第2章 2.2 2.2.2 雙曲線的幾何性質(zhì)_第1頁
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文檔簡介

1、.2.2.2雙曲線的幾何性質(zhì)學習目的:1.理解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)范圍、對稱性、頂點、實軸長和虛軸長等.2.理解離心率的定義、取值范圍和漸近線方程重點3.能用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決一些簡單問題難點自 主 預 習·探 新 知1雙曲線的幾何性質(zhì)標準方程1a0,b01a0,b0性質(zhì)圖形焦點c,0,c,00,c,0,c焦距2c范圍xa或xa,yRya或ya,xR對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點頂點A1a,0,A2a,0A10,a,A20,a軸實軸:線段A1A2,長:2a;虛軸:線段B1B2,長:2b;半實軸長:a,半虛軸長:b離心率e1,漸近線y±xy±x考慮1:能

2、否用a,b表示雙曲線的離心率?提示e考慮2:離心率對雙曲線開口大小有影響嗎?滿足什么對應(yīng)關(guān)系?提示有影響,因為e,故當?shù)闹翟酱?,漸近線yx的斜率越大,雙曲線的開口越大,e也越大,所以e反映了雙曲線開口的大小,即雙曲線的離心率越大,它的開口就越大2等軸雙曲線實軸和虛軸相等的雙曲線叫等軸雙曲線,它的漸近線是y±x,離心率e.根底自測1考慮辨析1雙曲線方程m>0,n>0,0的漸近線方程是0,即±0.2等軸雙曲線的漸近線互相垂直,離心率等于.3假設(shè)雙曲線1a>0,b>0與1a0,b>0的離心率分別是e1,e2,那么1此結(jié)論中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線.

3、提示1232以下雙曲線中,漸近線方程為y±2x的是Ax21By21Cx21 Dy21A由雙曲線漸近線方程的求法知:雙曲線x21的漸近線方程為y±2x,應(yīng)選A.3雙曲線C:1的離心率e,且其右焦點為F25,0,那么雙曲線C的方程為【導學號:73122139】A.1 B.1C.1 D.1Ce,F(xiàn)25,0,c5,a4,b2c2a29,雙曲線C的標準方程為1.4雙曲線的漸近線方程是y±4x,那么其離心率為_或假設(shè)雙曲線焦點在x軸上,依題意得,4,16,即16,e217,e.假設(shè)雙曲線焦點在y軸上,依題意得,4.,即.e2,故e,即雙曲線的離心率是或.合 作 探 究

4、3;攻 重 難雙曲線的標準方程求其簡單幾何性質(zhì)求雙曲線nx2my2mnm>0,n>0的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程. 【導學號:73122140】解把方程nx2my2mnm0,n>0化為標準方程為1m0,n>0,由此可知,實半軸長a,虛半軸長b,c,焦點坐標為,0,0,離心率e,頂點坐標為,0,0,所以漸近線方程為y±x,即y±x.規(guī)律方法由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟1把雙曲線方程化為標準形式是解決此題的關(guān)鍵.2由標準方程確定焦點位置,確定a,b的值.3由c2a2b2求出c的值,從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).跟蹤訓練

5、1求雙曲線9y24x236的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程解雙曲線的方程化為標準形式是1,a29,b24,a3,b2,c.又雙曲線的焦點在x軸上,頂點坐標為3,0,3,0,焦點坐標為,0,0,實軸長2a6,虛軸長2b4,離心率e,漸近線方程為y±x.由雙曲線的幾何性質(zhì)確定標準方程求合適以下條件的雙曲線標準方程1虛軸長為12,離心率為;2頂點間間隔 為6,漸近線方程為y±x;3求與雙曲線x22y22有公共漸近線,且過點M2,2的雙曲線方程. 【導學號:73122141】思路探究解1設(shè)雙曲線的標準方程為1或1a0,b0由題知2b12,且c2a2b2,b6

