排列組合基礎(chǔ)知識(shí)及解題技巧

1、排列組合根底知識(shí)及習(xí)題分析在介紹排列組合方法之前 我們先來了解一下根本的運(yùn)算公式！ 543/321 65/21 通過這2個(gè)例子 看出 公式 是種子數(shù)M開場(chǎng)與自身連續(xù)的N個(gè)自然數(shù)的降序乘積做為分子。 以取值N的階層作為分母 543 654321 通過這2個(gè)例子 從M開場(chǎng)與自身連續(xù)N個(gè)自然數(shù)的降序乘積 當(dāng)NM時(shí) 即M的階層 排列、組合的本質(zhì)是研究“從n個(gè)不同的元素中，任取m (mn)個(gè)元素，有序和無序擺放的各種可能性.區(qū)別排列與組合的標(biāo)志是“有序與“無序. 解答排列、組合問題的思維模式有二： 其一是看問題是有序的還是無序的？有序用“排列，無序用“組合； 其二是看問題需要分類還是需要分步？分類用“加

2、法，分步用“乘法. 分 類：“做一件事，完成它可以有n類方法，這是對(duì)完成這件事的所有方法的一個(gè)分類.分類時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè) 標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)展分類；其次，分類時(shí)要注意滿足兩條根本原那么：完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，這是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個(gè)步驟.分步時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定一個(gè)可行的分步標(biāo)準(zhǔn)；其次，步驟的設(shè)置要滿足完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事才算最終完成. 兩 個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)和分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān).如果完成一

3、件事有n類方法，這n類方法彼此之間是相互獨(dú)立的，無論那一類方法中的那一種方法都能單獨(dú)完 成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n個(gè)步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個(gè) 步驟各有假設(shè)干種不同的方法，求完成這件事的方法種類就用乘法原理. 在解決排列與組合的應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 1有限制條件的排列問題常見命題形式： “在與“不在 “鄰與“不鄰 在解決問題時(shí)要掌握根本的解題思想和方法： “相鄰問題在解題時(shí)常用“合并元素法，可把兩個(gè)以上的元素當(dāng)做一個(gè)元素來看，這是處理相鄰最常用的方法. “不鄰問題在解題時(shí)最常用的是“插空排列法. “在

4、與“不在問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. 元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后，利用規(guī)定順序的實(shí)情求出結(jié)果. 2有限制條件的組合問題，常見的命題形式： “含與“不含 “至少與“至多 在解題時(shí)常用的方法有“直接法或“間接法. 3 在處理排列、組合綜合題時(shí)，通過分析條件按元素的性質(zhì)分類，做到不重、不漏，按事件的發(fā)生過程分步，正確地交替使用兩個(gè)原理，這是解決排列、組合問題的最根本的，也是最重要的思想方法. * 提供10道習(xí)題供大家練習(xí) 1、三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個(gè)數(shù)為 C (A)25個(gè) (B)26個(gè) (C)36個(gè) (D)37個(gè)

5、 -【解析】 根據(jù)三角形邊的原理 兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊 可見最大的邊是11 那么兩外兩邊之和不能超過22 因?yàn)楫?dāng)三邊都為11時(shí) 是兩邊之和最大的時(shí)候 因此我們以一條邊的長度開場(chǎng)分析 如果為11，那么另外一個(gè)邊的長度是11，10，9，8，7，6，。1 如果為10 那么另外一個(gè)邊的長度是10，9，8。2， 不能為1 否那么兩者之和會(huì)小于11，不能為11，因?yàn)榈谝环N情況包含了11，10的組合 如果為9 那么另外一個(gè)邊的長度是 9，8，7，。3 理由同上 ，可見規(guī)律出現(xiàn) 規(guī)律出現(xiàn) 總數(shù)是1197。11116236 2、 1將4封信投入3個(gè)郵筒，有多少種不同的投法？ -【解析】 每封信

