線(xiàn)性代數(shù)公式定理總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章行列式1逆序數(shù)1.1 定義個(gè)互不相等的正整數(shù)任意一種排列為：，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說(shuō)有一個(gè)逆序數(shù)，該排列全部逆序數(shù)的總合用表示，等于它所有數(shù)字中后面小于前面數(shù)字的個(gè)數(shù)之和。1.2 性質(zhì)一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性，即 。證明如下：設(shè)排列為，作次相鄰對(duì)換后，變成，再作次相鄰對(duì)換后，變成，共經(jīng)過(guò)次相鄰對(duì)換，而對(duì)不同大小的兩元素每次相鄰對(duì)換逆序數(shù)要么增加1 ，要么減少1 ，相當(dāng)于，也就是排列必改變改變奇偶性，次相鄰對(duì)換后，故原命題成立。 2階行列式的5大性質(zhì)性質(zhì)1：轉(zhuǎn)置（行與列順次互換）其值不變。性質(zhì)2：互換

2、任意兩行（列）其值變號(hào)。 性質(zhì)3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符號(hào)外。性質(zhì)4：任意行列式可按某行（列）分解為兩個(gè)行列式之和。性質(zhì)5：把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列），其值不變。行列式的五大性質(zhì)全部可通過(guò)其定義證明；而以后對(duì)行列式的運(yùn)算主要是利用這五個(gè)性質(zhì)。評(píng) 注 對(duì)性質(zhì)4的重要拓展： 設(shè)階同型矩陣，而行列式只是就某一列分解，所以，應(yīng)當(dāng)是個(gè)行列式之和，即。評(píng) 注 韋達(dá)定理的一般形式為： 一、行列式定義1定義其中逆序數(shù) 后面的小的數(shù)的個(gè)數(shù) 后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù)后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù).2三角形行列式 二、行列式性質(zhì)和展開(kāi)定理1會(huì)熟練運(yùn)用行列式性質(zhì)，進(jìn)行行列式計(jì)算.2展開(kāi)定理三、重要公式設(shè)A是

3、n階方陣，則12345，其中B也是n階方陣6設(shè)B為m階方陣，則7范德蒙行列式四有關(guān)結(jié)論1對(duì)于(1) (2) 2. 為階可逆矩陣（與等價(jià)）只有惟一零解有惟一解（克萊姆法則）的行（列）向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的n個(gè)特征值可寫(xiě)成若干個(gè)初等矩陣的乘積是正定矩陣是中某兩組基之間的過(guò)渡矩陣3. 為階不可逆矩陣 有非零解 0是的特征值 4.若為階矩陣，為的n個(gè)特征值，則5.若，則行列式的基本計(jì)算方法：1. 應(yīng)用行列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)行列式（例如化為三角形行列式就是一個(gè)常用方法）。2. 按行（列）展開(kāi)行列式（在此基礎(chǔ)上，有些題可用數(shù)學(xué)歸納法、有些題可用遞推關(guān)系式來(lái)計(jì)算行列式）。在實(shí)際使用中，常常將上述兩種方法交替使用。行列式

4、的計(jì)算是行列式的重點(diǎn)內(nèi)容，特別是低階行列式及簡(jiǎn)單的n階行列式的計(jì)算一般總要遇到（例如求特征值），因此，務(wù)求熟練掌握。典型題:一. 數(shù)字行列式的計(jì)算.1. 利用行列式的定義.2. 利用行列式的基本性質(zhì).3. 一般的數(shù)字行列式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展開(kāi)），利用特征值、特征向量求。遞推公式.二. 行列式的代數(shù)余子式的相關(guān)計(jì)算.三. 類(lèi)型成抽象行列式的計(jì)算.1.與向量成分塊矩陣結(jié)合2與特征值、特征向量結(jié)合.4 與代數(shù)余子式結(jié)合.四.范德蒙行列式與克萊姆法則 第二章 矩陣一 內(nèi)容概要1 矩陣的概念注意它和行列式的區(qū)別：1）表現(xiàn)形式上的差別；2）表現(xiàn)本質(zhì)上的差別，一個(gè)是數(shù)（行列式是數(shù)），而

5、矩陣是一個(gè)符號(hào)；3）一般地當(dāng)A是一個(gè)方陣時(shí)候，才有意義，但是；此外當(dāng)A是長(zhǎng)方形矩陣時(shí)沒(méi)有意義。2矩陣的運(yùn)算及其運(yùn)算律（1） 矩陣的相等；（2） 矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算：a) 矩陣的和：A+B 注意A和B要是階數(shù)一致的矩陣（或稱(chēng)同型矩陣）；b) 矩陣的數(shù)乘（或稱(chēng)數(shù)乘矩陣） ；c) 一般地，若有意義，稱(chēng)為矩陣的一個(gè)線(xiàn)性運(yùn)算；3矩陣的轉(zhuǎn)置將矩陣A的行列互換，得到新的矩陣，稱(chēng)為矩陣A的轉(zhuǎn)置。4 矩陣的乘法矩陣乘法的定義：注意指出：在定義中，第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)，而5 關(guān)于矩陣運(yùn)算的運(yùn)算律要注意的問(wèn)題：1） 一般地原因是a)AB與BA不一定同時(shí)有意義；b)即使AB與BA都有意義，AB與BA的階數(shù)

6、也未必一致；例如；c)即使AB與BA其階數(shù)相同，但AB與BA也未必相同；如果AB=BA，則稱(chēng)A與B是可以交換的。例如2） 矩陣的乘法不滿(mǎn)足消去律，即一般地若3） 若3 幾種特殊類(lèi)型的矩陣（1）0矩陣；（2）單位矩陣；（3）對(duì)角矩陣；數(shù)量矩陣；（4）三角矩陣；上三角、下三角矩陣；（5） 對(duì)稱(chēng)矩陣：若；（6） 反對(duì)稱(chēng)矩陣：若；關(guān)于反對(duì)稱(chēng)矩陣常用的結(jié)論：1）A的主對(duì)角線(xiàn)上的元素全是0；2）若A是奇數(shù)階行列式，則;(7) 正交矩陣：若，則稱(chēng)A是正交矩陣。關(guān)于正交矩陣與對(duì)稱(chēng)矩陣的關(guān)系有：若A是一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在一個(gè)正交矩陣T使得：；（8） 階梯形矩陣若A滿(mǎn)足：0行全在非0行的下方，非0行的第一個(gè)非0