6、,c10,a8,標準方程為1或1.2法一:當焦點在x軸上時,由且a3,b.所求雙曲線方程為1.當焦點在y軸上時,由且a3,b2.所求雙曲線方程為1.法二:設(shè)以y±x為漸近線的雙曲線方程為0,當>0時,a24,2a26,當<0時,a29,2a261.雙曲線的方程為1和1.3設(shè)與雙曲線y21有公共漸近線的雙曲線方程為y2k,將點2,2代入得k222,雙曲線的標準方程為1.規(guī)律方法1根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程,一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程組,但要注意焦點的位置,從而正確選擇方程的形式.2巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧焦點在x軸上的雙曲線的標準方程可設(shè)為1a>0,

7、b>0.焦點在y軸上的雙曲線的標準方程可設(shè)為1a>0,b>0.與雙曲線1共焦點的雙曲線方程可設(shè)為10,b2a2,與雙曲線1具有一樣漸近線的雙曲線方程可設(shè)為0.漸近線為ykx的雙曲線方程可設(shè)為k2x2y2(0).漸近線為ax±by0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2b2y2(0).提醒:利用待定系數(shù)法求雙曲線標準方程的關(guān)鍵是:設(shè)出雙曲線方程的標準形式,根據(jù)條件,列出關(guān)于參數(shù)a,b,c的方程并求出a,b,c的值.跟蹤訓練2求合適以下條件的雙曲線的標準方程:1一個焦點為0,13,且離心率為;2漸近線方程為y±x,且經(jīng)過點A2,3解1依題意可知,雙曲線的焦點在y軸上,且c

8、13,又,a5,b2c2a2144,故其標準方程為1.2雙曲線的漸近線方程為y±x,假設(shè)焦點在x軸上,設(shè)所求雙曲線的標準方程為1a0,b0,那么. A2,3在雙曲線上,1. 由聯(lián)立,無解假設(shè)焦點在y軸上,設(shè)所求雙曲線的標準方程為1a>0,b>0,那么. A2,3在雙曲線上,1. 由聯(lián)立,解得a28,b232.所求雙曲線的標準方程為1.直線與雙曲線的位置關(guān)系雙曲線x2y24,直線l:ykx1,試討論滿足以下條件的實數(shù)k的取值范圍1直線l與雙曲線有兩個公共點;2直線l與雙曲線有且只有一個公共點;3直線l與雙曲線沒有公共點【導學號:73122142】解由得1k2x22kx50.

9、 1直線與雙曲線有兩個公共點,那么式方程有兩個不相等的根解得.2直線與雙曲線只有一個公共點,那么式方程只有一解當1k20,即k±1時,式方程只有一解;當1k20時,應(yīng)滿足4k2201k20,解得k±,故k的值為±1或±.3直線與雙曲線沒有公共點,那么式方程無解解得k>或k<,那么k的取值范圍為.規(guī)律方法研究直線與雙曲線的位置關(guān)系,一般通過解直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個數(shù)進展判斷代入得b2a2k2x22a2mkxa2m2a2b20.當b2a2k20,即k±時,直線與雙曲線漸近線平行時,直線與雙曲線交于一點當b2a2k20

10、,即k±時,2a2mk24b2a2k2a2m2a2b2>0直線與雙曲線有兩個交點,稱直線與雙曲線相交;0直線與雙曲線有一個交點,稱直線與雙曲線相切;<0直線與雙曲線沒有交點,稱直線與雙曲線相離通過幾何圖形也可斷定直線與雙曲線的位置關(guān)系,一般通過直線與漸近線的位置關(guān)系進展判斷圖中為漸近線傾斜角,為直線l傾斜角如圖,時,直線l只與雙曲線一支相交,交點只有一個;如圖,>時,直線l只與雙曲線一支相交,交點有兩個;如圖,<時,直線l與雙曲線兩支都相交,交點有兩個跟蹤訓練31設(shè)雙曲線C:y21a>0與直線l:xy1相交于A,B兩個不同的點求雙曲線的離心率e的取值范圍

11、;設(shè)直線l與y軸的交點為P,且,求a的值2過點P1,1的直線l與雙曲線x21只有一個公共點,試探究直線l的斜率k的取值解1由得1a2x22a2x2a20,*由題意得得0a且a1.又雙曲線的離心率e,e且e.設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,易知P0,1,x1,y11x2,y21,故x1x2.又x1,x2是方程*的兩個根,x2,x.又a0,a.2設(shè)直線l的斜率為k,那么l:ykx11,代入雙曲線方程得 4k2x22k2k2xk22k50.假設(shè)4k20,即k±2,此時直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線只有一個公共點;假設(shè)4k20,那么2k2k2244k2k22k50,解得k.綜上可得,直

