三角形的證明題

1、三角形的證明題第一頁(yè)，共25頁(yè)。2 21 1在在ABCABC中中,AB=AC,ADBC,AB=AC,ADBC于于D,D,延長(zhǎng)延長(zhǎng)CACA到到F,F,使使AF=AE,AF=AE,請(qǐng)你猜想直線請(qǐng)你猜想直線EFEF與與BCBC有怎樣有怎樣的位置關(guān)系的位置關(guān)系? ?并說明理由并說明理由. .F FA AC CD DB BE E解解:EFBC:EFBC在在ABCABC中中AB=AC,ADBCAB=AC,ADBC1=2(1=2(三線合一三線合一) )在在AEFAEF中中AF=AEAEF=F( )AF=AEAEF=F( )1+2=AEF+F( )1+2=AEF+F( )21=2F21=2F1=FADEF(

2、)1=FADEF( )ADBC EFBC( )ADBC EFBC( )還可以怎么換還可以怎么換第二頁(yè)，共25頁(yè)。變式變式: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AB=AC,F,AB=AC,F在在CACA的延長(zhǎng)線上的延長(zhǎng)線上, ,AEF=FAEF=F. .請(qǐng)你請(qǐng)你猜想直線猜想直線EFEF與與BCBC有怎樣的位置有怎樣的位置關(guān)系關(guān)系? ?并說明理由并說明理由. .F FA AC CD DB BE E解解:EFBC:EFBC又又AB=ACAB=AC1=2(1=2(三線合一三線合一) )且且AEF=FAEF=F1+2=AEF+F( )1+2=AEF+F( )21=2F21=2F1=FADEF( )1

3、=FADEF( )ADBC EFBC( )ADBC EFBC( )過點(diǎn)過點(diǎn)A A作作ADBCADBC于于D D2 21 1還可以怎么換還可以怎么換第三頁(yè)，共25頁(yè)。 注意注意：三角形的高可能在三角形的內(nèi)三角形的高可能在三角形的內(nèi)部或外部，畫圖時(shí)要考慮全面部或外部，畫圖時(shí)要考慮全面ABC的的高高為為AD，BAD=70，CAD=20，求，求BAC的度數(shù)的度數(shù)BACBAC為為9090或或5050 CBADCBAD第四頁(yè)，共25頁(yè)。 等腰三角形腰上的等腰三角形腰上的高高和另一腰的夾角和另一腰的夾角為為2525，則底角為，則底角為 . .ABCDB BD D= =a,a,A AB B= =2 2a, a

4、, B BD D= = A AB BBAC =ADBBAC =ADB +ABDABD =90 =90+25+25=115=115AB=AC, ABC=CAB=AC, ABC=CCABD57.5或或32.55 .3221151802180BAC注意：三角形的高可能在三角形的內(nèi)部或注意：三角形的高可能在三角形的內(nèi)部或外部，畫圖時(shí)要考慮全面外部，畫圖時(shí)要考慮全面第五頁(yè)，共25頁(yè)。 等腰三角形底邊長(zhǎng)為等腰三角形底邊長(zhǎng)為5 5，一腰上的中線把，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分成兩部分，其周長(zhǎng)分成兩部分，這兩部分周長(zhǎng)的差為這兩部分周長(zhǎng)的差為4 4，則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為 . .4)2(52xx

5、xCABD解：設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為解：設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為x,x,依題意得依題意得94)52(2xxxx解得1x解得不能為腰長(zhǎng)1511x9599腰長(zhǎng)可以為9 9第六頁(yè)，共25頁(yè)。 等腰三角形底邊長(zhǎng)為等腰三角形底邊長(zhǎng)為10cm10cm，一腰上的中線把，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分成兩部分，這兩部分周長(zhǎng)的差為其周長(zhǎng)分成兩部分，這兩部分周長(zhǎng)的差為4cm4cm，則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為 . . 等腰三角形的周長(zhǎng)為等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm20cm，則腰長(zhǎng)，則腰長(zhǎng)x x的取值范的取值范圍為圍為 . .14cm或或6cm等腰三角形應(yīng)滿足等腰三角形應(yīng)滿足腰腰00底底002 2腰腰 底底x0 x