7、的數(shù)它的下面的數(shù)全是0（若有的話(huà)）；關(guān)于階梯形矩陣：任意一個(gè)矩陣A都可以通過(guò)初等變換化為階梯形矩陣；（9） 分塊矩陣；對(duì)一個(gè)矩陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆挚欤梢詭?lái)很多方便，它有很多的應(yīng)用；（10） 初等矩陣：初等矩陣與矩陣的初等變換關(guān)系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。4 分塊矩陣當(dāng)一個(gè)矩陣的階數(shù)較高時(shí)，對(duì)此矩陣進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆謮K，更能容易看清其矩陣的規(guī)律和問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。矩陣分塊的原則：在同一行中，其各個(gè)塊矩陣的行數(shù)一致，在同一列中，其塊矩陣列數(shù)一致；分塊矩陣運(yùn)算的原則：（1） 分塊矩陣的加法：若A+B,其對(duì)矩陣A,B的分塊方法完全一致；（2） 分塊矩陣的乘法：若AB，其對(duì)第一個(gè)矩陣的列的分法同第二

8、個(gè)矩陣行的分法完全一致。5初等矩陣、矩陣的初等變換、矩陣的等價(jià)（1） 初等矩陣的定義：對(duì)單位矩陣進(jìn)行一次初等變換所得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣；用四階單位矩陣來(lái)說(shuō)明初等矩陣的幾種形式。（2） 初等變換初等行變換、初等列變換；（3） 初等變換與初等矩陣之間的關(guān)系對(duì)矩陣A做一次初等行變換成為B，則B=PA（其中P是與行變換相對(duì)應(yīng)的初等矩陣）舉例說(shuō)明：對(duì)于矩陣A作一次初等列變換成為B，則B=AP（其中P是與上述列變換相對(duì)應(yīng)的初等矩陣）。舉例說(shuō)明(4) 矩陣A與B等價(jià)如果A能夠通過(guò)初等變換變?yōu)锽則稱(chēng)A與B等價(jià)，用式子表示就是：是初等矩陣每一個(gè)矩陣A都與矩陣等價(jià)，其中r是矩陣A的秩，即存在6 關(guān)于n階矩陣的逆

9、矩陣（1）逆矩陣的定義：設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，若有n階方陣B使得AB=E或BA=E 則稱(chēng)矩陣A是可逆的；( 2 )n階方陣A可逆的充要條件1） 用矩陣的方式描述：存在矩陣B使得 AB=E或BA=E(即定義）；2） 用A的行列式;3） 用矩陣的秩來(lái)描述：4） 用向量的觀(guān)點(diǎn)來(lái)描述：矩陣A的行向量組（或列向量組）線(xiàn)性無(wú)關(guān)；5） 用方程組的觀(guān)點(diǎn)來(lái)描述：方程組AX=0僅有0解；6） 用矩陣A的特征值來(lái)描述：A的特征值全不0；（3） 逆矩陣的性質(zhì)1） 若A有逆矩陣，則逆矩陣是唯一的；2） 若A,B是同階可逆矩陣，則AB也可逆，且;3） ;4）（4） 逆矩陣的求法1） 具體的數(shù)字矩陣常用的方法是用伴隨矩陣的方

10、法；或用初等變換的方法。這是兩種最基本的方法，應(yīng)該熟練，特別是對(duì)于三階矩陣；初等變換求逆矩陣的方法：2） 對(duì)于抽象的矩陣A,求此逆矩陣，常用的方法是想辦法找到矩陣B使得：AB=E，或BA=E，此時(shí)的B就是所求的逆矩陣；3） 如果要判斷矩陣A是否可逆，就考慮上述的矩陣可逆的充要條件；（5） 關(guān)于伴隨矩陣1) 伴隨矩陣的定義，強(qiáng)調(diào)伴隨矩陣中元素的構(gòu)成規(guī)律；2) 伴隨矩陣常用的性質(zhì) 對(duì)于任意的方陣A均有此伴隨矩陣當(dāng)對(duì)于一般地方陣A，其伴隨矩陣的秩為：當(dāng)。（6） 關(guān)于矩陣的秩1） 矩陣秩的定義：在矩陣A中，有一個(gè)不等于0的r階子式，且所有r+1階子式（如果存在的話(huà)）全等于0，那么r稱(chēng)為矩陣A的秩，稱(chēng)為

11、矩陣A的最高階非0子式。規(guī)定0矩陣的秩是0。2） 矩陣的秩與初等變換的關(guān)系：對(duì)矩陣A實(shí)行初等變換其秩不變3） 矩陣秩的求法 應(yīng)用上面的結(jié)論，求矩陣A的秩其一般方法是4） 有關(guān)矩陣秩的重要結(jié)論若P、Q分別是可逆矩陣，且下列運(yùn)算有意義，則若A為矩陣，B為矩陣，且AB=0，則：此外，矩陣的秩常常和向量組的秩聯(lián)系起來(lái)，注意和向量組的秩的關(guān)系。二 常見(jiàn)題型題型一：有關(guān)矩陣運(yùn)算律的考察和相關(guān)概念的考查在考慮矩陣的乘積可交換時(shí)，常常利用來(lái)進(jìn)行。題型二： 矩陣可逆的計(jì)算與證明（1） 對(duì)于具體的三階、四階的數(shù)字矩陣求此逆，初等變換的方法一定要會(huì)，用伴隨矩陣的方法要基本清楚；（2） 如果給定了抽象的條件，要求，此

12、時(shí)注意將條件轉(zhuǎn)化為AB=E，或BA=E,此時(shí)的B就是要求的。在處理有關(guān)矩陣逆的問(wèn)題的時(shí)候，注意逆矩陣的性質(zhì)以及前面所講的矩陣可逆的充要條件。題型三： 關(guān)于伴隨矩陣逆矩陣常常與伴隨矩陣相聯(lián)系，此外伴隨矩陣也是多年來(lái)考察的熱點(diǎn)。這類(lèi)問(wèn)題多注意伴隨矩陣的定義以及與逆矩陣的關(guān)系。題型四： 有關(guān)初等矩陣及其初等變換的問(wèn)題題型五： 解矩陣方程將所給的條件轉(zhuǎn)化為矩陣方程：的矩陣A,C一般地都是可逆矩陣。對(duì)于矩陣方程，則這里的矩陣；或者先求出。對(duì)于其他類(lèi)型的矩陣方程類(lèi)似地可以給出求解方法。題型六： 關(guān)于矩陣的秩1 具體的數(shù)字矩陣求秩，用初等變換進(jìn)行，對(duì)矩陣A實(shí)行初等變換使之稱(chēng)為階梯形矩陣T,由此可求出矩陣A的

