高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核冊(cè)及答案

1、高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一次作業(yè)第1章函數(shù)第2章極限與連續(xù)A.f(x)=( . X)2, g(x)二 XB.f (x)二.x2 , g(x) =x.3f (x)=x2 -1C.f (x) =1 n X , g(x)二3ln xD.=x 1 , g(x):x 12設(shè)函數(shù)f （X）的定義域?yàn)閯t函數(shù)f（x） f（-x）的圖形關(guān)于A.坐標(biāo)原點(diǎn)B.X軸C.y軸D.y = x3下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B )A.y = ln (1 x2)B.y = xcosxX_xa ay =1 n(1x)C.y -D.C ）中的兩個(gè)函數(shù)相等.1.4下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C).（一）單項(xiàng)選擇題F列各函數(shù)對(duì)中，（對(duì)稱.5.A.C.

2、F列極限存計(jì)算不正確的是（2xlim 21x 匸x22si nxlim0xb. yd. yD )-X-11,X : 0x _0B. limln( 1x) = 01D. lim xsin 0X匸x高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一次作業(yè)a.f(X)二 f(X。)C. lim f (x)二 f (x0)X X)6.當(dāng)x 0時(shí)，變量（C ）是無窮小量.sin x1A.B.XX1C. xsin D. ln(x 2)x7.若函數(shù)f （x）在點(diǎn)x0滿足（A ）,則f （x）在點(diǎn)x0連續(xù)。B. f (X)在點(diǎn)X0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義D. lim f (x)二 lim f (x)Xq(二)填空題Jx2 _91函數(shù)f(x)ln(1

3、 x)的定義域是(3,+ .x -32 22. 已知函數(shù) f (X 1) = X X，貝U f (x) = X - X .3. lim (1 丄)x 二 e 2 . 2x 1.若函數(shù)f (x)=(1+x)x, xvO，在x = 0處連續(xù)，則k = e. I x +k, x 0x +1 , x 0-5函數(shù)y =丿的間斷點(diǎn)是X=0 .in x , x 蘭 06若 nf(xA，則當(dāng) x xo時(shí),f (x) _ A稱為無窮小量(三)計(jì)算題1.設(shè)函數(shù)f (x) = *x 0x _0求：f(-2), f(0), f (1).x ,解：f(-2) = - 2 , f(0) = 0 ,f(1) = e2x _

4、12.求函數(shù)y = lg lg的定義域.x2X _1解：由0解得x1/2，函數(shù)定義域?yàn)?-汽0) U (1/2, +8)X3在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的脈個(gè)端點(diǎn)在半圓上,試將梯形的面積表示成其高的函數(shù).解:4.求A=(R+b)h，其中 b = R2 -h2X R2 - h2)h3 si n3xlim .sin2x x 0 2sin2x如圖梯形面積sin3x limx )03xh5.求6.求7.求.8.求9.求lim 丄Jx 1 sin (x 1)tan3x limx 0 xlim丄丄1xsin x2xx 1xmis(sin 3xlim 3 cos3x

5、 二 3x 0 3xlimXr 0(1 x2) -1(i 1 X21)( I 1 x2(iT x2 T) sin x二叫 2x * ( 1x21)sin xlim (J1)x 二limx 410.設(shè)函數(shù)解:1)工limx；01x21x 二 0 sin xxlim (=lim (1Xx 3-44(1廠42 溝店警4Ux - 5x 4xii & - 1)(x 4) 3 3(1 丿 )3x 3x 1-1乞X空1討論f (X)的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間.x ： TX2 -6x 8 2(x-2)2 ,x ,x 1 ,lim f (x)二(1 -Xr 1-4e2) V lim f (x)= 11 函數(shù)在x

6、=1處連續(xù)lXiml f/Xxf=-1(1l)m f(x) = _1 + 1 = 0x dX _1limf(x) 不存在，函數(shù)在 x=-1處不連續(xù)Xr 1高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第二次作業(yè)第3章導(dǎo)數(shù)與微分(一) 單項(xiàng)選擇題1設(shè)f(0) =0且極限lim丄(耳存在，則lim7 xT xB. f (0)D. 0f(x0 _2h) f(x0)A. f(0) C. f (x)2.設(shè)f (x)在x0可導(dǎo)，則lim2hB. f (xo)D. - f (xo)3設(shè) f(x)二ex，貝y 啊 f(j x) - f (1)二(A)A. -2f (xo)C. 2f (xo)A. e1C. e2xB.D.2e1_e4=(D )