6、都有3個(gè)選擇。信與信之間是分步關(guān)系。比方說我先放第1封信，有3種可能性。接著再放第2封，也有3種可能性，直到第4封， 所以分步屬于乘法原那么 即333334 23位旅客，到4個(gè)旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？ -【解析】跟上述情況類似 對(duì)于每個(gè)旅客我們都有4種選擇。彼此之間選擇沒有關(guān)系 不夠成分類關(guān)系。屬于分步關(guān)系。如：我們先安排第一個(gè)旅客是4種，再安排第2個(gè)旅客是4種選擇。知道最后一個(gè)旅客也是4種可能。根據(jù)分步原那么屬于乘法關(guān)系 即 44443 38本不同的書，任選3本分給3個(gè)同學(xué)，每人一本，有多少種不同的分法？ -【解析】分步來做 第一步：我們先選出3本書 即多少種可能性 C8取356種

7、 第二步：分配給3個(gè)同學(xué)。 P336種 這 里稍微介紹一下為什么是P33 ，我們來看第一個(gè)同學(xué)可以有3種書選擇，選擇完成后，第2個(gè)同學(xué)就只剩下2種選擇的情況，最后一個(gè)同學(xué)沒有選擇。即321 這是分步選擇符合乘法原那么。最常見的例子就是 1，2，3，4四個(gè)數(shù)字可以組成多少4位數(shù)？ 也是滿足這樣的分步原那么。 用P來計(jì)算是因?yàn)槊總€(gè)步驟之間有約束作用 即下一步的選擇受到上一步的壓縮。 所以該題結(jié)果是566336 3、 七個(gè)同學(xué)排成一橫排照相. 1某甲不站在排頭也不能在排尾的不同排法有多少種？ 3600 -【解析】 這個(gè)題目我們分2步完成 第一步： 先給甲排 應(yīng)該排在中間的5個(gè)位置中的一個(gè) 即C5取1

8、5 第二步： 剩下的6個(gè)人即滿足P原那么 P66720 所以 總數(shù)是72053600 2某乙只能在排頭或排尾的不同排法有多少種？ 1440 -【解析】 第一步：確定乙在哪個(gè)位置 排頭排尾選其一 C2取12 第二步：剩下的6個(gè)人滿足P原那么 P66720 那么總數(shù)是 72021440 3甲不在排頭或排尾，同時(shí)乙不在中間的不同排法有多少種？ 3120 -【解析】特殊情況先安排特殊 第一種情況：甲不在排頭排尾 并且不在中間的情況 去除3個(gè)位置 剩下4個(gè)位置供甲選擇 C4取14， 剩下6個(gè)位置 先安中間位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5開場(chǎng)，剩下的5個(gè)位置滿足P原那么 即5P55512060

9、0 總數(shù)是46002400 第2種情況：甲不在排頭排尾， 甲排在中間位置 那么 剩下的6個(gè)位置滿足P66720 因?yàn)槭欠诸愑懻?。所以最后的結(jié)果是兩種情況之和 即 24007203120 4甲、乙必須相鄰的排法有多少種？ 1440 -【解析】相鄰用捆綁原那么 2人變一人，7個(gè)位置變成6個(gè)位置，即分步討論 第1： 選位置 C6取16 第2： 選出來的2個(gè)位置對(duì)甲乙在排 即P222 那么安排甲乙符合情況的種數(shù)是2612 剩下的5個(gè)人即滿足P55的規(guī)律120 那么 最后結(jié)果是 120121440 5甲必須在乙的左邊不一定相鄰的不同排法有多少種？2520 -【解析】 這個(gè)題目非常好,無論怎么安排甲出現(xiàn)在

10、乙的左邊 和出現(xiàn)在乙的右邊的概率是一樣的。 所以我們不考慮左右問題 那么總數(shù)是P775040 ,根據(jù)左右概率相等的原那么 那么排在左邊的情況種數(shù)是504022520 4、用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù). 1能組成多少個(gè)四位數(shù)？ 300 -【解析】 四位數(shù) 從高位開場(chǎng)到低位 高位特殊 不能排0。 那么只有5種可能性 接下來3個(gè)位置滿足P53原那么54360 即總數(shù)是 605300 2能組成多少個(gè)自然數(shù)？ 1631 -【解析】自然數(shù)是從個(gè)位數(shù)開場(chǎng)所有情況 分情況 1位數(shù)： C6取16 2位數(shù)： C5取2P22C5取1P1125 3位數(shù)： C5取3P33C5取2P222100 4位