13、秩（在初等變換下，矩陣的秩不變）；2 利用矩陣的秩，等于矩陣A的行向量組的秩，等于矩陣A的列向量組的秩等性質(zhì)。3 注意矩陣秩的有關(guān)不等式。題型七： 求一個(gè)方陣的高次冪當(dāng)A是一個(gè)方陣的時(shí)候，才有意義，否則沒(méi)有意義。第三章 n維向量空間§3.1 n維向量的定義1. 定義 定義：個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組, 記作, 稱(chēng)為維行向量 稱(chēng)為向量的第個(gè)分量 稱(chēng)為實(shí)向量（下面主要討論實(shí)向量） 稱(chēng)為復(fù)向量 零向量：負(fù)向量：列向量：個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組, 記作, 或者, 稱(chēng)為維列向量零向量： 負(fù)向量：若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組§3.2 n維向量的線(xiàn)性運(yùn)算1定義線(xiàn)性運(yùn)算

14、：, 相等：若, 稱(chēng) 加法： 數(shù)乘： 減法： 2線(xiàn)性運(yùn)算律：, , (1) (5) (2) (6) (3) (7) (4) (8) §3.3 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性1線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表示對(duì)維向量及, 若有數(shù)組使得 , 稱(chēng)為的線(xiàn)性組合, 或可由線(xiàn)性表示例如，有 ，所以稱(chēng)是的線(xiàn)性組合，或可由線(xiàn)性表示。判別是否可由向量組線(xiàn)性表示的定理：定理1 向量可由向量組線(xiàn)性表示的充分必要條件是：以為系數(shù)列向量，以為常數(shù)項(xiàng)列向量的線(xiàn)性方程組有解，且一個(gè)解就是線(xiàn)性表示的系數(shù)。2向量組的線(xiàn)性相關(guān)性對(duì)維向量組, 若有數(shù)組不全為0, 使得 稱(chēng)向量組線(xiàn)性相關(guān), 否則稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)關(guān) 線(xiàn)性無(wú)關(guān)：對(duì)維向量組, 僅當(dāng)數(shù)組全為0時(shí)

15、, 才有 稱(chēng)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān), 否則稱(chēng)為線(xiàn)性相關(guān) 定理2 向量組線(xiàn)性相關(guān) 其中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線(xiàn)性表示推論：向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān) 任何一個(gè)向量都不可由其余個(gè)向量線(xiàn)性表示定理3 n維向量組線(xiàn)性相關(guān)有非零解，其中。推論：n維向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)只有零解，其中。定理4 若向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān), 線(xiàn)性相關(guān), 則可由線(xiàn)性表示, 且表示式唯一一些結(jié)論：(1) 單個(gè)零向量線(xiàn)性相關(guān),單個(gè)非零向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)；(2) 含零向量的任何向量組線(xiàn)性相關(guān)；(3) 基本向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)；(4) 有兩個(gè)向量相等的向量組線(xiàn)性相關(guān)；(5) m>n時(shí)， m 個(gè)n維向量必線(xiàn)性相關(guān). 特別：m=n+1 ； (6) n個(gè)n維向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)它們所

16、構(gòu)成方陣的行列式不為零；(7) n維向量空間任一線(xiàn)性無(wú)關(guān)組最多只能包含n 向量.§3.4 向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組1. 等價(jià)向量組 設(shè)向量組, 若可由線(xiàn)性表示, 稱(chēng)可由線(xiàn)性表示；若與可以互相線(xiàn)性表示, 稱(chēng)與等價(jià) (1) 自反性：與等價(jià) (2) 對(duì)稱(chēng)性：與等價(jià)與等價(jià)(3) 傳遞性：與等價(jià), 與等價(jià)與等價(jià)等價(jià)向量組的基本性質(zhì)：定理 設(shè)與是兩個(gè)向量組，如果(1) 向量組可以由向量組線(xiàn)性表示；(2) 則向量組必線(xiàn)性相關(guān)。推論1向量組可以由向量組線(xiàn)性表示，并且線(xiàn)性無(wú)關(guān)，那么。推論2 兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的等價(jià)的向量組，必包含相同個(gè)數(shù)的向量。2向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組設(shè)向量組為, 如果在中有個(gè)向量滿(mǎn)足： (

17、1) :線(xiàn)性無(wú)關(guān)； (2) 任意個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)（如果有個(gè)向量的話(huà)） 稱(chēng)為向量組為的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱(chēng)極大無(wú)關(guān)組。注：(1) 只含零向量的向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組；(2) 一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組的極大無(wú)關(guān)組就是其本身；(3) 一個(gè)向量組的任一向量都能由它的極大無(wú)關(guān)組表示。例如，在向量組中，首先線(xiàn)性無(wú)關(guān)，又線(xiàn)性相關(guān)，所以組成的部分組是極大無(wú)關(guān)組。還可以驗(yàn)證也是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。注：一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組一般不是唯一的。極大無(wú)關(guān)組的基本性質(zhì)：性質(zhì)1 任何一個(gè)極大無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。性質(zhì)2 向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都是等價(jià)的。定理 一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，且所包含向量的個(gè)數(shù)相同。3向量

18、組的秩與矩陣秩的關(guān)系3.1 向量組的秩定義3 向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)向量組的秩，記做。例如，向量組的秩為2.關(guān)于向量組的秩的結(jié)論:(1) 零向量組的秩為0；(2) 向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，向量組線(xiàn)性相關(guān)，(3) 如果向量組可以由向量組線(xiàn)性表示，則(4) 等價(jià)的向量組必有相同的秩。注：兩個(gè)有相同的秩的向量組不一定等價(jià)。 兩個(gè)向量組有相同的秩，并且其中一個(gè)可以被另一個(gè)線(xiàn)性表示，則這兩個(gè)向量組等價(jià)。3.2 矩陣的秩3.2.1 行秩、列秩、矩陣的秩把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些行向量組成，把矩陣的每一列看成一個(gè)向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些列向量組成。定義4：矩陣的行向量的秩，

19、就稱(chēng)為矩陣的行秩; 矩陣的列向量的秩，就稱(chēng)為矩陣的列秩。問(wèn)題：矩陣的行秩等于矩陣的列秩嗎？引理1: 矩陣的初等行(列)變換不改變矩陣的行(列)秩。引理2：矩陣的初等行(列)變換不改變矩陣的列(行)秩。綜上，矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。定理：矩陣的行秩矩陣的列秩。定義5：矩陣的行秩矩陣的列秩，統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的秩。記為r(A),或rankA，或秩A。推論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。3.2.2矩陣秩的求法首先復(fù)習(xí): 行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣的概念和特點(diǎn)。對(duì)于任何矩陣，總可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣。結(jié)論：行階梯形矩陣的秩非零行的行數(shù)求矩陣秩的方法:把矩陣用初

