7整除，說明能被7整除；能被9整除，說明能被9整除；，則符合上述兩個條件.(因，則可以寫成這樣的形式：).又是一個百位數(shù)字是4的三位數(shù)，估算知，.【鞏固】 有些數(shù)既能表示成3個連續(xù)自然數(shù)的和，

20、又能表示成4個連續(xù)自然數(shù)的和；還能表示成5個連續(xù)自然數(shù)的和請你找出700至1000之間，所有滿足上述要求的數(shù)，并簡述理由.【解析】 3個連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被3整除；4個連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被2整除，且除以2所得的商是奇數(shù)，也就是說它不能被4整除，除以4所得余數(shù)為2；5個連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被5整除3、2、5的最小公倍數(shù)是30，所以滿足上述三個條件的最小的數(shù)是303、4、5的最小公倍數(shù)是60，所以60的整數(shù)倍加上30就可以滿足條件，所以第一個符合題意的數(shù)是，最大的一個數(shù)是，共計個數(shù)，分別為750、810、870、930、960【例 14】 用數(shù)字6，7，8各兩個，組成一個六位數(shù)，使

21、它能被168整除。這個六位數(shù)是多少？ 【解析】 因為168=837，所以組成的六位數(shù)可以被8、3、7整除能夠被8整除的數(shù)的特征是末三位組成的數(shù)一定是8的倍數(shù)，末兩位組成的數(shù)一定是4的倍數(shù)，末位為偶數(shù)在題中條件下，驗證只有688、768是8的倍數(shù)，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍數(shù)，由例8知形式的數(shù)一定是7、11、13的倍數(shù)，所以一定是7的倍數(shù)，688的不管怎么填都得不到7的倍數(shù)至于能否被3整除可以不驗證，因為整除3的數(shù)的規(guī)律是數(shù)字和為3的倍數(shù)，在題中給定的條件下，不管怎么填數(shù)字和都是定值。所以能被168整除，且驗證沒有其他滿足條件的六位數(shù)【例 15】 將數(shù)字4，5，6，7，8，

22、9各使用一次，組成一個被667整除的6位數(shù)，那么，這個6位數(shù)除以667的結果是多少？ 【解析】 本題考察對數(shù)字667的特殊認識，即6673=2001。本題要求用4，5，6，7，8，9組成一個667的倍數(shù)，其實發(fā)現(xiàn)4，5，6，7，8，9組合出的數(shù)一定是3的倍數(shù)，那么只要考慮組成一個2001的倍數(shù)即可，而2001的六位數(shù)倍數(shù)具有明顯的特征，即后三位是前三位的一半，那么我們可以發(fā)現(xiàn)前三位一定是900多的數(shù)字，后三位是400多，很容易得到。那么667=1434?！纠?16】 一個十位數(shù)，如果各位上的數(shù)字都不相同，那么就稱為“十全數(shù)”，例如，就是一個十全數(shù)現(xiàn)已知一個十全數(shù)能被1，2，3，18整除，并且它

23、的前四位數(shù)是4876，那么這個十全數(shù)是多少？ 【解析】 這個十全數(shù)能被10整除，個位數(shù)字必為0；能被4整除，十位數(shù)字必為偶數(shù)，末兩位只能是20設這個十全數(shù)為由于它能被11整除，所以奇位數(shù)上的數(shù)字之和與偶位數(shù)上的數(shù)字之和的差能被11整除，即被11整除，可能是、由于、四個數(shù)分別為1、3、5、9中的一個，只能是，即所以、是9和5；、是3和1，這個十全數(shù)只能是，中的一個由于它能被7、13、17整除，經(jīng)檢驗，只有符合條件【例 17】 把若干個自然數(shù)1、2、3、連乘到一起，如果已知這個乘積的最末十三位恰好都是零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應該是多少？最大是多少？ 【解析】 乘積末尾的零的個數(shù)是由乘數(shù)中因數(shù)2

