高等數(shù)學(xué)公式大全(幾乎包含了所有)

1、高等數(shù)學(xué)公式大全1、導(dǎo)數(shù)公式:(tgx ) = sec 2 x(ctgx ) = -esc2 x(sec x) = sec x tgx (esc x) - - csc x ctgxX *x(a ) = a In a(log a x) x I n a(arcsin x) "=1/ 一 x 21(arccos x)占x2(arctgx ) I1 +x(arcctgx )1 +x2、基本積分表：tgxdx =-In cos x +Cctgxdx =ln sin x +Csec xdx=In sec xdxrr2二 sec xdx=tgx 亠 C2cos xdxr2二 csc xdx=-ct

2、gxC2sin xsecCtgx dx=sec xxcsc xdx=In csc x-ctgx +Cdxa2 x21=arctg acscctgxdx-csc x Cdx2 2x a1In2a- xa dxIn ashxdx=chxdx2 2a -x1In2achxdx=shxdx' r22.a x=arcs in0012x-a2dxx二 .x a2<22adxx22=、x a22 a2-xdxx二.axnnsinxdxxdxcos27T27T2dxx2 _a2n -12 a+ 22aI n _2In( x 亠.x 二 a2)亠 CIn( x x2 - a22 2x a22ax

3、arcsi n C23、三角函數(shù)的有理式積分:22u1 -usin x7, cos x7,1 +u1 +uxu =tg ，22dudx =;1+u2一些初等函數(shù):兩個重要極限:雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切xxe -e 一:shx =2xxe +e_:chx 二2limx-P x=1lim (1-)x=e = 2.718281828459045 .shx:thx :chxxxe e _xxe e -arshx = In( x x? - 1):2archx = In( x x -1 )1 1 +xarthx = In2 1 -x三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式：、函數(shù) 角卜、sincostgctg-a-sin

4、acos a-tg a-ctg a90° acos asin actg atg a90° acos a-sin a-ctg a-tg a180°asin a-cos a-tg a-ctg a180°+a-sin a-cos atg actg a270° a-cos a-sin actg atg a270°+a-cos asin a-ctg a-tg a360° a-sin acos a-tg a-ctg a360°+asin acos atg actg a-和差角公式:-和差化積公式:sin(.二丨 J cos(二

5、)-：icos 卜 二cos -：sin : =cos -： cos ： _ sinsin - r tg a 士 tg Ptg 徑士 »1 +tg 口 tg P,R ctg a ctg P +1ctg (二 I )ctg P ±ctg a=sintg 二 tgRa + P a - Psin ：£ 亠 sin - =2 sin cos2 2a + P a - Psin : -sin - =2cossin2 2a +P a -Pcos '：亠 cos ：二 2 coscos2 2Ra + P a - Pcos ： - cos - = 2 sinsin3sin

6、3: = 3sin : - 4 sin :3cos 3: =4 cos 3 cos :-33tga -tg atg 321 -3tg a倍角公式:sin 2 一 =2 sin ： cos :-2 2 2 2cos 2 y =2cos1 =12sin cos 一 一sin2ctg a -1 ctg 2 :.2ctg a2tgatg 21 tg a-半角公式:篇,',1 -cos :-sin -2 : 2:-1 -cos 二 1 - cos :tg7 = -.i cos：二匚Lsin :1 - cos:1 亠 cos :cos =2 2.二“1 - cos 二1 - cos .篇 sin

7、:ctg21 一 cos ：si n t 1 - cos :-正弦定理:absin A sin Bcsin C=2R余弦定理： c? = a 亠b 2ab cos C反三角函數(shù)性質(zhì)：arcs in x =- arccos x江arctgxarcctgx22高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲(Leibniz )公式：n(n)k (n 上)(k)(uv)Cn U vk z0(n)(n4)n(n -1) (n/).門一 1)(門k 1) (n 丄)(k) .(n)=uv nuvu vuvuv2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f (b) - f (a) = f)(b - a)f(b) - f (a) f

8、 ()柯西中值定理：-F(b)-F(a) F 牡)當(dāng)F(x)二x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds = 1 dx,其中y = tg二平均曲率:K從M點(diǎn)到M點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；_s： MM弧長。M點(diǎn)的曲率:Kd叫 y 1 dsl (1 y 2)3直線：K = 0;1 半徑為a的圓：K =.a定積分的近似計算:矩形法:bf(X)ab -a(y。- y -n梯形法:bf (x)ab -a 1(yo yn) y1 y.n 2-拋物線法:bb af (x)( y0 yn) 2( y2 - y4 yn/) 4(y y3 yn)a3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式:功：W 二F s水壓力