20、等行變換變成行階梯形矩陣，則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是原來(lái)矩陣的秩。求向量組的秩、極大無(wú)關(guān)組的步驟：(1) 向量組作列向量構(gòu)成矩陣；(2) (行最簡(jiǎn)形矩陣)(3) 求出B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組(4) A中與B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng)部分的列向量組，即為A的極大無(wú)關(guān)組。3.2.3 矩陣秩的性質(zhì)(1) 等價(jià)的矩陣，秩相同；(2) 任意矩陣，有；(3) 任何矩陣與可逆矩陣相乘，秩不變。 若可逆，對(duì)于任意的矩陣，有(4) 對(duì)于3.3 矩陣的秩與行列式的關(guān)系定理 階方陣， 的個(gè)行(列)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān) 即為可逆矩陣(也稱(chēng)為滿(mǎn)秩矩陣)的個(gè)行(列)向量組線(xiàn)性相關(guān) §3.5 向量空間1向量空間

21、的概念定義1： 設(shè) V 為n 維向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱(chēng)集合V 為向量空間說(shuō)明：集合 V 對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉指 有 有一般地，由向量組所生成的向量空間為 2向量空間的基與維數(shù)定義2：設(shè)V是向量空間，如果r個(gè)向量，且滿(mǎn)足 (1) 線(xiàn)性無(wú)關(guān)； (2) V中任何一向量都可由線(xiàn)性表示，那么，就稱(chēng)向量組是向量空間V的一個(gè)基，r成為向量空間V的維數(shù)，記作dimVr，并稱(chēng)V是r維向量空間。注：（1）只含有零向量的向量空間沒(méi)有基，規(guī)定其維數(shù)為0。 （2）如果把向量空間看作向量組，可知，V的基就是向量組的極大無(wú)關(guān)組，V的維數(shù)就是向量組的秩。 （3）向量

22、空間的基不唯一。3向量在基下的坐標(biāo)定義3：設(shè)向量空間的基為, 對(duì)于, 表示式唯一（定理2）, 稱(chēng)為在基下的坐標(biāo)（列向量）注： 為維向量, 在的基下的坐標(biāo)為維列向量因?yàn)榫€(xiàn)性無(wú)關(guān)的“維向量組”最多含有個(gè)向量, 所以由維向量構(gòu)成的向量空間的基中最多含有個(gè)向量, 故§3.5 歐式空間1 內(nèi)積的概念定義1：n維實(shí)向量，稱(chēng) 為和的內(nèi)積。 若為行向量，則。向量空間的性質(zhì)：(1) (2) (3) (4) 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)定義2 實(shí)數(shù)為向量的長(zhǎng)度(或模，或范數(shù))。 若，稱(chēng)為單位向量。把向量單位化：若則，考慮，即的模為1，為單位向量，稱(chēng)為把單位化。向量長(zhǎng)度的性質(zhì)：(1) 非負(fù)性：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(2)

23、齊次性：；(3) 柯西-施瓦茲不等式：；(4) 三角不等式：定義3：設(shè)實(shí)向量, 稱(chēng) 為與之間的夾角定義4：若, 稱(chēng)與正交, 記作 (1) ,時(shí), ； (2) 或時(shí), 有意義, 而無(wú)意義注：（1）零向量與任何向量都正交。 （2）定義了內(nèi)積的向量空間稱(chēng)為歐氏空間。2標(biāo)準(zhǔn)正交基的向量組定義5正交向量組：非零實(shí)向量?jī)蓛烧弧Ｕ粏挝幌蛄拷M(標(biāo)準(zhǔn)正交向量組)：非零實(shí)向量?jī)蓛烧?，且每個(gè)向量長(zhǎng)度全為1，即。定理：正交向量組是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。例如，書(shū)p100例3.5.1例1 已知三維向量空間中兩個(gè)向量正交，試求使構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基.3 正交矩陣定義6：A是一個(gè)n階實(shí)矩陣，若，則稱(chēng)為正交矩陣。定理：設(shè)A、B

24、都是n階正交矩陣，則 (1)或 (2)(3) 也是正交矩陣(4)也是正交矩陣。定理：n階實(shí)矩陣A是正交矩陣A的列（行）向量組為單位正交向量組。注：n個(gè)n維向量，若長(zhǎng)度為1，且兩兩正交，責(zé)備以它們?yōu)榱校ㄐ校?向量構(gòu)成的矩陣一定是正交矩陣。第四章 線(xiàn)性方程組一、基本概念及表達(dá)形式非齊次線(xiàn)性方程組的一般形式： (I)A=，。叫作(I)的系數(shù)矩陣，叫作(I)的增廣矩陣。(I) 還可改寫(xiě)為矩陣方程的形式：和向量形式：。齊次線(xiàn)性方程組的一般形式： (II)(II)叫作(I)的導(dǎo)出組，其矩陣形式為：向量形式為：。二、線(xiàn)性方程組解的性質(zhì) 1)如果a，b是齊次線(xiàn)性方程組的兩個(gè)解，則a+b也是它的解。2)如果a是

25、齊次線(xiàn)性方程組的解，則ka也是它的解。3)如果有a1，a2，as是的解，則k1a1+k2a2+ksas也是它的解ki為任意常數(shù)(i=1，2，s)。4)如果a，b是非齊次線(xiàn)性方程組的兩個(gè)解，則a-b是導(dǎo)出組的解。5)如果a是的解，b是的解，則a+b是的解。 6)如果是的解，為常數(shù)，且，則也是的解。三、線(xiàn)性方程組解的判定定理1、非齊次線(xiàn)性方程組 1）若秩秩，則無(wú)解。 2) 若秩秩具體做法：設(shè)的增廣矩陣記為，則經(jīng)過(guò)初等行變換可化為如下的階梯形矩陣(需要交換列時(shí)可重新排列未知量的順序)： ® ® 于是可知：（1）當(dāng)dr+1=0，且r=n時(shí)，原方程組有唯一解。（2）當(dāng)dr+1=0，且