11、數(shù)： C5取4P44C5取3P333300 5位數(shù)： C5取5P55C5取4P444600 6位數(shù)： 5P555120600 總數(shù)是1631 這里解釋一下計(jì)算方式 比方說2位數(shù)： C5取2P22C5取1P1125 先從不是0的5個(gè)數(shù)字中取2個(gè)排列 即C5取2P22 還有一種情況是從不是0的5個(gè)數(shù)字中選一個(gè)和0搭配成2位數(shù) 即C5取1P11 因?yàn)?不能作為最高位 所以最高位只有1種可能 3能組成多少個(gè)六位奇數(shù)？ 288 -【解析】高位不能為0 個(gè)位為奇數(shù)1，3，5 那么 先考慮低位，再考慮高位 即 34P441224288 4能組成多少個(gè)能被25整除的四位數(shù)？ 21 -【解析】 能被25整除的4

12、位數(shù)有2種可能 后2位是25： 339 后2位是50： P424312 共計(jì)91221 5能組成多少個(gè)比202145大的數(shù)？ 479 -【解析】 從數(shù)字202145 這個(gè)6位數(shù)看 是最高位為2的最小6位數(shù) 所以我們看最高位大 于等于2的6位數(shù)是多少？4P554120480 去掉 202145這個(gè)數(shù) 即比202145大的有4801479 6求所有組成三位數(shù)的總和. 32640 -【解析】每個(gè)位置都來分析一下 百位上的和：M1=100P52(5+4+3+2+1) 十位上的和：M2=4410(5+4+3+2+1) 個(gè)位上的和：M3=44(5+4+3+2+1) 總和 MM1+M2+M3=32640 5

13、、生產(chǎn)某種產(chǎn)品100件，其中有2件是次品，現(xiàn)在抽取5件進(jìn)展檢查. 1“其中恰有兩件次品的抽法有多少種？ 152096 【解析】 也就是說被抽查的5件中有3件合格的 ，即是從98件合格的取出來的 所以 即C2取2C98取3152096 2“其中恰有一件次品的抽法有多少種？ 7224560 【解析】同上述分析，先從2件次品中挑1個(gè)次品，再從98件合格的產(chǎn)品中挑4個(gè) C2取1C98取47224560 3“其中沒有次品的抽法有多少種？ 67910864 【解析】那么即在98個(gè)合格的中抽取5個(gè) C98取567910864 4“其中至少有一件次品的抽法有多少種？ 7376656 【解析】全部排列 然后去掉

14、沒有次品的排列情況 就是至少有1種的 C100取5C98取57376656 5“其中至多有一件次品的抽法有多少種？ 75135424 【解析】所有的排列情況中去掉有2件次品的情況即是至多一件次品情況的 C100取5C98取375135424 6、從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型和乙型電視機(jī)各1臺(tái)，那么不同的取法共有 (A)140種 (B)84種 (C)70種 (D)35種 -【解析】根據(jù)條件我們可以分2種情況 第一種情況：2臺(tái)甲1臺(tái)乙 即 C4取2C5取16530 第二種情況：1臺(tái)甲2臺(tái)乙 即 C4取1C5取241040 所以總數(shù)是 304070種 7、在50件產(chǎn)品中

15、有4件是次品，從中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有_種. -【解析】至少有3件 那么說明是3件或4件 3件：C4取3C46取24140 4件：C4取4C46取146 共計(jì)是 4140464186 8、有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù), 甲需2人承當(dāng), 乙、丙各需1人承當(dāng).從10人中選派4人承當(dāng)這三項(xiàng)任務(wù), 不同的選法共有 C (A)1260種 (B)2025種 (C)2520種 (D)5040種 【解析】分步完成 第一步：先從10人中挑選4人的方法有：C10取4210 第二步：分配給甲乙并的工作是C4取2C2取1C1取162112種情況 那么根據(jù)分步原那么 乘法關(guān)系 210122520 9、12名同學(xué)分