7、6.設(shè) y =xln x，貝y y =1/x 函數(shù)在x=1處連續(xù)4設(shè) f(x) =x(x 1)(x -2)(x -99)，貝y f (0)A. 99B. -99C. 99!D. -99!5下列結(jié)論中正確的是(C )A. 若f (x)在點(diǎn)X。有極限，則在點(diǎn) X?？蓪?dǎo).B. 若f (x)在點(diǎn)X連續(xù)，則在點(diǎn)X可導(dǎo).C. 若f (x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，則在點(diǎn)x0有極限.D. 若f (x)在點(diǎn)X0有極限，則在點(diǎn) X0連續(xù).(二) 填空題f (x)二2 . 1x sin ，x2.設(shè) f(ex) =e2x 5ex，則 d f (ln x)二(2/x)lnx+5/x dx3曲線f(X)iX 1在(1,2)處的切線

8、斜率是1/2曲線f(x)=sinx在(n,1)處的切線方程是y=1.45.設(shè) y = x2x，貝y y = 2x (lnx+1).6.設(shè) y =xln x，貝y y =1/x(三)計(jì)算題1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y :(1) y = (x . x 3)exy=(x3/2+3)ex, y/ =3/2x1/2ex+(x3/2+3)ex=(3/2x1/2+x3/2+3)ex(2) y = cotx x21n x2xy 二ln xcosx 2y 3xln x - x2 y =； sin xy/y = x4 -sin xln xsin x +x22y/ =-csc x + 2xlnx +x=(2xlnx-x)/

9、ln 2xy/ =(-sl nx+2 xln 2)x 3-3x2 (cosx+2x)/x61 2( 2x)sln x -(In x - x )cos x xy = ex tan x ln x2. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y 乂心 y = l n cosx3 y = x x xyyyyyyy(11) y3. 在下列方程中， y cosx 二 ex x2 x二 cos e2x二 cose n二 sin xcos nx. 2 sin x二 5.2sin x二 e2 2X m X=x exxe 丄 e=x e2y y = cos y In x2 2xsin y =ysin2 xy/ =4x3-cosx In

10、 x-s in x/xy/ =(cosx+2x)3x-(s in x+x2)3xl n3/32x2x=cosx+2x-(sinx+x )ln3/3y / =exta nx+M secx+1/x = ex(ta nx+sec2x)+1/xy :y=x7/8 y / =(7/8)x -1/8n-1ny/ 二nsin xcosxcosnx - nsinxsin nxy=y(x)是由方程確定的函數(shù)，求y :方程對(duì) x 求導(dǎo)：y/ cosx-ysinx=2 y/ e2y2yy/ =ysinx / (cosx-2e )方程對(duì) x 求導(dǎo)：y / = y / (-siny)lnx +(1/x)cosy y/

11、=(1/x)cosy / (1+si nyl nx)22方程對(duì) x 求導(dǎo)：2siny + y/ 2xcosy=(2xy-x y/ )/y2 2 2y/ =2(xy siny) /(x +2xy cosy)方程對(duì) x 求導(dǎo)：y/ =1+ y/ /y, y/ =y /(y-1) 方程對(duì) x 求導(dǎo)：1/x+ y/ ey=2y y/, y/ =1/x(2y-ey)2(6) y2 1 = exsi ny方程對(duì) x 求導(dǎo)：2y yz =exs iny + y / eTcosyy/ = exsiny/(2y- excosy)ey 二 ex _y3 方程對(duì) x 求導(dǎo)：y e =ex -3y2 y7 , yz

12、=ex/e7+3y2 y=5x 2y 方程對(duì) x 求導(dǎo)：y =5xl n5 + yz 2yl n2, yz =5xl n5 /(1-2yl n2) 4求下列函數(shù)的微分dy :(1) y 二 cot x cscxIn xsin x1 -x =arcs in1 -xy-31 x.2 x =sin e3=tan ex1 +xyy5.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):(1) y = xln x(2) y = xsin x y = arctanxyd(四)證明題設(shè)f(x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證f (x)是偶函數(shù).證明：由 f(x)= - f(-x)求導(dǎo) f / (x)= - f / (-x)(-x) f / (x)=