26、r<n時(shí)，原方程組有無(wú)窮多解。（3）當(dāng)dr+1¹0，原方程組無(wú)解。當(dāng)方程組有解時(shí)，寫(xiě)出階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性方程組，并求解，就可得到原方程組的解。2、齊次線(xiàn)性方程組一定有解（至少有零解），且秩時(shí)，有唯一解；秩時(shí)，有非零解，且有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量。具體做法：由于齊次線(xiàn)性方程組的增廣矩陣的最后一列全為零，所以對(duì)施行初等行變換，可化為：于是可知：(1) 當(dāng)且r=n時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組僅有零解。(2) 當(dāng)r<n時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組除零解外，還有無(wú)窮多組非零解。特別地，當(dāng)m<n時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組必有非零解。當(dāng)m=n時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式D=0。四、

27、非齊次線(xiàn)性方程組與其對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組解的關(guān)系 有解秩秩 有唯一解只有零解。 有無(wú)窮多解有非零解。五、線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)及基礎(chǔ)解系的求法 1、齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)及基礎(chǔ)解系的求法設(shè)h1，h2，hs是齊次線(xiàn)性方程組的一組解，若1° h1，h2，hs線(xiàn)性無(wú)關(guān)；2° 方程組任何一個(gè)解都可由h1，h2，hs線(xiàn)性表出，則稱(chēng)h1，h2，hs是一個(gè)基礎(chǔ)解系。如果齊次線(xiàn)性方程組有非零解(r(A)=r<n)，則一定有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系含有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量。若的基礎(chǔ)解系含有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量，則的任意個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量都是的一個(gè)基礎(chǔ)解系。如果h1，h2，hn-r是齊次線(xiàn)性方程組

28、的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的全部解為：h=k1h1+k2h2+kn-r hn-r，其中ki(i=1，2，n-r)為任意常數(shù)。若齊次線(xiàn)性方程組有非零解，則r(A)=r<n，對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換，總可以化為如下形式：即方程組與下面的方程組同解其中xr+1， xr+2， xn為自由未知量對(duì)這nr個(gè)自由未知量分別取 ，（共nr個(gè)）可得方程組(1)的nr個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解h1=，h2=，hnr =，即為其基礎(chǔ)解系。2、齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)及基礎(chǔ)解系的求法設(shè)非齊次線(xiàn)性方程組的任意一個(gè)解均可表示為方程組的一個(gè)特解與其導(dǎo)出組的某個(gè)解之和。當(dāng)非齊次線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解時(shí)，它的通解可表示為：=k1h1+k

29、2h2+kn-r hn-r，其中為的一個(gè)特解，h1，h2，hn-r是齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，ki(i=1，2，n-r)為任意常數(shù)。III 題型歸納及思路提示 題型1 基本概念題（解的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)和結(jié)構(gòu)）題型2 求線(xiàn)性方程組的通解 題型3 含有參數(shù)的線(xiàn)性方程組的討論（歷屆考研的重點(diǎn)） 題型4 討論兩個(gè)方程組的公共解 題型5 有關(guān)線(xiàn)性方程組及其基礎(chǔ)解系的證明題 題型6 向量組與線(xiàn)性方程組的綜合題IV 本章小結(jié) 重點(diǎn)難點(diǎn)：1、含參數(shù)的非齊次線(xiàn)性方程組解的判定及討論； 2、線(xiàn)性方程組的解的結(jié)構(gòu)，特別要掌握基礎(chǔ)解系。 本章幾乎每年都要考查，也是線(xiàn)性代數(shù)部分的考試重點(diǎn)。一般出單項(xiàng)選擇題和計(jì)算題。要求考

30、生熟練掌握線(xiàn)性方程組的解的判定和結(jié)構(gòu)。由于三元一次方程的幾何意義是平面，故方程組是否有解也可轉(zhuǎn)換為平面的空間位置關(guān)系問(wèn)題。近幾年方程組也常與空間平面聯(lián)合出題，請(qǐng)大家注意方程組與空間平面的關(guān)系。第五章 特征值與二次型§1 向量的內(nèi)積在空間幾何中，內(nèi)積描述了向量的度量性質(zhì)，如長(zhǎng)度、夾角等.由內(nèi)積的定義：，可得且在直角坐標(biāo)系中將上述三維向量的內(nèi)積概念自然地推廣到n維向量上，就有如下定義。定義1 設(shè)有n維向量，稱(chēng)為與的內(nèi)積.內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，用矩陣形式可表為.若、為n維實(shí)向量，為實(shí)數(shù)，則下列性質(zhì)從內(nèi)積的定義可立刻推得.(i) x,yy,x，(ii)x,yx,y，(iii)x+y,zx,z

31、y,z.同三維向量空間一樣，可用內(nèi)積定義n維向量的長(zhǎng)度和夾角.定義2 稱(chēng)為向量x的長(zhǎng)度(或范數(shù))，當(dāng)x1時(shí)稱(chēng)x為單位向量.從向量長(zhǎng)度的定義可立刻推得以下基本性質(zhì)：（）非負(fù)性： 當(dāng)x0時(shí)，x，當(dāng)x時(shí)x.（）齊次性： xx.（）三角不等式： xyxy.（）柯西-許瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式: x，yxy.由柯西-許瓦茨不等式可得（x·y）.于是我們定義，當(dāng)，0時(shí)，稱(chēng)為x與y的夾角.當(dāng)x，y時(shí)，稱(chēng)x與y正交.顯然，n維零向量與任意n維向量正交.稱(chēng)一組兩兩正交的非零向量組為正交向量組.定理1 若n維非零向量為正交向量組，則它們?yōu)榫€(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組.證 設(shè)有使，分別用與上式兩端作內(nèi)

32、積(k，r)，即得因，故，從而，于是線(xiàn)性無(wú)關(guān).在研究向量空間的問(wèn)題時(shí)，常采用正交向量組作為向量空間的一組基，以便使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，那么n維向量空間的正交基(基中向量?jī)蓛烧?是否存在呢?定理 2 若是正交向量組，且n，則必存在n維非零向量x，使，x也為正交向量組.證 x應(yīng)滿(mǎn)足，即 記 則，故齊次線(xiàn)性方程組Ax必有非零解，此非零解即為所求.推論：個(gè)（）兩兩正交的n維非零向量總可以擴(kuò)充成Rn的一個(gè)正交基.定義3 設(shè)n維向量是向量空間的一個(gè)基，如果兩兩正交，且都是單位向量，則稱(chēng)之為V的一個(gè)正交規(guī)范基(標(biāo)準(zhǔn)正交基).若是V的一個(gè)正交規(guī)范基，則V中任一向量可由惟一線(xiàn)性表示，設(shè)為則由 ，得惟一確定，i,，r