24、和5的個數(shù)決定的，有一對2和5乘積末尾就有一個零由于相鄰兩個自然數(shù)中必定有一個是2的倍數(shù)，而相鄰5個數(shù)中才有一個5的倍數(shù)，所以我們只要觀察因數(shù)5的個數(shù)就可以了，發(fā)現(xiàn)只有25、50、75、100、這樣的數(shù)中才會出現(xiàn)多個因數(shù)5，乘到55時共出現(xiàn)個因數(shù)5，所以至少應當寫到55，最多可以寫到59【鞏固】 從50到100的這51個自然數(shù)的乘積的末尾有多少個連續(xù)的0？【解析】 首先，50、60、70、80、90、100中共有7個0其次，55、65、85、95和任意偶數(shù)相乘都可以產(chǎn)生一個0，而75乘以偶數(shù)可以產(chǎn)生2個0，50中的因數(shù)5乘以偶數(shù)又可以產(chǎn)生1個0，所以一共有個0【鞏固】 ，要使這個連乘積的最后4

25、個數(shù)字都是0，那么在方框內(nèi)最小應填什么數(shù)？【解析】 積的最后4個數(shù)字都是0，說明乘數(shù)里至少有4個因數(shù)2和4個因數(shù)5，共有3個5，2個2，所以方框內(nèi)至少是【鞏固】 11個連續(xù)兩位數(shù)的乘積能被343整除，且乘積的末4位都是0，那么這11個數(shù)的平均數(shù)是多少？【解析】 因為，由于在11個連續(xù)的兩位數(shù)中，至多只能有2個數(shù)是7的倍數(shù)，所以其中有一個必須是49的倍數(shù)，那就只能是49或98又因為乘積的末4位都是0，所以這連續(xù)的11個自然數(shù)至少應該含有4個因數(shù)5連續(xù)的11個自然數(shù)中至多只能有3個是5的倍數(shù)，至多只能有1個是25的倍數(shù)，所以其中有一個必須是25的倍數(shù)，那么就只能是25、50或75所以這11個數(shù)中應

26、同時有49和50，且除50外還有兩個是5的倍數(shù)，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它們的平均數(shù)即為它們的中間項45【鞏固】 把若干個自然數(shù)1、2、3、連乘到一起，如果已知這個乘積的最末53位恰好都是零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應該是多少？最大是多少？ 【解析】 1到10的乘積里會出現(xiàn)和10兩次末尾添零的情況，估算從200開始，是個0，還要擴大至220時再增加4個0，所以最小的數(shù)應該是220，而最大應該是224【例 18】 從左向右編號為1至1991號的1991名同學排成一行從左向右1至11報數(shù)，報數(shù)為11的同學原地不動，其余同學出列；然后留下的同學再從左向

27、右1至11報數(shù)，報數(shù)為11的同學留下，其余的同學出列；留下的同學第三次從左向右1至1l報數(shù)，報到11的同學留下，其余同學出列那么最后留下的同學中，從左邊數(shù)第一個人的最初編號是_ 【解析】 第一次報數(shù)后留下的同學，他們最初編號都是11的倍數(shù)；第二次報數(shù)后留下的同學，他們最初編號都是的倍數(shù)；第三次報數(shù)后留下的同學，他們最初編號都是的倍數(shù)因此，第三次報數(shù)后留下的同學中，從左邊數(shù)第一個人的最初編號是【例 19】 在1、2、3、42007這2007個數(shù)中有多少個自然數(shù)a能使2008+a能被2007-a整除?！窘馕觥?本題考察代數(shù)知識的綜合技巧，是一道難度較大的題目。要使得2008+a能被2007-a整除

28、，我們可以將條件等價的轉(zhuǎn)化為只要讓是一個整數(shù)即可。下面是一個比較難的技巧，我們知道若a可以使得是一個整數(shù)，那么a也同樣可以使得是一個整數(shù)，這樣只要2007-a是4015的約數(shù)即可，將4015分解可知其共有8個因數(shù)，其中4015是最大的一個，但是顯然沒有可以讓2007-a等于4015的a的值，其余的7個均可以有對應的a的值，所以滿足條件的a的取值共有7個?！纠?20】 以多位數(shù)為例，說明被11整除的另一規(guī)律就是看奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能否被11整除. 【解析】因為根據(jù)整除性質(zhì)1和鋪墊知，等式右邊第一個括號內(nèi)的數(shù)能被11整除，再根據(jù)整除性質(zhì)1，要判斷能否被11整除，只需判斷能否被11整