13、 f / (-x), f / (x)是偶函數(shù)列表第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一) 單項(xiàng)選擇題1若函數(shù)f(x)滿足條件(D)，則存在二(a,b)，使得f ( ) = f (b八f (a).b - aA. 在(a, b)內(nèi)連續(xù)B. 在(a , b)內(nèi)可導(dǎo)C. 在(a, b)內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)D. 在a, b內(nèi)連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)2. 函數(shù)f(x)=x2 4x -1的單調(diào)增加區(qū)間是(D).A. (：，2)B. (-1,1)C. (2,：)D. (-2, ：)23. 函數(shù)y = x 4x -5在區(qū)間(6,6)內(nèi)滿足(A).A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B.單調(diào)下降C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降D.單調(diào)上升4函數(shù)f(x)滿

14、足f(X)=0的點(diǎn)，一A.間斷點(diǎn)B.極值點(diǎn)C.駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)5. 設(shè)f (x)在(a, b)內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，x0 (a, b)，若f (x)滿足(C ),則f (x)在x0取到極小 值.A.f (x。)0, f(x。)=0B.f(x。)：0, f(x。)=0C.f (X0)=0, f(x) 0D.f(x)= 0, f(x)： 06. 設(shè)f (x)在(a, b)內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且f (x) ： 0, f ”(x) ： 0 ,則f (x)在此區(qū)間內(nèi)是(A).A.單調(diào)減少且是凸的B.單調(diào)減少且是凹的C.單調(diào)增加且是凸的D.單調(diào)增加且是凹的327. 設(shè)函數(shù)f(x)=ax -(ax) -ax-a在

15、點(diǎn)x =1處取得極大值 -2，則a -().彳 1A. 1B.-3C. 0D.-3(二) 填空題設(shè) f (x)在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，x (a, b)，且當(dāng) x ： x時(shí) f (x) ： 0，當(dāng) x x 時(shí)(x) 0，則 x 是 f (x)的 極小值 點(diǎn).2若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且x0是f (x)的極值點(diǎn)，貝U f (x0) =0.23函數(shù)y =1 n(1)的單調(diào)減少區(qū)間是(-y 0).X24. 函數(shù) f(x)二e 的單調(diào)增加區(qū)間是(0: +Q .5若函數(shù)f (x)在a,b內(nèi)恒有f (x) : 0，則f (x)在a, b上的最大值是 f(a).36函數(shù)f(x) =2 5x-3x的拐點(diǎn)是

16、x=0.327若點(diǎn)(1, 0)是函數(shù) f(x)=ax bx 2 的拐點(diǎn)，貝U a 二, b=.-(三) 計(jì)算題3求函數(shù)y =(x 1)2(x-5)2的單調(diào)區(qū)間和極值.2解：y/ =(x-5) +2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5) 由y/ =0求得駐點(diǎn)x=1 , 5.x(-m, 1)1(1 , 5)5(5, +8)y/+0一0+yY max=32JY mi n=0(-g, 1)和(5 , +8)為單調(diào)增區(qū)間，(1, 5)為單調(diào)減區(qū)間，極值為Ymax=32, Ymin=O。2求函數(shù)y = 3 (x2 2x)2在區(qū)間0, 3內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值.解：y/ =2x-2，駐點(diǎn)x=1

17、是極小值點(diǎn)，在區(qū)間0 , 3上最大值為y(3)=6，最小值為y(1)=2 。x0(0, 1)1(1 , 3)3y /-0+y3J2f63試確定函數(shù)y二ax3 bx2 cxd中的a,b,c,d，使函數(shù)圖形過點(diǎn)(-2,44)和點(diǎn)(1,-10)， 且x = -2是駐點(diǎn)，x = 1是拐點(diǎn).4求曲線y2 =2x上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A(2,0)的距離最短.解:曲線 y2=2x 上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn) A(2 , 0)的距離 d = (x - 2)2 ( - 2x - 0)2 d 2=x2-2x+4 , (d 2)z =2x-2， 由(d ) / =0求得x=1，由此得所求點(diǎn)有兩個(gè):(1, . 2) , (1,-