16、別到三個(gè)不同的路口進(jìn)展車流量的調(diào)查，假設(shè)每個(gè)路口4人，那么不同的分配方案共有_種C(4,12)C(4,8)C(4,4) 【解析】每個(gè)路口都按次序考慮 第一個(gè)路口是C12取4 第二個(gè)路口是C8取4 第三個(gè)路口是C4取4 那么結(jié)果是C12取4C8取4C4取4 可能到了這里有人會(huì)說 三條不同的路不是需要P33嗎 其實(shí)不是這樣的 在我們從12人中任意抽取人數(shù)的時(shí)候，其實(shí)將這些分類情況已經(jīng)包含了對(duì)不同路的情況的包含。 如果再P33 那么是重復(fù)考慮了 如果這里不考慮路口的不同 即都是一樣路口 那么情況又不一樣 因?yàn)槲覀冊(cè)诜峙淙藬?shù)的時(shí)候考慮了路口的不同。所以最后要去除這種可能情況 所以在上述結(jié)果的情況下要P

17、33 10、在一張節(jié)目表中原有8個(gè)節(jié)目，假設(shè)保持原有節(jié)目的相對(duì)順序不變，再增加三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法？ 990 【解析】這是排列組合的一種方法 叫做2次插空法 直接解答較為麻煩，故可先用一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有P(9,1)種方法；再用另一個(gè)節(jié)目去插10個(gè)空位，有P(10,1)種方法；用最后一個(gè)節(jié)目去插11個(gè)空位，有P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為P(9,1)P(10,1)P(11,1)=990種。 另解：先在11個(gè)位置中排上新添的三個(gè)節(jié)目有P(11,3)種，再在余下的8個(gè)位置補(bǔ)上原有的8個(gè)節(jié)目，只有一解，所以所有方法有P3111=990種。 解決排列組合問題的策略

18、1、逆向思維法：我們知道排列組合都是對(duì)一個(gè)元素集合進(jìn)展篩選排序。我們可以把這個(gè)集合看成數(shù)學(xué)上的單位1，那么1ab 就是我們構(gòu)建逆向思維的數(shù)學(xué)模型了， 當(dāng)a不利于我們運(yùn)算求解的時(shí)候，我們不妨從b的角度出發(fā)思考，這樣同樣可以求出a1b。例題：7個(gè)人排座，甲坐在乙的左邊不一定相鄰的情況有多少種？例題：一個(gè)正方體有8個(gè)頂點(diǎn) 我們?nèi)我膺x出4個(gè)，有多少種情況是這4個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成四面體的。例題：用0，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有 A24個(gè) B30個(gè) C40個(gè) D60個(gè)2、解含有特殊元素、特殊位置的題采用特殊優(yōu)先安排的策略：1無關(guān)型：兩個(gè)特殊位置上分別可取的元素所組成的集合的

19、交是空集例題：用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被10整除且數(shù)字不同的六位數(shù)?2包含型：兩個(gè)特殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包合關(guān)系 例題：用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被5整除且數(shù)字不同的六位奇數(shù)?P55P441202496 用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被25整除且數(shù)字不同的六位數(shù)?25，75 33212P443624603影響型：兩個(gè)特殊位置上可取的元素既有一樣的，又有不同的。例題：用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大并且百位數(shù)字不是3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個(gè)?3、解含有約束條件的排列組合問題一采用合理分類與準(zhǔn)確分步的策

20、略例題：平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，那么它們構(gòu)成的矩形共有_個(gè)。簡析：按構(gòu)成矩形的過程可分為如下兩步：第一步先在4條平行線中任取兩條，有C4取2種取法；第二步再在5條平行線中任取兩條，有C5取2種取法。這樣取出的四條直線構(gòu)成一個(gè)矩形，據(jù)乘法原理，構(gòu)成的矩形共有610=60個(gè)4、解排列組臺(tái)混合問題采用先選后排策略對(duì)于排列與組合的混合問題，可采取先選出元素，后進(jìn)展排列的策略。 例：4個(gè)不同小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子，那么恰有一個(gè)空盒的放法有_種。1445、插板法插板法的條件構(gòu)成： 1元素一樣，2分組不同，3必須至少分得1個(gè)插板法的類型：1、10塊奶糖分給4個(gè)小朋友，每

