初中數(shù)學(xué)常用思想方法專題講解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初中數(shù)學(xué)常用思想方法專題講解引入語(yǔ)數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的本質(zhì)體現(xiàn)，是形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的靈魂.正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是在中考數(shù)學(xué)中取得好成績(jī)的關(guān)鍵. 解中考題時(shí)常用的數(shù)學(xué)思想方法有：整體思想、分類討論思想、方程思想、轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合思想、歸納與猜想的思想等.中考解讀數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈魂，它在學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中起著關(guān)鍵性的指導(dǎo)作用.數(shù)學(xué)思想方法是中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，還因?yàn)樗墙鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本策略，也是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分.數(shù)學(xué)思想總是在解決問(wèn)題的過(guò)程中體現(xiàn)出來(lái)，在中考中不會(huì)出現(xiàn)單純的數(shù)學(xué)思

2、想題目，這就增加了數(shù)學(xué)思想的掌握和訓(xùn)練的難度，但它也是有規(guī)律的，只要勤于思考和總結(jié)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)挠?xùn)練，相信你一定能夠掌握初中數(shù)學(xué)常用的思想方法.回顧近年全國(guó)各地的中考題，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的考查頻率越來(lái)越高，涉及的知識(shí)點(diǎn)也越來(lái)越多.預(yù)計(jì)2009年中考，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查可能呈現(xiàn)以下趨勢(shì)：需要利用數(shù)學(xué)思想求解的題目穩(wěn)中有增，涉及的知識(shí)點(diǎn)更加分散.其中，函數(shù)與方程思想的考查，很可能集中體現(xiàn)在應(yīng)用題中；數(shù)形結(jié)合思想的考查以選擇和填空為主；分類討論思想的考查主要在求解函數(shù)、不等式、空間與圖形、概率等問(wèn)題中出現(xiàn)；，總之，數(shù)學(xué)思想的掌握和訓(xùn)練應(yīng)引起同學(xué)們的重視.復(fù)習(xí)策略由于數(shù)學(xué)思想總是滲透在問(wèn)題中，所以

3、復(fù)習(xí)中要抓關(guān)鍵類型，突出重點(diǎn)知識(shí)和方法，比如方程思想與函數(shù)思想的聯(lián)合復(fù)習(xí)等；要注意挖掘課本例、習(xí)題的潛在功能，以題思法，推敲其中的思想方法，多角度多側(cè)面探討條件的加強(qiáng)與弱化、結(jié)論的開(kāi)放與變換、蘊(yùn)含的思想方法、及與其他試題的聯(lián)系和區(qū)別等，提高復(fù)習(xí)的效率.題型歸類一、整體的思想整體思想是將問(wèn)題看成一個(gè)完整的整體，把注意力和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)改造上，從整體上把握問(wèn)題的內(nèi)容和解題的方向與策略.運(yùn)用整體思想解題，往往能為許多中考題找到簡(jiǎn)便的解法.例1 （蘇州市）若，則的值等于（ ）AB C D或分析：已知條件是一個(gè)一元二次方程，通過(guò)求出方程的解再代入計(jì)算，當(dāng)然可以得到結(jié)果，但是顯然很繁.注意

4、到，條件可以轉(zhuǎn)化為，而且要求值的代數(shù)式中的未知部分都是，所以可以整體代入.解：由條件得：，所以=.故應(yīng)選A.評(píng)注：從結(jié)構(gòu)上對(duì)題目的條件和問(wèn)題進(jìn)行全面、深刻的分析和改造是應(yīng)用整體思想的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.二、分類討論思想分類討論就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對(duì)象分成為數(shù)不多的幾個(gè)部分或幾種情況，然后逐個(gè)加以解決，最后予以總結(jié)作出結(jié)論的思想方法.其實(shí)質(zhì)是化整為零，各個(gè)擊破，化大難為小難的的策略. 例2 （南京市）若等腰三角形的一個(gè)外角為，則它的底角為 度分析：由于題目沒(méi)有交代這個(gè)外角是頂角的外角還是底角的外角，所以要分兩種情況分別計(jì)算并討論是否符合題意.解：當(dāng)頂角的外角是時(shí)，根據(jù)“三角形的一個(gè)外角等于與它不相