9、：F =p A引力：F二k葺2 ,k為引力系數(shù)rb1函數(shù)的平均值：yf (x)dx均方根：b -a a/1b1 - 2f (t)dt V -a a空間解析幾何和向量代數(shù):、,|222空間 2點(diǎn)的距離：d = M tM 2 =+；(x2 -Xt) +(y2 一 yj +(z2 - 乙)向量在軸上的投影：PrjuAB = AB cos®,®是AB與 u軸的夾角。Pr ju 佝亠 a?) = Pr jai Pr ja?a b =|a b cos 日=axbx +ayby +azbz,是一個數(shù)量 ，兩向量之間的夾角:cos J =axbx ayby azbz22 2 2 a x &

10、quot; a y a z22bybzaxayaz=a b sin 日.例:線速度:bxbybzaxayaz向量的混合積:abc =(a b) c = bxbybzc cos.篇，二為銳角時，CxCyCzAx ° By ° Cz ° D.A2 B2 C2空間直線的方程:x - x° y - y°mn=t,其中s =m, n, p;參數(shù)方程:j x = x°mt“ y = y° + nt,z = z° + pt代表平行六面體的體積平面的方程:1、點(diǎn)法式：A(xx°) B(yy。) C(zZo) = 0,其中

11、 n 二A,B,C, M o(Xo,y°,Zo)2、一般方程：Ax亠By亠Cz亠D =03、截距世方程：x 丄上=1a b c平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離:二次曲面：222xyz1、 橢球面：22 =1abc2 22、拋物面： x y z,（ p,q同號）p 2q3、雙曲面：222xyz單葉雙曲面：2-=1abc222雙葉雙曲面：一牛勺=1（馬鞍面）a b c多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz二蘭dxdy亂du =dx -ex:y；x全微分的近似計算：.:z:dz二fx(x,y).：xfy(多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法:dz:z:u.z _:vZ = fu(t),v(t)* +dt；:u;:t

12、:v ft:z:z.:u；:vZ 二 fu(x,y),v(x, y)T+T；:u.X；X當(dāng) u 二u(x, y), v 二v(x, y)時,dudu_:v：:vdu =dx dydv =dx ' dy；:x:x；:y隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F（x, y）=。，dyFx,d2y2 -dxFydx；x隱函數(shù) F (x, y,z),:zFxjzFy.xx,y). ：y竺 dy dz；:y zFz:y FzFx:Fxdy(-)+(-TFy；yFydx隱函數(shù)方程組:.:u.:u-yF (x, y,u ,v)G(x, y,u ,v)：(F ,G):：(x, v)"F ,G)r( y, v

13、)=0.-v1jxJ.-v1r(F ,G)：(u ,x)；：(F,G)：(u, y)FuGu,：(F ,G)J -(u, v)FvGv微分法在幾何上的應(yīng)用:x = （t）空間曲線y=屮（t）在點(diǎn)M （x0, y0,z0）處的切線方程:z -z。Z =(t) (to)在點(diǎn)M處的法平面方程:若空間曲線方程為:F （x, y, z）=。，則切向量T =FyGz,JI,G(x, y,z)GyGzGzGxGXG y(t°)(x -x。) (t°)(y - y。)，(t°)(z -z。)n =Fx（x。，y。，z。），F(xiàn)y （x。，y。，z。）, Fz（x。，y。，z。）2、

14、過此點(diǎn)的切平面方程:Fx(Xo, yo,Zo)(x-xo)Fy(X。，y°,z°)( y - y。)Fz(x。，y。，z。)( z - z。)= 03、過此點(diǎn)的法線方程:X -X。y y。z z。曲面F（x,y,z）=。上一點(diǎn) 皿&。，乙。）,則:1、過此點(diǎn)的法向量：Fx（x。，y°,z。）Fy（x°,y。，z。） Fz（x。，y°,z。）方向?qū)?shù)與梯度:函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向I的方向?qū)?shù)為:；：l ；：x；f cos： f sin : cy其中為x軸到方向I的轉(zhuǎn)角。函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn) p(x, y)的

15、梯度：gradf(x, y)二蘭i 蘭 jex矽它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是:f_-' grad f (x, y) e，其中 e= cos ： isinj，為 I方向上的；:l單位向量。. f 是gradf (x,y)在I上的投影。 d多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè) fx(Xo，yo)=fy(Xo，yo)=O ,令：fxx(xo，yo)=A, fxy(xo，yo)=B, fyy(xo，yo)=C則：A £O,(Xo,y°)為極大值.A >O,(Xo,y。)為極小值A(chǔ)C - B2 ：: 0時，無極值A(chǔ)C -B2 =0時，AC -B>0時，丿不確定重積分及其應(yīng)用:f f