21、個(gè)小朋友至少1塊，那么有多少種分法？典型插板法 點(diǎn)評(píng)略2、10塊奶糖分給4個(gè)小朋友有多少種方法？湊數(shù)插板法： 這個(gè)題目對(duì)照插板法的3個(gè)條件我們發(fā)現(xiàn) 至少滿足1個(gè)這個(gè)條件沒有， 所以我們必須使其滿足，最好的方法 就是用14塊奶糖來分，至少每人1塊 ，當(dāng)每個(gè)人都分得1塊之后，剩下的10塊就可以隨便分了，就回歸到了原題3、10塊奶糖放到編號(hào)為1，2，3的3個(gè)盒子里，每個(gè)盒子的糖數(shù)量不少于其編號(hào)數(shù)，那么有幾種方法？定制插板法： 已然是最后一個(gè)條件不滿足，我們?cè)撛趺刺幚砟?，?yīng)該學(xué)會(huì)先去安排 使得每個(gè)盒子都差1個(gè)，這樣就保證每個(gè)盒子必須分得1個(gè)，從這個(gè)思路出發(fā)，跟第二個(gè)例題是姊妹題 思路是一樣的 對(duì)照條件

22、 想方法使其和條件吻合！4、8塊奶糖和另外3個(gè)不同品牌的水果糖要放到編號(hào)為111的盒子里面，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，有多少種方法？屢次插空法 這里不多講，見我排列組合根底講義6、遞歸法枚舉法 公考也有這樣的類型， 排錯(cuò)信封問題，還有一些郵票問題歸納法：例如：5封信一一對(duì)應(yīng)5個(gè)信封，其中有3個(gè)封信裝錯(cuò)信封的情況有多少種？枚舉法：例如：10張一樣的郵票 分別裝到4個(gè)一樣的信封里面，每個(gè)信封至少1張郵票，有多少種方法？枚舉：1，1，1，71，1，2，61，1，3，51，1，4，41，2，2，51，2，3，41，3，3，32，2，2，42，2，3，3 9種方法！疑難問題1、如何驗(yàn)證重復(fù)問題2、關(guān)于位置與元

23、素的一樣問題，例如： 6個(gè)人平均分配給3個(gè)不同的班級(jí)，跟 6個(gè)學(xué)生平分成3組的區(qū)別3、關(guān)于排列組合里面，充分運(yùn)用對(duì)稱原理。例題： 1，2，3，4，5 五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)十位數(shù)小于個(gè)位數(shù)的四位數(shù)？例題：7個(gè)人排成一排，其中甲在乙右邊可以不相鄰的情況有多少種？注解：分析2種對(duì)立情況的概率，即可很容易求解。 當(dāng)對(duì)立情況的概率相等，即對(duì)稱原理。4、環(huán)形排列和線性排列問題。見我的根底排列組合講義二習(xí)題講解例如：3個(gè)女生和4個(gè)男生圍坐在一個(gè)圓桌旁。 問有多少種方法？例如：3對(duì)夫婦圍坐在圓桌旁，男女間隔的坐法有多少種？注解：排列組合中，特殊的地方在于，第一個(gè)坐下來的人是作為參照物，所以不納入排列的范疇，

24、我們知道，環(huán)形排列中 每個(gè)位置都是相對(duì)的位置，沒有絕對(duì)位置，所以需要有一個(gè)人坐下來作為參照位置。5、幾何問題：見下面局部的內(nèi)容。例析立體幾何中的排列組合問題在數(shù)學(xué)中，排列、組合無論從內(nèi)容上還是從思想方法上，都表達(dá)了實(shí)際應(yīng)用的觀點(diǎn)。1 點(diǎn)11 共面的點(diǎn)例題： 四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有 A30種 B33種 C36種 D39種 答案：B點(diǎn)評(píng)：此題主要考察組合的知識(shí)和空間相像能力；屬難度中等的選擇題，失誤的主要原因是沒有把每條棱上的3點(diǎn)與它對(duì)棱上的中點(diǎn)共面的情況計(jì)算在內(nèi)。12 不共面的點(diǎn)例2： 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中

25、取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有 A150種 B147種 C144種 D141種解析：從10 個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C10，4210 種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類：第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有C6，215種；第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形，它的4個(gè)頂點(diǎn)共面，有3種。以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同取法共有21041563141 種。答案：D。點(diǎn)評(píng)：此題難度很大，對(duì)空間想像能力要求高，很好的考察了立體幾何中點(diǎn)共面的幾種情況；排列、組合中正難那么反易的解題技巧及分類討論的數(shù)學(xué)思想。幾何型排列組合問題的求解策略有關(guān)幾