5、鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”知兩個(gè)底角的和為70°，所以每個(gè)底角為35°；當(dāng)?shù)捉堑耐饨菫?0°時(shí)，每個(gè)底角都是110°，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾.故應(yīng)填：35.評(píng)注：分類的原則是“不重不漏”，對(duì)每一種情況都要分析.三、方程思想方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它內(nèi)容豐富，涉及面廣，綜合性強(qiáng)，因而用方程思想解數(shù)學(xué)題有廣泛的應(yīng)用.利用方程思想的基本類型有：通過(guò)列方程或方程組求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式；研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)、解決二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的有關(guān)問(wèn)題.方程思想在解決幾何問(wèn)題時(shí)也經(jīng)常用到.所謂用方程思想解幾何題，就是充分挖掘條件和結(jié)論中隱含的數(shù)量關(guān)系，借助圖形的

6、直觀性質(zhì)，尋求已知量與未知量之間的等量關(guān)系，從而列出方程（組），然后解出方程，進(jìn)而使幾何題得到解決.例3 （龍巖市）一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，它是 邊形.分析：由于任意多邊形的外角和都是360°，而邊形的內(nèi)角和是°，從而列出方程求解.解：設(shè)這個(gè)多邊形是邊形，根據(jù)題意，得：=360，解得=4.評(píng)注：幾何面積公式、多邊形內(nèi)角和公式、對(duì)角線條數(shù)公式等都是幾何問(wèn)題中常用的等量關(guān)系，根據(jù)幾何中的等量關(guān)系列出方程是利用方程思想的核心.四、轉(zhuǎn)化思想所謂的轉(zhuǎn)化思想就是指在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),如果對(duì)當(dāng)前的問(wèn)題感到生疏困惑,可以把它進(jìn)行變換,使之化生疏為熟悉，化繁為簡(jiǎn),化難為易,從而使問(wèn)題

7、得以解決的思想方法.這種思想是科學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很常用的方法,它是解決新問(wèn)題獲得新知識(shí)的重要思想,在中考中我們可以通過(guò)它來(lái)突破并解決一些難題.例4 （南通市）已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，求三角形面積通常有以下三種方法：方法1：直接法計(jì)算三角形一邊的長(zhǎng)，并求出該邊上的高方法2：補(bǔ)形法將三角形面積轉(zhuǎn)化成若干個(gè)特殊的四邊形或三角形的面積的和或差方法3：分割法選擇一條恰當(dāng)?shù)闹本€，將三角形分割成兩個(gè)便于計(jì)算面積的三角形現(xiàn)給出三點(diǎn)坐標(biāo)：A（-1，4），B（2，2），C（4，-1），請(qǐng)你選擇一種方法計(jì)算ABC的面積，你的答案是SABC 分析：平面直角坐標(biāo)系中的圖形的面積計(jì)算大多通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為矩形和三角形

8、解決.本題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，找到相應(yīng)的長(zhǎng)度.解：如圖，ABC的三邊中沒(méi)有水平或豎直的，所以采用分割法. SABC =2.5.（沿過(guò)點(diǎn)B的水平線分割）評(píng)注：本題的分割辦法非常多，比如沿過(guò)B的豎直線分割、沿圖中黑線補(bǔ)圖等均可.五、數(shù)形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合思想就是在研究問(wèn)題時(shí)把數(shù)和形結(jié)合考慮或者把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題形象化、具體化.例5 （巴中市）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）ABCD分析：本題是把抽象的二次函數(shù)問(wèn)題通過(guò)圖象展現(xiàn)出來(lái)，也從圖象中獲取二次函數(shù)的性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合思想的充分體現(xiàn).解：由拋物線與

9、軸有兩個(gè)交點(diǎn)可知A正確；由拋物線的開(kāi)口向上知B也正確；由拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上知C也正確；由圖中對(duì)稱軸的位置知，所以D是錯(cuò)誤的，故選D.評(píng)注：正如我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚所言“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非”， 將圖形的數(shù)量關(guān)系，輔之以數(shù)，則更加具體直觀，從而快速得到問(wèn)題的答案六、歸納與猜想的思想方法所謂歸納與猜想,就是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),從特殊的、簡(jiǎn)單的、局部的例子出發(fā),探尋一般的規(guī)律,或者從現(xiàn)有的已知條件出發(fā),通過(guò)觀察、類比、聯(lián)想，進(jìn)而猜想出結(jié)果的思想方法.例6 （襄樊市）如圖，在銳角的內(nèi)部，畫(huà)1條射線，可得3個(gè)銳角；畫(huà)2條不同的射線，可得6個(gè)銳角；畫(huà)3