29、除，因此結論得到說明.【鞏固】 以多位數(shù)為例，說明被7、11、13整除的規(guī)律. 【解析】 因為根據(jù)整除性質(zhì)和鋪墊知，等式右邊第一個括號內(nèi)的數(shù)能被7、11、13整除，再根據(jù)整除性質(zhì)1，要判斷能否被7、11、13整除，只需判斷能否被7、11、13整除，因此結論得到說明.【例 21】 已知兩個三位數(shù)與的和能被37整除，試說明：六位數(shù)也能被37整除【解析】 ，因為999能被37整除，所以能被37整除，而也能被37整除，所以其和也能被37整除，即能被37整除【鞏固】 如果能被6整除，那么也能被6整除 【解析】 2|2|e6|3e3|3|a+b+c+d+e6|2(a+b+c+d+e)6|2(a+b+c+d

30、+e)-3e6|2（a+b+c+d）-e【鞏固】 若，試問能否被8整除?請說明理由 【解析】 由能被8整除的特征知，只要后三位數(shù)能被8整除即可. ，有能被8整除，而也能被8整除，所以能被8整除.【例 22】 兩個四位數(shù)和相乘，要使它們的乘積能被72整除，求和.【解析】 考慮到，而是奇數(shù)，所以必為8的倍數(shù)，因此可得；四位數(shù)2752各位數(shù)字之和為不是3的倍數(shù)也不是9的倍數(shù)，因此必須是9的倍數(shù)，其各位數(shù)字之和能被9整除，所以.【鞏固】 若四位數(shù)能被15整除，則代表的數(shù)字是多少？【解析】 因為15是3和5的倍數(shù)，所以既能被3整除，也能被5整除能被5整除的數(shù)的個位數(shù)字是0或5，能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的

31、和是3的倍數(shù)當時，不是3的倍數(shù)；當時，是3的倍數(shù)所以，代表的數(shù)字是5【例 23】 為了打開銀箱，需要先輸入密碼，密碼由7個數(shù)字組成，它們不是1、2就是3在密碼中1的數(shù)目比2多，2的數(shù)目比3多，而且密碼能被3和16所整除試問密碼是多少？ 【解析】 密碼由7位數(shù)字組成，如果有兩個3的話，那么至少是位數(shù)，與題意不符；只有一個3的話，那么至少有兩個2.如果有三個2，那么1至少有四個，總共至少有個數(shù)字，與題意不符，所以2只有兩個，1有四個，如此，各數(shù)位數(shù)字和為，不是3的倍數(shù)，所以密碼中沒有3，只有1、2，由1、2組成的四位數(shù)中只有2112能被16整除（從個位向高數(shù)位推得），所以密碼的后四位是2112，所

32、以前三位數(shù)字和是3的倍數(shù)，只有111和222滿足條件，其中的2多于1，應予排除，所以這個密碼是.【鞏固】 為了打開銀箱，需要先輸入密碼，密碼由7個數(shù)字組成，它們不是2就是3在密碼中2的數(shù)目比3多，而且密碼能被3和4所整除試求出這個密碼 【解析】 密碼中的2比3要多，所以2可能有4、5、6或7個當2有4個時，密碼的數(shù)字和為17；當2有5個時，數(shù)字和為16；當2有6個時，數(shù)字和為15；當2有7個時，數(shù)字和為14由于一個數(shù)能被3整除時，它的數(shù)字和也能被3整除，所以密碼中2應當有6個，這樣3就只能有1個另外，一個數(shù)能被4整除，那么它的末兩位數(shù)也應當能被4整除，所以末兩位數(shù)必定是32所以，密碼是【例 2

