一次函數(shù)圖象的平移變換問題探究

1、一次函數(shù)圖象的平移變換問題的探究所謂平移變換就是在平面內(nèi)，將一個圖形整體沿某一個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動就稱為平移.經(jīng)過平移后的圖形與原來的圖形相比大小、形狀不變，只是位置發(fā)生了變化.簡單的點P（x，y）平移規(guī)律如下：（1）將點P（x，y）向左平移a個單位，得到P1（xa，y）（2）將點P（x，y）向右平移a個單位，得到P2（x+a，y）（3）將點P（x，y）向下平移a個單位，得到P3（x，ya）（4）將點P（x，y）向上平移a個單位，得到P4（x，y+a）反之也成立.下面我們來探索直線的平移問題.【引例1】探究一次函數(shù)：y=x與：y=x+2，：y=x2的關(guān)系.圖1-11-11【探究

2、】我們可以通過列表、描點、連線在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出3個函數(shù)的圖象（如圖1），觀察這3個函數(shù)的圖象：從位置上看，它們是3條平行的直線.（這是因為它們的k值相同）；從數(shù)量上看，對于同一自變量的取值（不妨取x=0即直線與y軸的交點），可以看出直線在直線的上方2個單位處，直線在直線的下方2個單位處，因此，一次函數(shù)：y=x+2的圖象可以看作是由正比例函數(shù)：y=x的圖象沿y軸向上平移2個單位得到的；一次函數(shù)：y=x2的圖象可以看作是由正比例函數(shù)：y=x的圖象沿y軸向下平移2個單位得到的.【拓廣】：一般地，一次函數(shù)y=kx+b的圖象是由正比例函數(shù)y=kx的圖象沿y軸向上（b0）或向下（b0）個單位，得

3、到的一次函數(shù)解析式為y=k（x+m）=kx+km；沿x軸向右平移m（m0）個單位，得到的一次函數(shù)解析式為y=k（xm）=kxkm；綜合上述歸納推廣可以發(fā)現(xiàn)，直線上下平移時，影響的y值的變化，直線左右平移時影響x值的變化.OCBAA【應(yīng)用】：（08年武漢市）點（0，1）向下平移2個單位后的坐標(biāo)是 ，直線向下平移2個單位后的解析式是 ；直線向右平移2個單位后的解析式是 ；如圖，已知點C為直線上在第一象限內(nèi)一點，直線交軸于點A，交軸于B，將直線AB沿射線OC方向平移個單位，求平移后的直線的解析式分析：點（0，1）向下平移2個單位，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)減去2，故為（0，1）.根據(jù)上面拓廣的規(guī)律直線向下平

4、移2個單位后的解析式應(yīng)為2，即；直線向右平移2個單位后的解析式應(yīng)為y=2(x-2)+1即；解法1：點C為直線上在第一象限內(nèi)一點，OC=可知點C（3，3），將直線AB沿射線OC方向平移個單位，相當(dāng)于向右平移3個單位，再向上平移3個單位，根據(jù)拓廣規(guī)律，解析式變?yōu)閥=2(x-3)+1+3即；解法2：點C為直線上在第一象限內(nèi)一點，OC=可知點C（3，3），將直線AB沿射線OC方向平移個單位，相當(dāng)于向右平移3個單位，再向上平移3個單位，從而點A（0，1）平移到（3，4），設(shè)平移后的直線的解析式為y=2x+b，則有4=6+b所以b=-2，所以所求直線的解析式為y=2x-2.賞析一道函數(shù)圖象探究題函數(shù)是初中

5、數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一,其圖象是一種直觀形象的交流語言,含有大量的豐富的有價值的信息.為考查同學(xué)們獲取和應(yīng)用圖象信息的能力,函數(shù)圖象探究題便成了近年來各地中考的新亮點,解答這類題的關(guān)鍵是從圖象中獲取信息,正確地進(jìn)行“形”和“數(shù)”的轉(zhuǎn)換.現(xiàn)就08年中考有關(guān)一次函數(shù)圖象探究題精選一例,淺析如下,供同學(xué)們鑒賞：例(2008江蘇南京)一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時間為，兩車之間的距離為，圖中的折線表示與之間的函數(shù)關(guān)系根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究：信息讀?。?）甲、乙兩地之間的距離為 km；（2）請解釋圖中點的實際意義；圖象理解（3）求慢車和快車的速度；（4）求線段所表

6、示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；問題解決（5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時？分析 (1)圖中折線表示兩車之間距離與慢車行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系,從折線中可以看出,當(dāng)=0,即兩車即將出發(fā)時,=900(),這說明甲、乙兩地之間的距離為900km；(2)當(dāng)=4,即慢車行駛4小時, =0(),這說明兩車之間的距離為0,即兩車相遇;(3)兩車相遇后繼續(xù)行駛,快車至乙地停止行駛(折線上為點C),慢車?yán)^續(xù)向甲地行駛,直至=12,即慢車行駛了12小時到達(dá)甲地(折線上為點D).點D

7、的縱坐標(biāo)為900(),這說明慢車12小時行駛的路程為900,從而可求得慢車的速度,再由兩車4小時相遇,即4小時共走了900,則快車速度可求.(4) 求線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是要確定B、C兩點的坐標(biāo),由圖象可知,點B的坐標(biāo)為(4,0),點C的橫坐標(biāo)為快車到達(dá)乙地的時間,由快車行駛路程快車行駛速度可得,而縱坐標(biāo)則為此時兩車之間的距離,可由慢車行駛時間慢車行駛速度求得,再用待定系數(shù)法可求得線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式.(5) 慢車與第一列快車相遇30分鐘后與第二列快車相遇,此時,慢車行駛的時間是4.5h代入線段所表示函數(shù)關(guān)系式,可以求得此時慢車與第一列快車之間的距離, 而這也正是兩列

8、快車之間的距離,再由快車行駛速度,則可求得兩列快車發(fā)車的間隔時間,從而問題可解.解：（1）900；（2）圖中點的實際意義是：當(dāng)慢車行駛4h時，慢車和快車相遇（3）由圖象可知，慢車12h行駛的路程為900km，所以慢車的速度為；當(dāng)慢車行駛4h時，慢車和快車相遇，兩車行駛的路程之和為900km，所以慢車和快車行駛的速度之和為，所以快車的速度為150km/h（4）根據(jù)題意，快車行駛900km到達(dá)乙地，所以快車行駛到達(dá)乙地，此時兩車之間的距離為，所以點的坐標(biāo)為設(shè)線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式為，把，代入得 解得所以，線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式為自變量的取值范圍是（5）慢車與第一列快車相遇30分鐘后與第二列快車相遇，此時，慢車的行駛時間是4.5h把代入，得此時，慢車與第一列快車之間的距離等于兩列快車之間的距離是112.5km，所以兩列快車出發(fā)的間隔時間是，即第二列快車比第一列快車晚出發(fā)0.75h點評 本例確實是一道難得的函數(shù)圖象探究題,從列意布局,信息讀取,