18、、2)5圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L ,問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的R體積最大？R解右圖為圓柱體的截面，由圖可得R2=L2-H2圓柱體的體積 V=nR2H=n (亡舊務(wù)2 2a/3HV / =n (L-3H )，由 V/ =0 解得 HL，3J6233此時(shí)RL，圓柱體的體積VL3最大。396. 體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時(shí)表面積最??？怎樣做法用料最省?解：圓柱體的表面積 S=2nR2+2 n RH由體積V=nR2H解得H=V/ nR S=2 nR+2V/ RS/ =4 n R 2V/ R2=2(2 nR- V) / R2由 S/ =0 解得 R =3 V ，此時(shí)

19、H = V 3 4 ； = 3 8V 二 2Rt 2 兀jt V V2 2 兀答：當(dāng)高與底面直徑相等時(shí)圓柱體表面積最小。7. 欲做一個(gè)底為正方形，容積為 62.5立方米的長方體開口容器,解：設(shè)長方體底面邊長為 a高為h表面積S=a 2+4ah 2 -a h =62.5, h =62.5/ a2232S=a +250/a, S =2a- 250/a =(2a -250)/a ,由 Sz =0 解得 a =5m , h =2.5m，此時(shí) S=75m2 最小, 8從面積為S的所有矩形中，求其周長最小者.9從周長為L的所有矩形中，求其面積最大者.(四)證明題1.當(dāng)x 0時(shí)，證明不等式x - ln(1

20、x).證明：令 f(x)=x-ln(1+x) ,f(x)=1-1 / (1+x)=x/ (1+x)當(dāng)x0時(shí)有f/ (x) 0, f(x)為增函數(shù)，又f(0)=0當(dāng) x 0 時(shí) f (x) 0, 即卩 x In(1+x)2當(dāng)x0時(shí)，證明不等式ex x 1 .證明：令 f(x)=ex/ (x+1),f/ (x)= ex(x+1)- ex/ (x+1)2=x ex/ (x+1)2當(dāng)x0時(shí)有f/ (x) 0, f(x)為增函數(shù)，又f(0)=1 當(dāng) x 0 時(shí) f (x) 1,即 exx+1高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第四次作業(yè)第5章不定積分 第6章定積分及其應(yīng)用（一）單項(xiàng)選擇題3.若 f (x)二 cosx，貝V f

21、(x)dx 二(B).sinx c-sinx cx2 f (x3)dx = (D). dxf(x3)13f(x)A.C.B.D.cosx c-cosx c4.A.C.B.D.x2f(x3)133f(x)1,5.若 f (x)dx = F(x) c，則 f( x)dx = (B). vxA. F(、x) cC. F(2 x) cB.D.6由區(qū)間a,b上的兩條光滑曲線 y二 域的面積是（）.bA. af（x）-g（x）dx2F(一x) c1 F ( . x) cf (x)和y = g (x)以及兩條直線 x = a和x = b所圍成的平面區(qū)B.b |C. Lf(x)g(x)dxD.bfag(x)-

22、f(x)dxbi f (x) g(x)dxa7.A.C.F列無窮限積分收斂的是（：1-dx1 x:1dxxD )B.D.-bdexdx-0:12 dx1 21 xA.In1xB.2 x2C.D.3xx2下列等式成立的是（D）.A.f f (x)dx = f (x)B.fdf (x) = f(x)C.dff (x)dx = f (x)D.d .f f (x)dx = f (x)，則 f （x）二（D）.1若f（x）的一個(gè)原函數(shù)是x）填空題1函數(shù)f(x)的不定積分是f(x)dx2. 若函數(shù)F (x)與G(x)是同一函數(shù)的原函數(shù)，貝UF (x)與G(x)之間有關(guān)系式 F(x)=G(x)+c3. d ex dx = e dx-4. (tan x) dx 二 tanx+c .5. 若 f (x)dx = cos3x c,貝U f (x) = -9cos3x .351& 衛(wèi)(sin x )dx 二 3.:17若無窮積分pdx收斂，則p 1.山xp1cos1. dxx（三）計(jì)算題1