6、020-2x020-2x02x20-2x2x20-2x解得解得5x105x105cmx10cm5cmx10cm第七頁(yè)，共25頁(yè)。名校名校3838頁(yè)頁(yè)1414題題在三角形紙片在三角形紙片ABCABC中中,C=90,C=90,A=30,A=30, ,AC=3AC=3, ,折疊紙片折疊紙片, ,使點(diǎn)使點(diǎn)A A與點(diǎn)與點(diǎn)B B重合重合, ,折痕與折痕與AB,ACAB,AC分別交分別交于點(diǎn)于點(diǎn)D D與點(diǎn)與點(diǎn)E,E,折痕折痕DEDE的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 . .B BC CD DA AE Ex x2x2xx x方程思想方程思想第八頁(yè)，共25頁(yè)。名校名校3838頁(yè)頁(yè)1515題題ABCABC中中,AB=AC,BAC=12

7、0,AB=AC,BAC=120,ADAC,ADAC交交BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)D,D,說明說明BC=3ADBC=3ADB BC CD DA A證明證明: : 在在ABCABC中中 AB=AC AB=ACC=B( )C=B( )C=B= (180C=B= (180-120-120)=30)=3021B+BAC+C=180B+BAC+C=180且且BAC=120BAC=120ADACDAC=90ADACDAC=901 11=BAC-DAC=1201=BAC-DAC=120-90-90=30=30B=1AD=BDB=1AD=BD在在RtRtACDACD中中C=30C=30CD=2AD ( )CD=2AD (

8、 )BC=BD+CD=AD+2AD=3ADBC=BD+CD=AD+2AD=3AD第九頁(yè)，共25頁(yè)。如下圖如下圖, ,在在ABCABC中中,ABC,ABC和和ACBACB平分線相交平分線相交于點(diǎn)于點(diǎn)O,O,過點(diǎn)過點(diǎn)O O作作EFBC,EFBC,交交ABAB于于E,E,交交ACAC于于F,F,若若AB=18,AC=16,AB=18,AC=16,求求AEFAEF的周長(zhǎng)？的周長(zhǎng)？1 12 23 3第十頁(yè)，共25頁(yè)。在在ABCABC中中,AB=AC,ABC,AB=AC,ABC與與ACBACB的平分線交于的平分線交于點(diǎn)點(diǎn)O,O,過點(diǎn)過點(diǎn)O O作作EFBCEFBC交交AB,ACAB,AC分別于分別于E,FE

9、,F (1) (1)有幾個(gè)等腰三角形有幾個(gè)等腰三角形?EF?EF與與BEBE、CFCF有怎樣的有怎樣的數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系? ?1 12 23 3第十一頁(yè)，共25頁(yè)。（2 2）若）若ABAC,ABAC,其它條件不變，圖中還有等其它條件不變，圖中還有等腰三角形嗎腰三角形嗎? ?則第（則第（1 1）問中）問中EFEF與與BEBE、CFCF的的數(shù)量關(guān)系還存在嗎數(shù)量關(guān)系還存在嗎? ?A AB BC CO OE EF F1 12 23 3第十二頁(yè)，共25頁(yè)。（3 3）在）在ABCABC中中,ABC,ABC的平分線的平分線BOBO與外角與外角ACDACD的的平分線平分線COCO交于點(diǎn)交于點(diǎn)O,O,過點(diǎn)過點(diǎn)O

10、O作作OEBCOEBC交交AB,ACAB,AC分別于分別于E,FE,F 那么圖中還有等腰三角形嗎那么圖中還有等腰三角形嗎?EF?EF與與BEBE、CFCF之間的之間的關(guān)系如何關(guān)系如何? ?為什么？為什么？A AB BC CO OE EF F1 12 23 3D D第十三頁(yè)，共25頁(yè)。15151 1C C解解: :過過P P作作PCPCAB,AB,交交ABAB的延長(zhǎng)線于的延長(zhǎng)線于C C第十四頁(yè)，共25頁(yè)。ABCABC中中AB=AC,BC=BD,AD=DE=EBAB=AC,BC=BD,AD=DE=EB則則A=A= . .A AC CB BD DE E第十五頁(yè)，共25頁(yè)。如圖如圖, ,在在ABCAB