12、線l的斜率k的取值為或±2.與雙曲線有關(guān)的綜合問題探究問題1直線與雙曲線的弦長問題,應(yīng)如何解答?提示設(shè)直線與雙曲線相交所得弦AB端點的坐標分別為Ax1,y1,Bx2,y2,直線AB的斜率為k,那么|AB|x1x2|·.涉及弦長的問題,常常設(shè)而不求2直線與雙曲線相交,直線斜率與弦中點有何關(guān)系?提示設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2是雙曲線1a0,b0上不同的兩點,且x1x2,x1x20,Mx0,y0為線段AB的中點,那么兩式相減可得·,即kAB·.斜率為2的直線l在雙曲線1上截得的弦長為,求l的方程. 【導學號:73122143】思路探究設(shè)出直線方程,與雙曲線聯(lián)

13、立消元后利用弦長公式求解解設(shè)直線l的方程為y2xb與1聯(lián)立消y得10x212bx3b260設(shè)直線l與雙曲線0的交點為Ax1,y1,Bx2,y2由根與系數(shù)的關(guān)系得|AB|·解得b±.直線l的方程為y2x±.母題探究:1.變換條件求斜率為2的直線l與雙曲線1相交時,其弦中點的軌跡方程解設(shè)直線l與雙曲線的交點為Ax1,y1,Bx2,y2,AB的中點為Px0,y0,那么x0,y0,那么兩式相減得·.即.所以弦中點的軌跡方程為x3y0.2變換條件假設(shè)直線l與本例中的雙曲線相交,求以點P3,1為中點的直線l的方程解設(shè)直線l與雙曲線交點為Ax1,y1,Bx2,y2,那

14、么x1x26,y1y22,由兩式相減得·,直線l的斜率k2,直線l的方程為y12x3,即2xy50.規(guī)律方法1求弦長的兩種方法間隔 公式法:當弦的兩端點坐標易求時,可直接求出交點坐標,再利用兩點間間隔 公式求弦長.弦長公式法:當弦的兩端點坐標不易求時,可利用弦長公式求解,即假設(shè)直線l:ykxbk0與雙曲線C:1a>0,b>0交于Ax1,y1,Bx2,y2兩點,那么|AB|x1x2|y1y2|.2中點弦問題,與弦中點有關(guān)的問題主要用點差法,根與系數(shù)的關(guān)系解決.另外,要注意靈敏轉(zhuǎn)化,如垂直、相等等問題也可以轉(zhuǎn)化成中點、弦長等問題解決.提醒:假設(shè)直線方程涉及斜率,要注意討論斜率

15、不存在的情況.當 堂 達 標·固 雙 基1假設(shè)0<k<a,那么雙曲線1與1有A一樣的實軸B一樣的虛軸C一樣的焦點 D一樣的漸近線C0ka,a2k20.c2a2k2b2k2a2b2.2雙曲線1b>0的左右焦點分別為F1、F2,其一條漸近線方程為yx,點P,y0在該雙曲線上,那么· 【導學號:73122144】A12 B2C0 D4C 由題意得b22,F(xiàn)12,0,F(xiàn)22,0,又點P,y0在雙曲線上,y1,·2,y0·2,y01y0,應(yīng)選C.3雙曲線虛軸的一個端點為M,兩個焦點為F1、F2,F(xiàn)1MF2120°,那么雙曲線的離心率為A. B.C. D.B設(shè)雙曲線方程為1a0,b0MF1F2為等腰三角形,F(xiàn)1MF2120°,MF1F230°,tan 30°,1,e.4與雙曲線x21有共同的漸近線,且過點2,2的雙曲線的標準方程是_. 【導學號:73122145】1依題意設(shè)雙曲線的方程為x20,將點2,2代入求得3,所以所求雙曲線的標準方程為1.5過雙曲線1a>0,b>0的

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