33、.下面介紹將向量空間的任一基轉(zhuǎn)換為一正交規(guī)范基的Schmidt正交化方法，其具體步驟如下：取容易驗(yàn)證兩兩正交，非零.然后將它們單位化，即令則就是V的一個(gè)正交規(guī)范基.定義4 如果n階方陣滿(mǎn)足AAE（即AA），就稱(chēng)A為正交矩陣.用A的列向量表示，即是 亦即 由此得到n個(gè)關(guān)系式這說(shuō)明，方陣A為正交矩陣的充分必要條件是：A的列向量組構(gòu)成Rn的正交規(guī)范基，注意到，所以上述結(jié)論對(duì)A的行向量組也成立.由正交矩陣定義，不難得到下列性質(zhì).（i）若A是正交矩陣，則.（ii）若A是正交矩陣，則，也是正交矩陣.（iii）若，是n階正交矩陣，則AB也是正交矩陣.定義5 若T是正交矩陣，則線(xiàn)性變換yx稱(chēng)為正交變換.設(shè)yx

34、是正交變換，則有這表明，經(jīng)正交變換向量的長(zhǎng)度保持不變，這是正交變換的優(yōu)良特性之一.其實(shí)正交變換相當(dāng)于反射和旋轉(zhuǎn)的疊合，例如為正交矩陣，正交變換yx相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)角，再關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)反射.§2 方陣的特征值和特征向量定義6 設(shè)A為n階方陣，若存在數(shù)和非零n維向量x，使得xx， （5.1）則稱(chēng)為矩陣A的特征值，稱(chēng)x為矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.(5.1)式也可寫(xiě)成（）x. （5.2）(5.2)式的齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件是. （5.）(5.3)式的左端為的n次多項(xiàng)式，因此A的特征值就是該多項(xiàng)式的根.記f()=|-|，稱(chēng)為A的特征多項(xiàng)式，則矩陣A的特征值即為其特征多項(xiàng)式的根.方程(

35、5.3)稱(chēng)為A的特征方程，特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解.其個(gè)數(shù)為方程的次數(shù)(重根按重?cái)?shù)計(jì)算)，因此n階方陣A有n個(gè)特征值.設(shè)i為其中的一個(gè)特征值，則由方程（i）x0可求得非零解xpi，那么pi便是A的對(duì)應(yīng)于特征值i的特征向量(若i為實(shí)數(shù)，則pi可取實(shí)向量，若i為復(fù)數(shù)，則pi為復(fù)向量.)顯然，若pi是對(duì)應(yīng)于特征值i的特征向量，則kpi（k）也是對(duì)應(yīng)于i的特征向量，所以特征向量不能由特征值惟一確定，反之，不同的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量絕不會(huì)相等，也即一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值.的特征值和特征向量.歸納出具體計(jì)算特征值、特征向量的步驟.第一步：計(jì)算特征多項(xiàng)式AE.第二步：求出AE0的全部根，它們就是

36、A的全部特征值.第三步：對(duì)于A的每一個(gè)特征值i，求相應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組(iE)x0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則對(duì)于不全為零的任意常數(shù)，即為對(duì)應(yīng)于的全部特征向量.定理3 設(shè)1，2，m是方陣A的m個(gè)互不相同的特征值，p1，p2，pm依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，則p1，p2，pm線(xiàn)性無(wú)關(guān).證 設(shè)有常數(shù)x1，x2，xm，使x1 p1+ x2 p2+ xm pm =0,則A(x1 p1+ x2 p2+ xm pm) =0,即.類(lèi)推有把上列各式合寫(xiě)成矩陣形式，得(x1 p1，x2 p2，xm pm)=O.上式等號(hào)左邊第二個(gè)矩陣的行列式為范德蒙行列式，當(dāng)各不相同時(shí)，該矩陣可逆，于是有(x1 p1，x2 p2，xm pm

37、) =O，即xipi0，但pi0，故xi0，i1，2，m.所以向量組p1，p2，pm線(xiàn)性無(wú)關(guān).§3 相似矩陣定義7 設(shè)A與B是n階方陣，如果存在一個(gè)可逆矩陣P，使BP -1AP，則稱(chēng)A與B是相似的.定理 4 若n階方陣A與B相似，則A與B的特征多項(xiàng)式相同，從而A與B的特征值相同.證 因A與B相似，即有可逆矩陣P，使PAPB，故|BE| P -1APP -1(E)P| P -1（AE）P|P -1AEPAE.推論 若n階方陣A與對(duì)角矩陣diag (1，2，n)相似，則1，2，n即是A的特征值.證 因1，2，n是diag（1，2，n）的n個(gè)特征值.由定理4知1，2，n也就是A的特征值.關(guān)

38、于相似矩陣我們關(guān)心的一個(gè)問(wèn)題是，與A相似的矩陣中，最簡(jiǎn)單的形式是什么?由于對(duì)角矩陣最簡(jiǎn)單，于是考慮是否任何一個(gè)方陣都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣呢?下面我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.如果n階矩陣A能相似于對(duì)角矩陣，則稱(chēng)A可對(duì)角化.現(xiàn)設(shè)已找到可逆矩陣P，使P -1APdiag（1，2，n）.把P用其列向量表示為（1，2，n），由P -1AP，得APP，即A（p1，p2，pn）（p1，p2，pn）diag（1，2，n）（1 p1，2 p2，n pn）.于是有A pii pi （i1，2，n）.可見(jiàn)P的列向量pi就是A的對(duì)應(yīng)于特征值i的特征向量.又因P可逆，所以p1，p2，pn線(xiàn)性無(wú)關(guān).由于上述推導(dǎo)過(guò)程可以反推回去.