26、何型組合題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，它的求解不僅要具備排列組合的有關(guān)知識(shí)，而且還要掌握相關(guān)的幾何知識(shí).這類題目新穎、靈活、能力要求高，因此要求掌握四種常用求解策略.一 分步求解例1 圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)n1，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為_解：此題所求的三角形，即為圓的內(nèi)接直角三角形，由平面幾何知識(shí)，應(yīng)分兩步進(jìn)展：先從2n個(gè)點(diǎn)中構(gòu)成直徑即斜邊共有n種取法；再從余下的(2n2)個(gè)點(diǎn)中取一點(diǎn)作為直角頂點(diǎn)，有(2n2)種不同取法故總共有n(2n2)2n(n1)個(gè)直角三角形故填2n(n1)例2： 從集合0、1、2、3、5、7、11中任取3個(gè)元素分別作為直線方程AxByC0中的A、B、C，所得的經(jīng)過

27、坐標(biāo)原點(diǎn)原直線共有_條結(jié)果用數(shù)值來表示.解：因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，所以C0. 從1、2、3、5、7、11這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)作為A、B， 兩數(shù)的順序不同，表示的直線也不同，所以直線的條數(shù)為 P6，230二 分類求解例3 四邊體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與各棱的中點(diǎn)中取3點(diǎn)，使它們和A在同一平面上，不同取法有 (A)30種 (B)33種 (C)36種 (D)39種 解：符合條件的取法可分三類： 4個(gè)點(diǎn)含A在同一側(cè)面上，有3 30種；4個(gè)點(diǎn)含A在側(cè)棱與對(duì)棱中點(diǎn)的截面上，有3種；由加法原理知不同取法有33種，應(yīng)選B.三 排除法求解例4 從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有 (A) 8種

28、 (B) 12種 (C) 16種 (D) 20種解：由六個(gè)任取3個(gè)面共有 C6，320種，排除掉3個(gè)面都相鄰的種數(shù)，即8個(gè)角上3個(gè)平面相鄰的特殊情形共8種，故符合條件共有 20812種，應(yīng)選(B)例5 正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有 個(gè)？解：從7個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，共有C7，335 個(gè)，排除掉不能構(gòu)成三角形的情形3點(diǎn)在同一直線上有3個(gè)，故符合條件的三角形共有 35332個(gè) 四 轉(zhuǎn)化法求解 例6 空間六個(gè)點(diǎn)，它們?nèi)魏稳c(diǎn)不共線，任何四點(diǎn)不共面，那么過每兩點(diǎn)的直線中有多少對(duì)異面直線？ 解：考慮到每一個(gè)三棱錐對(duì)應(yīng)著3 對(duì)異面直線，問題就轉(zhuǎn)化為能構(gòu)成多少個(gè)三棱錐. 由于這六

29、個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成C6，415 個(gè)三棱錐，故共有315 45對(duì)異面直線.例7 一個(gè)圓的圓周上有10個(gè)點(diǎn)，每兩個(gè)點(diǎn)連接一條弦，求這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有幾個(gè)？ 解：考慮到每個(gè)凸四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)一個(gè)交點(diǎn)，那么問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)成凸四邊形的個(gè)數(shù)顯然可構(gòu)成 C10，4210個(gè)圓內(nèi)接四邊形，故10個(gè)點(diǎn)連成的點(diǎn)最多能在圓中交點(diǎn)210個(gè).6、染色問題：不涉及環(huán)形染色 可以采用特殊區(qū)域優(yōu)先處理的方法來分步解決。環(huán)形染色可采用如下公式解決：Ana1n+(a-1)(-1)n n表示被劃分的個(gè)數(shù)，a表示顏色種類原那么：被染色局部編號(hào)，并按編號(hào)順序進(jìn)展染色，根據(jù)情況分類在所有被染色的區(qū)域，區(qū)分特殊和一般，特殊區(qū)域優(yōu)先處