11、C中中, ,D D是是BCBC上一點(diǎn)且上一點(diǎn)且ABABACACBDBD,1,13030, ,你能求出你能求出ABCABC各內(nèi)角的度數(shù)嗎各內(nèi)角的度數(shù)嗎? ?若能若能, ,寫寫出求解過程出求解過程; ;若不能若不能, ,請(qǐng)說明理由請(qǐng)說明理由. . A AB BC CD D1 1解解: :能求能求AB=BDBAD=BDAAB=BDBAD=BDA( )( )BDA=1+C( )BDA=1+C( )BAD=1+CBAD=1+CAB=ACB=CAB=ACB=C( )( )B+C+BAC=180B+C+BAC=180( )( )C+C+(1+C )+1 =180C+C+(1+C )+1 =180即即3C+2

12、1=1803C+21=1801=301=30解得解得C=40C=40B=C=40B=C=40BAC=180BAC=180-B-C=100-B-C=100第十六頁(yè)，共25頁(yè)。如圖如圖, ,在在ABCABC中中,DAE=130,DAE=130,BM,BM和和CNCN分別分別垂直平分垂直平分ADAD和和AE,AE,求求33的度數(shù)的度數(shù). .M MN ND DE EC CB BA A2 21 1解法解法1 1：BMBM和和CNCN分別垂分別垂直平分直平分ADAD和和AEAEAB=BD,AC=CEAB=BD,AC=CE( )( )3 3 1=D, 2=E 1=D, 2=E( )( ) 1+2=D+E 1

13、+2=D+ED+E+DAE=180D+E+DAE=180且且 DAE=130 DAE=130 D+E=180 D+E=180-DAE=50-DAE=50 1+2=50 1+2=50（ ）3=DAE-3=DAE-（1+21+2）=130=130- 50- 50=80=80整整體體代代入入思思想想第十七頁(yè)，共25頁(yè)。如圖如圖, ,在在ABCABC中中,DAE=130,DAE=130,BM,BM和和CNCN分分別垂直平分別垂直平分ADAD和和AE,AE,求求33的度數(shù)的度數(shù). .M MN ND DE EC CB BA A2 21 1解法解法2 2：BMBM和和CNCN分別垂分別垂直平分直平分ADAD

14、和和AEAEAB=BD,AC=CEAB=BD,AC=CE( )( )3 3 1=D, 2=E 1=D, 2=E( )( )ABC=1+D =2ABC=1+D =2D( )D( )同理同理ACB=2ACB=2EE D+E=180 D+E=180-DAE=50-DAE=503=1803=180-(ABC+ACB) -(ABC+ACB) =180=180-2-2（D+ED+E）=180=180-2-25050=80=80D+E+DAE=180D+E+DAE=180且且 DAE=130 DAE=130整整體體代代入入思思想想第十八頁(yè)，共25頁(yè)。如圖，如圖，P P、Q Q是是ABCABC邊上的兩點(diǎn)，且邊

15、上的兩點(diǎn)，且BP=PQ=QC=AP=AQBP=PQ=QC=AP=AQ，求，求BACBAC的度數(shù)。的度數(shù)。PABCQ123 B=1( B=1(等邊對(duì)等角）等邊對(duì)等角）解：在解：在ABPABP中中 BP=AP BP=AP 同理可得同理可得 C=2C=2 3=4=5=60 3=4=5=60 ( ) ( )在在APQAPQ中中 PQ=AP=AQ PQ=AP=AQ 454=1+B=604=1+B=60( )( ) 1=30 1=30同理可求同理可求2=302=30BAC=1+3+2BAC=1+3+2=120=120直接求法直接求法第十九頁(yè)，共25頁(yè)。如圖，如圖，P P、Q Q是是ABCABC邊上的兩點(diǎn)，