10、條不同的射線，可得10個(gè)銳角；照此規(guī)律，畫(huà)10條不同射線，可得銳角 個(gè)分析：觀察圖形可發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)圖有（1+2）個(gè)角；第2個(gè)圖有（1+2+3）個(gè)角；第3個(gè)圖有（1+2+3+4）個(gè)角；所以第10個(gè)圖應(yīng)有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66個(gè)角；另一方面，第10個(gè)圖中共有12條射線，每一條射線跟其它11條射線都能組成一個(gè)銳角，共有12×11=132個(gè)，但是每一個(gè)角都被它的兩條邊分別算了一次，所以，實(shí)際只有它的一半.解：=66（個(gè)）.評(píng)注：解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律.主要有兩種方法，1.看后面圖形與前一個(gè)圖形發(fā)生了怎樣的變化，從變化中找規(guī)律；2.看每個(gè)圖形中角的個(gè)數(shù)

11、與圖形序號(hào)之間的關(guān)系，從而寫(xiě)出通式. 七、樣本估計(jì)總體思想用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想，主要包括三類：用樣本中某類個(gè)體所占的比例來(lái)估計(jì)總體中這類個(gè)體所占的比例，用樣本的平均數(shù)、方差來(lái)估計(jì)總體的平均數(shù)、方差例7 （自貢市）今年3月5日，花溪中學(xué)組織全體學(xué)生參加了“走出校門，服務(wù)社會(huì)”的活動(dòng).九年級(jí)一班高偉同學(xué)統(tǒng)計(jì)了該天本班學(xué)生打掃街道，去敬老院服務(wù)和到社區(qū)文藝演出的人數(shù)，并做了如下直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)高偉同學(xué)所作的兩個(gè)圖形，解答：（1）九年級(jí)一班有多少名學(xué)生？（2）補(bǔ)全直方圖的空缺部分.（3）若九年級(jí)有800名學(xué)生，估計(jì)該年級(jí)去敬老院的人數(shù).析解：統(tǒng)計(jì)圖表部分的主要問(wèn)題類型是從圖表中獲取

12、信息、用樣本的特性估計(jì)總體的相應(yīng)特性.從條形統(tǒng)計(jì)圖可看出：去社區(qū)進(jìn)行文藝演出的同學(xué)有15人；從扇形統(tǒng)計(jì)圖可看出其所占比例為，所以該班共有學(xué)生50人；有總?cè)藬?shù)和打掃街道、文藝演出的人數(shù)可算得去敬老院的有10人；去敬老院的學(xué)生占學(xué)生總數(shù)的20%，據(jù)此可估計(jì)九年級(jí)800名學(xué)生中約有160人去了敬老院.評(píng)注：用樣本的特性估計(jì)總體相應(yīng)的特性是統(tǒng)計(jì)的價(jià)值所在，但結(jié)果都是“估計(jì)”.八、函數(shù)思想函數(shù)思想一方面是指以函數(shù)概念為依托，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的形式，把這種數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)，（即建立函數(shù)表達(dá)式）并加以研究，從而使問(wèn)題獲得解決.另一方面是對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，即利

13、用函數(shù)的圖象或函數(shù)的性質(zhì)去分析、觀察其它數(shù)學(xué)問(wèn)題并加以解決.例8 （自貢市）抗震救災(zāi)中，某縣糧食局為了保證庫(kù)存糧食的安全，決定將甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的糧食，全部轉(zhuǎn)移到具有較強(qiáng)抗震功能的A、B兩倉(cāng)庫(kù).已知甲庫(kù)有糧食100噸，乙?guī)煊屑Z食80噸，而A庫(kù)的容量為70噸，B庫(kù)的容量為110噸.從甲、乙兩庫(kù)到A、B兩庫(kù)的路程和運(yùn)費(fèi)如下表（表中“元/噸·千米”表示每噸糧食運(yùn)送1千米所需人民幣）（1）若甲庫(kù)運(yùn)往A庫(kù)糧食噸，請(qǐng)寫(xiě)出將糧食運(yùn)往A、B兩庫(kù)的總運(yùn)費(fèi)（元）與（噸）的函數(shù)關(guān)系式.（2）當(dāng)甲、乙兩庫(kù)各運(yùn)往A、B兩庫(kù)多少噸糧食時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省，最省的總運(yùn)費(fèi)是多少？分析：總費(fèi)用是四項(xiàng)運(yùn)輸費(fèi)用的和，根據(jù)題意，得

14、：將此關(guān)系式化簡(jiǎn)，并利用函數(shù)的性質(zhì)分析即可.解：（1）依題意有： （其中） （2）上述一次函數(shù)中 隨的增大而減小 當(dāng)=70時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省， 最省的總運(yùn)費(fèi)為：.評(píng)注：函數(shù)思想是解決實(shí)際問(wèn)題中最佳方案、費(fèi)用最低等類型問(wèn)題的最主要方法.初中幾種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)一樣,數(shù)學(xué)思想也是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。重視與加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)思想的教學(xué),這對(duì)于抓好雙基,培養(yǎng)能力以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)都具有十分重要的作用。本人結(jié)合幾年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐,認(rèn)為初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想有以下幾種:一、化歸轉(zhuǎn)換思想化歸,即轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的意思。把有待解決或未解決的問(wèn)題,通過(guò)轉(zhuǎn)化過(guò)程,歸結(jié)為所熟悉的規(guī)范性問(wèn)題或已解決的問(wèn)題中去,從