30、理例題1：將3種作物種植在如圖4所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物。那么有多少種種植方法？圖1例題2：用5種不同顏色為圖中ABCDE五個(gè)局部染色，相鄰局部不能同色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可以不使用，那么符合要求的不同染色方法有多少種？圖2例題3：將一個(gè)四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)染色，使同一條棱的2個(gè)端點(diǎn)不同色，且只由五個(gè)顏色可以使用，有多少種染色方法？圖3例題4：一個(gè)地區(qū)分為如圖4所示的五個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)在有4種顏色可供選擇，給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不同色，那么那么有多少種染色方法？圖4例題5：某城市中心廣場(chǎng)建造了一個(gè)花圃，分6個(gè)局部如圖5 現(xiàn)在要栽種4種不同的顏色

31、的花，每局部栽種一種且相鄰局部不能種同樣顏色的花，那么有多少種不同栽種方式？圖5：1. 排列組合題系列之二一 1, 2, 3, 4作成數(shù)字不同的三位數(shù)，試求其總和？但數(shù)字不重復(fù)。 解析 組成3位數(shù) 我們以其中一個(gè)位置(百位,十位,個(gè)位)為研究對(duì)象就會(huì)發(fā)現(xiàn) 當(dāng)某個(gè)位置固定 比方是1,那么其他的2個(gè)位置上有多少種組合? 這個(gè)大家都知道 是剩下的3個(gè)數(shù)字的全排列 P32我們研究的位置上每個(gè)數(shù)字都會(huì)出現(xiàn)P32次 所以每個(gè)位置上的數(shù)字之和就可以求出來了 個(gè)位是:P32*(1+2+3+4)=60 十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600 百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000 所以總

32、和是6660 二 將“PROBABILITY 11個(gè)字母排成一列，排列數(shù)有_種，假設(shè)保持P, R, O次序，那么排列數(shù)有_種。 解析 這個(gè)題目就是直線全排列出現(xiàn)一樣元素的問題:在我的另外一個(gè)帖子里面有介紹: (1)我們首先把一樣元素找出來,B有2個(gè), I 有2個(gè) 我們先看作都是不同的11個(gè)元素全排列 這樣就簡單的多是P11,11 然后把一樣的元素能夠形成的排列剔除即可 P11/(P2,2*P2,2)=9979200。 (2)第2個(gè)小問題 因要保持PRO的順序，就將PRO視為一樣元素跟B，I類似的性質(zhì)，那么其排列數(shù)有11！/2！2！3！= 166320種。 三 李先生與其太太有一天邀請(qǐng)鄰家四對(duì)夫

33、婦共10人圍坐一圓桌聊天，試求以下各情形之排列數(shù)： 1男女間隔而坐。 2主人夫婦相對(duì)而坐。 3每對(duì)夫婦相對(duì)而坐。 4男女間隔且夫婦相鄰。 5夫婦相鄰。 6男的坐在一起，女的坐在一起。 解析 (1) 這個(gè)問題也在l介紹過 先簡單介紹一下環(huán)形排列的特征,環(huán)形排列相對(duì)于直線排列缺少的就是參照物.第一個(gè)坐下來的人是沒有參照物的,所以無論做哪個(gè)位置都是一樣的. 所以從這里我們就可以看出 環(huán)形排列的特征是 第一個(gè)人是做參照物,不參與排列. 下面就來解答6個(gè)小問題: (1)先讓5個(gè)男的或5個(gè)女的先坐下來 全排列應(yīng)該是 P44, 空出來的位置他們的妻子(丈夫), 妻子(丈夫)的全排列這個(gè)時(shí)候有了參照物所以排列

34、是P55 答案就是 P44*P55=2880種 (2)先讓主人夫婦找一組相對(duì)座位入座 其排列就是P11(記住不是P22 ),這個(gè)時(shí)候其他8個(gè)人再入座,就是P88,所以此題答案是 P88 (3)每對(duì)夫婦相對(duì)而坐,就是捆綁的問題.5組相對(duì)位置有一組位置是作為參照位置給第一個(gè)入座的夫婦的,剩下的4組位置就是P44, 考慮到剩下來的4組位置夫婦可以互換位置即 P44*24=384 (4)夫婦相鄰,且間隔而坐. 我們先將每對(duì)夫婦捆綁 那么就是5個(gè)元素做環(huán)形全排列 即P44 這里在從性別上區(qū)分 男女看作2個(gè)元素 可以互換位置 即答案是P44*2=48種(值得注意的是,這里不是*24 因?yàn)橐Q位置,必須5