39、因此，關(guān)于矩陣A的對(duì)角化有如下結(jié)論：定理5 n階方陣A可對(duì)角化的充分必要條件是：A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量p1，p2，pn，并且以它們?yōu)榱邢蛄拷M的矩陣P，能使P -1AP為對(duì)角矩陣.而且此對(duì)角矩陣的主對(duì)角線(xiàn)元素依次是與p1，p2，pn對(duì)應(yīng)的A的特征值1，2，n.現(xiàn)在的問(wèn)題是：對(duì)于任一矩陣A，是否一定存在n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，答案是否定的，在上節(jié)例7中A的特征方程有重根.但仍能找到3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，但在例6中A的特征方程亦有重根，卻找不到3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.從而例6中矩陣A不能與對(duì)角矩陣相似.在矩陣中有一類(lèi)特殊矩陣，即實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是一定可以對(duì)角化的，并且對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A不僅能找到可逆矩

40、陣P，使得P -1AP為對(duì)角陣，而且還能夠找到一個(gè)正交矩陣T，使T -1AT為對(duì)角矩陣.定理6 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).證 設(shè)復(fù)數(shù)為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值，復(fù)向量x為對(duì)應(yīng)的特征向量，即xx，x0.用表示的共軛復(fù)數(shù)，表示x的共軛復(fù)向量，則于是有及兩式相減，得.但因x，所以故，即，這表明是實(shí)數(shù).顯然，當(dāng)特征值為實(shí)數(shù)時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組是實(shí)系數(shù)線(xiàn)性方程組，從而必有實(shí)的基礎(chǔ)解系，即對(duì)應(yīng)于的特征向量必可取實(shí)向量.定理7 設(shè)1，2是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的兩個(gè)特征值，p1，p2是對(duì)應(yīng)的特征向量，若12，則p1與p2正交.證 1p1Ap1，2p2Ap2，12，因A對(duì)稱(chēng)，故1p1(1 p1)(Ap1)p1Ap1A，于是1

41、 p1p2p1Ap2= p1(2p2)= 2 p1p2即（12）p1p20，但12，故p1p20，即p1與p2正交.定理8 設(shè)A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則必存在正交矩陣T，使其中，n是A的特征值.在這里，我們主要介紹如何具體算出上述正交矩陣T，由于T是正交矩陣，所以T的列向量組是正交的單位向量組，且如前所述，T的列向量組是由A的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量組成，因此對(duì)T的列向量組有三條要求：1°每個(gè)列向量是特征向量.2°任意兩個(gè)列向量正交.3°每個(gè)列向量是單位向量.于是求正交矩陣T使T -1AT為對(duì)角矩陣的具體步驟如下：第一步：求出A的所有不同的特征值，s.第二步：求出A對(duì)應(yīng)于每

42、個(gè)特征值i的一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，即求出齊次線(xiàn)性方程組（iE）x0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.并且利用Schmidt正交化方法，把此組基礎(chǔ)解系正交規(guī)范化，再由定理7知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，如此可得A的n個(gè)正交的單位特征向量.第三步：以上面求出的n個(gè)正交的單位特征向量作為列向量所得的n階方陣即為所求的正交矩陣T，以相應(yīng)的特征值作為主對(duì)角線(xiàn)元素的對(duì)角矩陣，即為所求的T -1AT.§4 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型前面我們主要研究線(xiàn)性問(wèn)題，但在實(shí)際問(wèn)題中還存在大量非線(xiàn)性問(wèn)題，其中最簡(jiǎn)單的模型就是二次型，本節(jié)用矩陣工具來(lái)研究二次型，介紹化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的幾種方法.定義8 n元變量的二次齊次多項(xiàng)式 （5.

43、4）稱(chēng)為二次型.當(dāng)aij為復(fù)數(shù)時(shí)，f稱(chēng)為復(fù)二次型，當(dāng)aij為實(shí)數(shù)時(shí), f稱(chēng)為實(shí)二次型，我們僅限于討論實(shí)二次型.取ajiaij則2aijxixjaijxixjajixjxi.于是(5.4)式可寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)形式 （5.5）記 （5.6）則(5.5)式可以用矩陣形式簡(jiǎn)單表示為其中A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.例如，二次型用矩陣表示就是：顯然這種矩陣表示是惟一的，即任給一個(gè)二次型就惟一確定一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣，反之任給一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣也可惟一確定一個(gè)二次型.即二者之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們把對(duì)稱(chēng)矩陣A稱(chēng)為二次型f的矩陣，A的秩稱(chēng)為f的秩.也稱(chēng)f為對(duì)稱(chēng)矩陣A的二次型.在平面解析幾何中討論二次曲線(xiàn)時(shí)，經(jīng)常采用的是把二次曲線(xiàn)的一般方程通

44、過(guò)坐標(biāo)變換化成標(biāo)準(zhǔn)型再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)型作出曲線(xiàn)形狀的判斷.在這里，我們對(duì)二次型也類(lèi)似地進(jìn)行討論.即對(duì)于一般的二次型找到一個(gè)非退化的線(xiàn)性變換（即C是n階可逆矩陣）xy，使得即利用非退化線(xiàn)性變換將二次型化為只含平方項(xiàng)的形式.這種只含平方項(xiàng)的二次型，稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型(或法式).定理9 任給可逆矩陣C，令BCAC，如果A為對(duì)稱(chēng)矩陣，則B亦為對(duì)稱(chēng)矩陣，且R(B)R(A).此時(shí)，也稱(chēng)A與B合同.證 因AA，故B（CAC）CACCACB即B為對(duì)稱(chēng)矩陣.又因?yàn)锽CAC，而C與C均為可逆矩陣，故A與B等價(jià)，于是R（B）R（A）.這定理說(shuō)明經(jīng)可逆變換xCy后，二次型f的矩陣A變?yōu)閷?duì)稱(chēng)矩陣CAC，且二次型的秩不變.矩陣

45、的合同關(guān)系與相似關(guān)系一樣，都滿(mǎn)足反身性，對(duì)稱(chēng)性，傳遞性.要使二次型f經(jīng)可逆變換xCy變成標(biāo)準(zhǔn)型，這就是要使也就是要使CAC成為對(duì)角矩陣.因此，問(wèn)題歸結(jié)為：對(duì)于對(duì)稱(chēng)矩陣A，尋求可逆矩陣C，使CAC為對(duì)角矩陣.由上節(jié)的定理8知，任給實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A，總有正交矩陣T，使AT即TAT為對(duì)角矩陣.把此結(jié)論應(yīng)用于二次型，即有如下定理.定理10 任給二次型f，總有正交變換xTy，使f化成標(biāo)準(zhǔn)型其中是f的矩陣A（aij）的特征值.用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，這在理論上和實(shí)際應(yīng)用上都是非常重要的，而此方法的具體步驟就是上節(jié)所介紹的化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)角矩陣的三個(gè)步驟.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，具有保持幾何形狀不變的