33、4】 一個19位數(shù)能被13整除，求內(nèi)的數(shù)字 【解析】 13|，13|，13|00+13|，13|00，13|，13|444，13|2，設=7770，0【鞏固】 應當在如下的問號“？”的位置上填上哪一個數(shù)碼，才能使得所得的整數(shù)可被7整除？ 【解析】 由于可被7整除，因此如果將所得的數(shù)的頭和尾各去掉48個數(shù)碼，并不改變其對7的整除性，于是還剩下“”從中減去63035，并除以100，即得“”可被7整除.此時不難驗證，具有此種形式的三位數(shù)中，只有322和392可被7整除所以？處應填2或9.【例 25】 多位數(shù)，能被11整除，最小值為多少？ 【解析】 奇數(shù)位數(shù)字之和為，偶數(shù)位數(shù)字之和為，這個多位數(shù)整除1

34、1，即能整除11，n最小取3【鞏固】 能被11整除，那么，的最小值為多少？ 【解析】 中奇位數(shù)減偶位數(shù)的差為，當時，是11的倍數(shù)，所以的最小值是5.【例 26】 三位數(shù)的百位、十位和個位的數(shù)字分別是5，a和b，將它連續(xù)重復寫2008次成為：.如果此數(shù)能被91整除，那么這個三位數(shù)是多少？ 【解析】 因為，所以也是7和13的倍數(shù)，因為能被7和13整除的特點是末三位和前面數(shù)字的差是7和13的倍數(shù)，由此可知也是7和13的倍數(shù)，即也是7和13的倍數(shù)，依次類推可知末三位和前面數(shù)字的差即為：也是7和13的倍數(shù)，即也是7和13的倍數(shù)，由此可知也是7和13的倍數(shù)，百位是5能被7和13即91整除的數(shù)字是：，所以.

35、【例 27】 試說明一個4位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的和一定是11的倍數(shù)(如：1236為原序數(shù)，那么它對應的反序數(shù)為6321，它們的和7557是11的倍數(shù)) 【解析】 設原序數(shù)為，則反序數(shù)為，則 ，因為等式的右邊能被整除，所以 能被11整除【鞏固】 試說明一個兩位數(shù)，如果將個位數(shù)字和十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，則新數(shù)與原數(shù)的差一定能被9整除. 【解析】 設原來的兩位數(shù)為，則新的兩位數(shù)為. .因為能被9整除，所以他們的差能被9整除.【鞏固】 試說明一個5位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的差一定是99的倍數(shù)(如：12367為原序數(shù)，那么它對應的反序數(shù)為76321，它們的差是99的倍數(shù)) 【解析】 設原序數(shù)為，

36、則反序數(shù)為，則因為等式的右邊能被99整除，所以能被99整除【鞏固】 1至9這9個數(shù)字，按圖所示的次序排成一個圓圈請你在某兩個數(shù)字之間剪開，分別按順時針和逆時針次序形成兩個九位數(shù)(例如，在1和7之間剪開，得到兩個數(shù)是和)如果要求剪開后所得到的兩個九位數(shù)的差能被整除，那么剪開處左右兩個數(shù)字的乘積是多少?【解析】 互為反序的兩個九位數(shù)的差，一定能被99整除而，所以我們只用考察它能否能被4整除于是只用觀察原序數(shù)、反序數(shù)的末兩位數(shù)字的差能否被4整除，顯然只有當剪開處兩個數(shù)的奇偶性相同時才有可能注意圖中的具體數(shù)字，有(3，4)處、（8，5)處的兩個數(shù)字奇偶性均不相同，所以一定不滿足而剩下的幾個位置奇偶性相

37、同，有可能滿足進一步驗證，有(9，3)處剪開的末兩位數(shù)字之差為，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)處剪開的末兩位數(shù)字之差為，所以從(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)處剪開，所得的兩個互為反序的九位數(shù)的差才是396的倍數(shù)(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)處左右兩個數(shù)的乘積為27，8，12，48，35，9【例 28】 一個六位數(shù)，如果滿足，則稱為“迎春數(shù)”(如，則就是“迎春數(shù)”).請你求出所有“迎春數(shù)”的總和. 【解析】 方法一：顯然，不小于4，原等式變形為化簡得，當時，于是為同理，6，7，