16、且邊上的兩點(diǎn)，且BP=PQ=QC=AP=AQBP=PQ=QC=AP=AQ，求，求BACBAC的度數(shù)。的度數(shù)。PABCQ123 B=1( B=1(等邊對(duì)等角）等邊對(duì)等角）解：在解：在ABPABP中中 BP=AP BP=AP 同理可得同理可得 C=2C=2 4=5=60 4=5=60 ( ) ( )在在APQAPQ中中 PQ=AP=AQ PQ=AP=AQ 454=1+B=604=1+B=60( )( ) BB=30=30同理可求同理可求C=30C=30BAC= 180BAC= 180- - B-CB-C=120=120間接求法間接求法=180=180- 30- 30- 30- 30第二十頁(yè)，共25

17、頁(yè)。如圖如圖, ,ADAD平分平分BACBAC, ,EFEF垂直平分垂直平分ADAD, ,交交BCBC的的延長(zhǎng)線于點(diǎn)延長(zhǎng)線于點(diǎn)F F, ,連接連接AFAF猜想猜想:B BCAFCAF嗎嗎? ?請(qǐng)說明理由請(qǐng)說明理由. .A B C D E F 1 1證明證明EFEF垂直平分垂直平分ADAD FD=FAFD=FA( )( )3 32 2BBCAFCAF11=DAF=3+=DAF=3+CAFCAF 11=2+B=2+B AD AD平分平分BAC 2=3( )BAC 2=3( )CAF=BCAF=B33+CAF=+CAF=22+B+B第二十一頁(yè)，共25頁(yè)。如圖如圖, ,在在ABCABC中中, ,點(diǎn)點(diǎn)E

18、 E是是BCBC邊上的中點(diǎn)，邊上的中點(diǎn)，DEBC,DEBC,交交BACBAC的平分線的平分線ADAD于點(diǎn)于點(diǎn)D,D,過過D D作作DMABDMAB于點(diǎn)于點(diǎn)M,DNACM,DNAC于點(diǎn)于點(diǎn)N,N,試說明試說明:BM=CN. :BM=CN. A AB BC CM ME ED DN N連結(jié)線段中垂線上的點(diǎn)和這條線段的連結(jié)線段中垂線上的點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的線段是常作的輔助線兩個(gè)端點(diǎn)的線段是常作的輔助線解解: :連結(jié)連結(jié)DB,DCDB,DC AD AD平分平分BACBAC, ,且且DMAB,DNACDMAB,DNAC DM=DN( ) DM=DN( )點(diǎn)點(diǎn)E E是是BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DEBCD

19、EBC DB=DC( ) DB=DC( )DM=DN(DM=DN(已證已證 ) )在在RtRtBDMBDM和和RtRtCDNCDN中中DB=DC (DB=DC (已證已證 ) ) Rt RtBDMRtBDMRtCDN( )CDN( ) BM=CN( ) BM=CN( ) 第二十二頁(yè)，共25頁(yè)。6969頁(yè)練習(xí)頁(yè)練習(xí)1 1題答案題答案A AB BD D已知已知: :在在RtRtABDABD中中,D=90,D=90, , BAD=2B, AEBAD=2B, AE平分平分BADBADE EF FBEBE和和DEDE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由說明理由. .解：解：BE=2DEBE=2DE過點(diǎn)過點(diǎn)E E作作EFEFABAB于點(diǎn)于點(diǎn)F F，則，則BFE=90BFE=90D=90D=90BAD+B=90BAD+B=902B+B=902B+B=90解得解得B=30B=30在在RtRtBEFBEF中中BFE=90BFE=90,B=30,B=30 BE=2EF( ) BE=2EF( )AEAE平分平分BAD, EFBAD, EFAB, EDADAB, EDAD ED=EF( )ED=EF( ) BE=2ED( )BE=2ED( )在在6969頁(yè)下邊畫圖做筆記頁(yè)下邊畫圖做筆記BAD=2BBAD=2B從角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊從角