16、 (x, y )dxdy = ff f (r cos 日，r sin 0) rdrd 日DD *f匸pcz 1dz2曲面 z = f (x, y)的面積 A =+li1 +dxdy“ VD 丿e丿平面薄片的重心:II X】(x, y)dcD! (x, y)d二DII '：(x, y)d二D.;?(x,y)d-D平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量:對于平面薄片(位于xoy平面)對x軸 I x = y2(x, y) d；， 對于 y 軸 IDz軸上質(zhì)點(diǎn)M (0,0,a), (a - 0)的引力：2y 二 x Q(x,y)d二D-P(x, y)xdaFx = f II孑，D/2222(x y a )柱面坐標(biāo)

17、和球面坐標(biāo)：-.” P(x,y)ydcrFy = f |3，D222 二(x y a )FzF =Fx,Fy,Fz，其中:” P(x,y)xda-fa3D (x2 - y2 - a2)第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）："x = r cos 日柱面坐標(biāo)：* y = r sin日, z =z2dv 二 rdr sind j dr = r sin drd dhi f (x, y, z) dxdydz = F(r,v,z)rdrd vdz, hq其中： F (r, v,z) = f (r cos v, rsin j,z)x = r sin 申 cos 日 球面坐標(biāo)：« y = r

18、sin dsin日, z = r cos 護(hù)第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：其中 M = x =PdvQ2 2I III (x y ) "vQ2III f (x, y,z) dxdydz mF(r, /)r sin drd QQ_ 1 _ 1重心：x = xftlv,y =yPdv,M 3M Q轉(zhuǎn)動慣量： lx： III (y z ) "dv,ly =Q:r( J2g - dr d F (r, ,v)r sin dr0 0 0z 1 III zdv,M -2 2III (x z ) :-dv,Q第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：曲線積分:第一類曲線積分(對弧長的曲線積

19、分)：x = ® (t)設(shè)f (x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：丿,(oEtP),則：J =(t)x = ty =(t)f (x,y)ds = f(t),- (t)2 (t) + 屮 * (t)dt(a v B )特殊情況:a第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：x =®(t)，則：y =屮化)PP(x, y)dx Q(x, y)dy 二 P ':(t)/-; (t ): (t) Q (t)'(t )P' (t) dtL設(shè)L的參數(shù)方程為兩類曲線積分之間的關(guān)L上積分起止點(diǎn)處切向量ot系：Pdx 亠 Qdy 二（Pc

20、os 二亠 Qcos !*）ds，其中LL的方向角。:-和場分別為格林公式：（：Q : PD)dxd = - Pdx - Qdy 格林公式: ;:x-yLD(，；:Q ；:P)dxdy=:Pdx 亠 QdyL第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：1dxdyxdy - ydx2 L當(dāng)P=_y,Q=x，即：一一土 =2時，得至U D的面積:& cy平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：1、G是一個單連通區(qū)域;第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：2、P （x, y）， Q （x, y）在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且：P。注意奇點(diǎn)，女口（0,0），應(yīng)jx : y第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：第二類

21、曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：減去對此奇點(diǎn)的積分,注意方向相反!第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：二元函數(shù)的全微分求積在：Q - ；：P 時，Pdx Qdy 才是二元函數(shù)u(x, y)的全微分，其中:jx jy(x,y)u(x,y)二 P (x, y)dx Q (x, y)dy，通常設(shè) x0 = y0 =0。(xo, yo)曲面積分:對面積的曲面積分：! 2 2f (x,y,z)ds 二 f x, y, z(x,y) 1zx(x,y) Zy (x,y)dxdy丄.D xy對坐標(biāo)的曲面積分：P(x,y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy，其中: ±I

22、l R(x,y,z)dxdy二Rx, y, z(x,y)dxdy，取曲面的上側(cè)時取正號;zD xyII P(x,y,z)dydz：ii Px(y, z), y,zdydz，取曲面的前側(cè)時取正號;zDyziiQ(x,y, z)dzdx:ii Qx, y(z,x), zdzdx，取曲面的右側(cè)時取正號。zDzx兩類曲面積分之間的關(guān)系：ii Pdydz ' Qdzdx ' Rdxdy =（Pcos 二zZQ cos ,亠 R cos ) ds高斯公式:cPcQ£Ri l l ()dv = Pdydz Qdzdx Rdxdy=(P cos 很 亠 Q cos ,亠 R cos