15、而求得問(wèn)題解決的思想。人們?cè)谘芯窟\(yùn)用的長(zhǎng)期實(shí)踐中,獲得了大量的成果,也積累了豐富的經(jīng)驗(yàn),許多問(wèn)題的解決已經(jīng)形成了固定的方法模式和約定俗成的步驟。人們把這種有規(guī)定的解決方法和程序的問(wèn)題,叫做規(guī)范問(wèn)題,而把一個(gè)未知的或復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為規(guī)范問(wèn)題的過(guò)程稱為問(wèn)題的化歸。例如,對(duì)于整式方程(如一元一次方程、一元二次方程),人們已經(jīng)掌握了等式基本性質(zhì)、求根公式等理論,因此,求解整式方程的問(wèn)題是規(guī)范問(wèn)題,而把有關(guān)分式方程通過(guò)去分母轉(zhuǎn)化為整式方程的過(guò)程,就是問(wèn)題的規(guī)范化。為了實(shí)現(xiàn)“化歸”,數(shù)學(xué)中常常借助于“代換”,又稱之為轉(zhuǎn)換。代數(shù)中有恒等變換,方程、不等式的同解變換;幾何中全等變換、相似變換、等積變換。轉(zhuǎn)換是

16、手段,揭示其中不變的東西才是目的,為了不變的目的去探索轉(zhuǎn)換的手段就構(gòu)成解題的思路和技藝。例如,已知x2+y2+2x-6y+10=0,求xy。對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)本題無(wú)法直接解出關(guān)于x,y的二元二次方程。但是如果從完全平方公式著手,已知條件可以轉(zhuǎn)換為(x+1)2+(y-3)2=0。又因?yàn)榕即蝺缇哂蟹秦?fù)性,即(x+1)20,(y-3)20,所以(x+1)2=0,(y-3)2=0,從而得出x=-1,y=3。最終問(wèn)題得以解決。二、分解組合思想當(dāng)面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題不能以統(tǒng)一的形式解決時(shí),可以把涉及的范圍分解為若干個(gè)分別研究問(wèn)題局部的解。然后通過(guò)組合各局部的解而得到原問(wèn)題的解,這種思想就是分解組合思想,其方法稱為分

17、類討論法。分解組合,是重要的數(shù)學(xué)思想之一。對(duì)于復(fù)雜的計(jì)算題、證明題等,運(yùn)用分解組合的思想方法去處理,可以幫助學(xué)生進(jìn)行全面嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎己头治?從而獲得合理有效的解題途徑。例如,等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別是4和5,求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)。解決本題首先分類討論:若4為底,則5為腰,三邊長(zhǎng)分別為4,5,5,可以構(gòu)成三角形,此時(shí)周長(zhǎng)為14;若5為底,則4為腰,三邊長(zhǎng)分別為5,4,4,可以構(gòu)成三角形,此時(shí)周長(zhǎng)為13。三、方程函數(shù)思想方程的思想和函數(shù)的思想是處理常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)的重要思想,在解決一般數(shù)學(xué)問(wèn)題中具有重大的意義。在初中數(shù)學(xué)中,方程與函數(shù)是極為重要的內(nèi)容,對(duì)各類方程和簡(jiǎn)單函數(shù)都有了較為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)研究。對(duì)一個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)題,常常只須尋找等量關(guān)系,列出一個(gè)或幾個(gè)方程(方程組)或函數(shù)關(guān)系式,就能很好地得到解決。例如,某燈具店采購(gòu)了一批某種型號(hào)的節(jié)能燈,共用去400元。在搬運(yùn)過(guò)程中不慎打碎了5盞,該店把余下的燈每盞加價(jià)4元全部售出,然后用所得的錢又采購(gòu)了一批這種節(jié)能燈,且進(jìn)價(jià)與上次相同,但購(gòu)買的數(shù)量比上次多了9盞,求每盞燈的進(jìn)價(jià)。如果設(shè)每盞燈的進(jìn)價(jià)為x,則(4+x)(400/x-5)-400=9x。本題的等量關(guān)系是兩次采購(gòu)的錢數(shù)。四、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合不僅使幾何問(wèn)題獲得了有力的代數(shù)工具,同時(shí)也