38、8，9，可以得到為，. 所有的和是方法二：顯然，不小于4，若，為末尾數(shù)字，所以；為的末2位，所以；為的末3位，所以； 為的末4位，所以；為的末5位，所以；于是為同理，6，7，8，9，可以得到為，. 所有的和是【例 29】 一個4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構成一個新的4位數(shù).已知這兩個4位數(shù)的和是以下5個數(shù)的一個：9865；9866；9867；9868；9869.這兩個4位數(shù)的和到底是多少? 【解析】 設這個4位數(shù)是，則新的4位數(shù)是.兩個數(shù)的和為,是11的倍數(shù).在所給的5個數(shù)中只有9867是11的倍數(shù)，故正確的答案為9867【鞏固】 一個4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構成一個新的4位數(shù).再將新

39、的4位數(shù)的千位數(shù)字移到右端構成一個更新的四位數(shù)，已知最新的4位數(shù)與最原先的4位數(shù)的和是以下5個數(shù)的一個：9865；9867；9462；9696；9869.這兩個4位數(shù)的和到底是多少? 【解析】 設這個4位數(shù)是，則最新的4位數(shù)是.兩個數(shù)的和為,是101的倍數(shù).在所給的5個數(shù)中只有9696是101的倍數(shù)，故正確的答案為9696.模塊三、整除與其他知識綜合性題目【例 30】 在小于5000的自然數(shù)中，能被11整除，并且數(shù)字和為13的數(shù)，共有多少個. 【解析】 兩位數(shù)字中能被11整除的數(shù)字是11、22、99這些數(shù)字中顯然沒有這樣的數(shù).三位數(shù)，設這個三位數(shù)為，有和，顯然有，所以就有，814，715，61

40、6，517，418，319這7個.四位數(shù)，設這個四位數(shù)為， 有和()()中，若，則或4有2種組合，b和d有2種.因此有4種； 有和()()，則只能，和有7種組合.綜上所述，這樣的數(shù)有個.【鞏固】 用1，9，8，8這四個數(shù)字能排成幾個被11除余8的四位數(shù)? 【解析】 現(xiàn)在要求被11除余8，我們可以這樣考慮：這樣的數(shù)加上3后，就能被11整除了所以我們得到“一個數(shù)被11除余8”的判定法則：將偶位數(shù)字相加得一個和數(shù)，再將奇位數(shù)字相加再加3，得另一個和數(shù)，如果這兩個和數(shù)之差能被11整除，那么這個數(shù)是被11除余8的數(shù)；否則就不是要把1，9，8，8排成一個被11除余8的四位數(shù)，可以把這4個數(shù)分成兩組，每組2

41、個數(shù)字其中一組作為千位和十位數(shù)，它們的和記作；另外一組作為百位和個位數(shù)，它們之和加上3記作我們要適當分組，使得能被11整除現(xiàn)在只有下面4種分組法： 偶位 奇位 1，8 9，8 1，9 8，8 9，8 1，8 8，8 1，9經(jīng)過驗證，只有第種分組法滿足前面的要求：，能被11整除其余三種分組都不滿足要求根據(jù)判定法則還可以知道，如果一個數(shù)被11除余8，那么在奇位的任意兩個數(shù)字互換，或者在偶位的任意兩個數(shù)字互換得到的新數(shù)被11除也余8于是，上面第種分組中，1和8任一個可以作為千位數(shù)，9和8中任一個可以作為百位數(shù)這樣共有4種可能的排法：1988，1889，8918，8819【例 31】 在1至2008這2008個自然數(shù)中，恰好是3、5、7中兩個數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有多少個？ 【解析】 1到2008這2008個自然數(shù)中，3和5的倍數(shù)有個，3和7的倍數(shù)有個，5和7的倍數(shù)有個，3、5和7的倍數(shù)有個所以，恰好是3、5、7中兩個數(shù)的倍數(shù)的共有個【例 32】 有15位同學，每位同學都有編號，他們是1號到15號，1號同學寫了一個自然數(shù)，其