23、)dszx.:y: z-第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：高斯公式的物理意義通量與散度:第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：散度：div-,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生exeycz的流體質(zhì)量，若divp ”0,則為消失通量：I l A nds = Ands = （P cos 二：卜Q cos “ ' R cos ）ds， z z z因此，高斯公式又可寫成：i l l div Adv = An dsQz斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系：cRcQcRcQcP|7()dydz +()dzdx+ (-)dxdy=q PdxQdy + Rdz£ e

24、ycz&&eyrdydzdzdxdxdycos acos Pcos '/上式左端又可寫成：IIg=(eyczSeyczPQRPQR空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件：cR<9Q即cRcQcPeyczczexexeyijk旋度：rotA= exdygzPQR向量場 A沿有向閉曲線 的環(huán)流量:常數(shù)項級數(shù)：:Pdx Qdy Rdz = A t dsrfn等比數(shù)列： 1亠.亠丄=i q等差數(shù)列： 1 2 3亠亠n =-21 11調(diào)和級數(shù)：1是發(fā)散的2 3n級數(shù)審斂法:1正項級數(shù)的審斂法根植審斂法（柯西判別法）P <1時，級數(shù)收斂設(shè)：p = lim叮UT，則* p >

25、1時，級數(shù)發(fā)散 一環(huán)p=1時，不確定2、比值審斂法：設(shè):匸=lim Un±n F：Unj r-.：i時，級數(shù)收斂，則;P1時，級數(shù)發(fā)散P=1時，不確定3、定義法:sn =比 u2 亠un； lim sn存在，則收斂；否則發(fā) 散。 nJpc交錯級數(shù)u1 - u2 u3 _U4（或-u1 u2 -u3 - un 0）的審斂法 萊布尼茲定理:un出十如果交錯級數(shù)滿足丿，那么級數(shù)收斂且其和lim un =0絕對收斂與條件收斂：su,其余項rn的絕對值 rn Wun卡。q，u2亠亠un ，其中un為任意實(shí)數(shù)；（2）uj +卜2| +匕| 十一 + un 十一如果（2）收斂，則（1）肯定收斂，且

26、稱為絕對收斂級數(shù);如果 發(fā)散，而（1）收斂，則稱（1）為條件收斂級數(shù)。調(diào)和級數(shù)：n、1發(fā)散，而a上1U攵斂；nn級數(shù):1、2收斂；np級數(shù)+I”卻時發(fā)散np >1時收斂幕級數(shù):/ X £1時，收斂于1 X_1時，發(fā)散對于級數(shù)(3)a0亠a/ - a2x亠亠anx亠，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使求收斂半徑的方法：設(shè)an 1函數(shù)展開成幕級數(shù):函數(shù)展開成泰勒級數(shù):(x(n -1)!x0 =0時即為麥克勞林公式:些函數(shù)展開成幕級數(shù):x CR時收斂X a R時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。二R時不定二二其中aan 1 是 (3)的系數(shù)，則-Hef(X)二 f

27、 (X°)(XX。) f,(n)(X0)(xX0)2 (X0) 2!n!-x0)n ", f (x)可以展開成泰勒級數(shù)的n(X X。)- -充要條件是：lim Rn = 0 n_ .f(x) = f(0) f(0)xqx2 .2!Ax"n!m(m1)2亠 m(m1)(m n+1) n(1 x) 1 mxxx2!352n -1X ± X1nd Xsin x = x'(-1)3!5!n!(一1 : X : 1)歐拉公式:eiX = cos xi sin x三角級數(shù):+(2n 1)!ix 丄x e +ecos x =2ix_ixe -esin x 二2

28、f (t) =A° An sin( n-；)=2其中， a0 二aA0, an 二 An sin -:n, bn 正交性：1, sin x,cos x,sin 2x,cos 2x 上的積分二n =1oOa 0T -(an cos nx bn sin nx)n =1二 An cos n， . 't 二 X。sin nx, cos nx任意兩個不同項的乘積在_兀，兀傅立葉級數(shù):0。a0f(x)-2Jio2(相加)62TT-(相減)12C30sin nx),周期'、 (an cos nx gn丄余弦級數(shù)：2 兀a、，bn = 0, anf (x)cos nxdxn= 0,1,2f (x)0、an cos nx是偶函數(shù)兀02n= 1,2,3f(x)=£ bn sin nx是奇函數(shù)周期為21的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):f(x)二 a° '(anCOS n：x . sin “汝)，周期 “I2n丄l1lf (x)cosn JTXan = _1dx1其中l(wèi)1丄lf (x)sin丄ln mxbn =一ldx l微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程：Fy =f (x,y)或 P(x, y)dx +Q (x, y)dy = 0可分離變量的微分方程(n = 0,1,2)(n = 1,2,3):一階微分方程可以化為g (y)dy = f (x)dx的形式