46、優(yōu)點(diǎn).如果不限于用正交變換，那么還可有多種方法把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型.如配方法，初等變換法等等 一般地，任何二次型都可用上面兩例的方法找到可逆變換化成標(biāo)準(zhǔn)型，且由定理9可知，標(biāo)準(zhǔn)型中所含有的項(xiàng)數(shù)就是二次型的秩.我們知道化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型就是尋求可逆矩陣C，使CAC成為對(duì)角矩陣.這里A為二次型的矩陣，而任一可逆矩陣又可分解為若干初等矩陣之積.從而我們有定理11 對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A，一定存在一系列初等矩陣E1,E2,Es，使得關(guān)于初等矩陣，易見(jiàn)記.則上述定理還表明：對(duì)A同時(shí)施行一系列同類(lèi)的初等行、列變換，得到對(duì)角矩陣，而相應(yīng)地將這一系列的初等列變換施加于單位陣，就得到變換矩陣C.其具體做法是將n階單位陣E放

47、在二次型的矩陣A的下面，形成一個(gè)2n×n矩陣.對(duì)此矩陣作相同的行、列變換，把A化成對(duì)角形的同時(shí)，把單位陣化成了可逆變換矩陣C，這就是初等變換法.§5 正定二次型上節(jié)我們用不同的方法，把一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型.從例16和例18可知，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，可用不同的變換矩陣，且所得標(biāo)準(zhǔn)型也不相同.即二次型的標(biāo)準(zhǔn)型是不惟一的.但正如我們前面所說(shuō)，二次型的秩是惟一的.在化標(biāo)準(zhǔn)型的過(guò)程中是不變的.即一個(gè)二次型的兩個(gè)不同標(biāo)準(zhǔn)型中含有的非零平方項(xiàng)數(shù)是相同的，都等于二次型的秩.不僅如此，在實(shí)可逆變換下，標(biāo)準(zhǔn)型中正系數(shù)的個(gè)數(shù)是不變的(從而負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)不變，正、負(fù)系數(shù)個(gè)數(shù)之差符號(hào)差也不變).即有如

48、下定理.定理12(慣性定理) 設(shè)有二次型fxx，它的秩為r，有兩個(gè)實(shí)的非退化線(xiàn)性變換xy，及xz，使及則中正數(shù)的個(gè)數(shù)與中正數(shù)的個(gè)數(shù)相同.定義9 二次型f(x1, x2, xr)的標(biāo)準(zhǔn)型中，系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p稱(chēng)為此二次型的正慣性指數(shù)，系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)rp稱(chēng)為負(fù)慣性指數(shù)，spr稱(chēng)為符號(hào)差.這里r為二次型f的秩.比較常用的二次型是pn的情形.定義10 設(shè)有二次型f（x）xAx，如果對(duì)任何x0，都有f（x）（顯然f（0）0），則稱(chēng)f為正定二次型，稱(chēng)A為正定矩陣；如果對(duì)任何x0，都有f（x）0，則稱(chēng)f為負(fù)定二次型，其矩陣A為負(fù)定矩陣.定理13 fxA x為正定二次型的充分必要條件是：它的正慣

49、性指數(shù)等于n.證 設(shè)可逆變換xCy，使f（x）f（Cy）.設(shè)ki(i，n)，任給x0，有yCx0，從而f（x）f（Cy）,即f是正定二次型.反之假設(shè)有某個(gè)s (1sn)，使ks0.則當(dāng)yes時(shí)f（Ces）= ks0.這與f為正定相矛盾.故必有ki(i，n).推論 對(duì)稱(chēng)矩陣A正定，當(dāng)且僅當(dāng)A的特征值全為正.完全相似地，我們有二次型f為負(fù)定二次型當(dāng)且僅當(dāng)它的負(fù)慣性指數(shù)等于n，對(duì)稱(chēng)矩陣A為負(fù)定矩陣當(dāng)且僅當(dāng)它的所有特征值全為負(fù).下面我們不加證明的介紹判定矩陣正(負(fù))定的一個(gè)充分必要條件，即定理14 對(duì)稱(chēng)矩陣A正定，當(dāng)且僅當(dāng)A的各階(順序)主子式全為正，即：對(duì)稱(chēng)矩陣A負(fù)定當(dāng)且僅當(dāng)A的奇數(shù)階(順序)主子式

50、為負(fù)，偶數(shù)階(順序)主子式為正，即：第六章 二 次 型一、二次型及其矩陣表示 1、二次型的定義：以數(shù)域P中的數(shù)為系數(shù)，關(guān)于的二次齊次多項(xiàng)式稱(chēng)為數(shù)域上的一個(gè)元二次型，簡(jiǎn)稱(chēng)二次型。2、二次型的矩陣表示設(shè)階對(duì)稱(chēng)矩陣則元二次型可表示為下列矩陣形式：其中。對(duì)稱(chēng)矩陣稱(chēng)為二次型的系數(shù)矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)為二次型的矩陣。矩陣的秩稱(chēng)為二次型的秩。二次型與非零對(duì)稱(chēng)矩陣一一對(duì)應(yīng)。即，給定一個(gè)二次型，則確定了一個(gè)非零的對(duì)稱(chēng)矩陣作為其系數(shù)矩陣；反之，給定一個(gè)非零的對(duì)稱(chēng)矩陣，則確定了一個(gè)二次型以給定的對(duì)稱(chēng)矩陣為其系數(shù)矩陣。3、線(xiàn)性變換設(shè)和為兩組變量，關(guān)系式其中為實(shí)數(shù)域(或復(fù)數(shù)域)中的數(shù)，稱(chēng)為由到線(xiàn)性變換，簡(jiǎn)稱(chēng)線(xiàn)性變換。線(xiàn)性變換的矩陣表示，設(shè)階矩陣，則從到線(xiàn)性變換可表示為下列矩陣形式：，其中，稱(chēng)為線(xiàn)性變換的系數(shù)矩陣。1) 當(dāng)時(shí)，線(xiàn)性變換稱(chēng)為非退化的線(xiàn)性變換。2) 當(dāng)是正交矩陣時(shí)，稱(chēng)為正交線(xiàn)性變換，簡(jiǎn)稱(chēng)正交變換。3) 線(xiàn)性變換的乘法。設(shè)是由到的非退化的線(xiàn)性變換，而是到的非退化的線(xiàn)性變換，則由到的非退化的線(xiàn)性變換為：。二次型經(jīng)過(guò)非退化的線(xiàn)性變換化為 (其中) 仍是一個(gè)二次型。4、矩陣的合同關(guān)系：對(duì)于數(shù)域上的兩個(gè)階矩陣和，如果存在可逆矩陣，使得則稱(chēng)和是合同的，記為。合同關(guān)系性質(zhì)：1) 反身性：；2) 對(duì)稱(chēng)性：，則；3) 傳遞性：，且，則。5、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形1) 實(shí)數(shù)域(或復(fù)數(shù)域)上的任意一個(gè)