35、對(duì)夫婦都得換 要不然就不能保持男女間隔) (5) 夫婦相鄰 這個(gè)問題顯然比第4個(gè)問題簡單多了,即看作捆綁 答案就是P44 但是這里卻是每對(duì)夫婦呼喚位置都可以算一種方法的. 即 最后答案是P44*25 (6)先從大方向上確定男女分開座,那么我們可以通過性別確定為2個(gè)元素做環(huán)形全排列.即P1,1 , 剩下的5個(gè)男生和5個(gè)女生單獨(dú)做直線全排列 所以答案是P1,1 *P55*P55 四在一張節(jié)目表中原有8個(gè)節(jié)目，假設(shè)保持原有節(jié)目的相對(duì)順序不變，再增加三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法？ 解析 這個(gè)題目相信大家都見過 就是我們這次2021年國家公務(wù)員考試的一道題目: 這是排列組合的一種方法 叫做2次插空法或

36、屢次插空法 直接解答較為麻煩，我們知道8個(gè)節(jié)目相對(duì)位置不動(dòng),前后共計(jì)9個(gè)間隔,故可先用一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有C9取1種方法；這樣9個(gè)節(jié)目就變成了10個(gè)間隔,再用另一個(gè)節(jié)目去插10個(gè)空位，有C10取1種方法；同理用最后一個(gè)節(jié)目去插10個(gè)節(jié)目形成的11個(gè)間隔中的一個(gè)，有C11取1方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為9*10*11=990種。 方法2: 我們先安排11個(gè)位置,把8個(gè)節(jié)目按照相對(duì)順序放進(jìn)去,在放另外3個(gè)節(jié)目,11個(gè)位置選3個(gè)出來進(jìn)展全排列 那就是P11,3=11*10*9=990 五 0，1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)被25整除的四位數(shù)？ 解析 這里考察了一個(gè)常識(shí)性的問題

37、 即 什么樣數(shù)才能被25整除 即這個(gè)數(shù)的后2位必須是25或者50，或者75或者00 方可. 后兩位是25的情況有:千位只有3個(gè)數(shù)字可選(0不能) 百位也是3個(gè)可選 即3*3=9種 后兩位是50的情況有:剩下的4個(gè)數(shù)字進(jìn)展選2位排列 P4,2=12種 75不可能，因?yàn)閿?shù)字中沒有7 00也不可能，因?yàn)閿?shù)字不能重復(fù)共計(jì) 9+12=21種2. “插板法的條件模式隱藏運(yùn)用分析在說這2 道關(guān)于“插板法的排列組合題目之前，我們需要弄懂一個(gè)問題：插板法排列組合是需要什么條件下才可以使用？這個(gè)問題清楚了，我們?cè)谝院蟮拇痤}中 就可以盡量的變化題目使其滿足這個(gè)條件。這個(gè)條件就是： 分組或者分班等等 至少分得一個(gè)元素

38、。 注意條件是 至少分得1個(gè)元素！好我們先來看題目，例題1：某學(xué)校四、五、六三個(gè)年級(jí)組織了一場(chǎng)文藝演出，共演出18個(gè)節(jié)目，如果每個(gè)年級(jí)至少演出4個(gè)節(jié)目，那么這三個(gè)年級(jí)演出節(jié)目數(shù)的所有不同情況共有幾種？【解析】這個(gè)題目是Q友出的題目，題目中是不考慮節(jié)目的不同性 你可以視為18個(gè)一樣的節(jié)目 不區(qū)分！發(fā)現(xiàn)3個(gè)年級(jí)都是需要至少4個(gè)節(jié)目以上！ 跟插板法的條件有出入， 插板法的條件是至少1個(gè)，這個(gè)時(shí)候比照一下，我們就有了這樣的思路 ，為什么我們不把18個(gè)節(jié)目中分別給這3個(gè)年級(jí)各分配3個(gè)節(jié)目。這樣這3個(gè)班級(jí)就都少1個(gè)，從而滿足至少1個(gè)的情況了339 還剩下1899個(gè)剩下的9個(gè)節(jié)目就可以按照插板法來解答。 9個(gè)節(jié)目排成一排共計(jì)8個(gè)間隔。分別選取其中任意2個(gè)間隔就可以分成3份班級(jí)！C8取228練習(xí)題目：有10個(gè)一樣的小