選修2-1空間向量的知識(shí)點(diǎn)歸納的總結(jié)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案第三章空間向量與立體幾何1 .空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線(xiàn)段表示.同向等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一或相等的 向量。(2)空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線(xiàn)段來(lái)表示。2 .空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下(如圖)運(yùn)算律：加法交換律：a b =b a加法結(jié)合律：(a - b) c = a (b c)數(shù)乘分配律：, (a b) = a ' .b3 .共線(xiàn)向量。(1)如果表示空間向量的有向線(xiàn)段明在的直線(xiàn)平彳或重合，那么這些向量 也叫做共線(xiàn)向量或平行向量，5平行于b ,記作a/b。當(dāng)我

2、們說(shuō)向量a、b共線(xiàn)(或a/ b )時(shí)，表示a、b的有向線(xiàn)段所在的直 線(xiàn)可能是同一直線(xiàn)，也可能是平行直線(xiàn)。(2)共線(xiàn)W量定理：空間任意兩個(gè)向量 a、b (b W0), a/ b存在實(shí)數(shù) 入,使3 =入b 。4 .共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。4.4(2)共面向量定理：如與兩個(gè)向量a,b不共線(xiàn)，P與向量a,b共面的條件 是存在實(shí)數(shù)x,y使p=xa + yb。5 .空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量存在一個(gè)唯一的4序?qū)崝?shù)組 x,y,z, %p = xa + yb+zc。.若三向量ib,c不共面，我們

3、把a(bǔ),b,C叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向 量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)O, A,B，C苦不的嗎，鳴空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù) x,y,z,使 OP=xOA+yOB + zOC。6.空間兩向量的夾角:已知兩個(gè)非零向量鼻、豆，在空間任取一點(diǎn)礪.(兩個(gè)向量的起點(diǎn)一定要相同)，則叫做向量 £與舌的夾角,6=且占=父6口規(guī)定白石 乏0河：日=0。00<90°9 = 90。90° <6 <180口9 = 180口7 .空間向量的直角坐標(biāo)系：(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz中，對(duì)

4、空間任一點(diǎn) A,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 (x,y,z),使OA =xi +yi+zk,有序?qū)崝?shù)組(x, y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz中的坐標(biāo)，記作 A(x,y,z), x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。精彩文檔(2)右手直角坐標(biāo)系：右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以90°角度轉(zhuǎn) 向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向；且長(zhǎng)為1,這個(gè)基底叫單位正(3)若科一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直, 交基底,用i, j,k表示。(4.空間向量的直4坐標(biāo)運(yùn)算律：百(a =(ai,a2,a3), b/bh),則a+b = (ai +b,a2 +b2,a3 十b3),3b=(a 一

5、b|,a2 b2, a3 b3),九a =(九a1，入a2,九a3)(九R R),a b =為b +a2b2 +a3b3,a b u a=九bi, a2 = 7息,a3 = ?=b3 (九 R R)或=2 =九T .n b2 b3a_Lbu a1b + a2b2 + a3b3 =0。若 A(。y,Zi) , BXmz),則 AB = % %y? yz 乙)。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。.則|a | 二2225,2 /; 2 7-2'-2+ a2 +a3 , |b|=Jbb=Jb1 +b2 +b3(5)模長(zhǎng)公式：若a =(自昌,%)，

6、b = (b,b2,t3),(6)夾角公式：cos (a b.a %a1bla2b2a3b31a 11b |, &2a22a32bi2 - b2242(7)兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(x,y1,Zi), B(X2,y2Z), 則| AB|= AB2 = (X2-X1)2 (y2-yi)2 (Z2-Z1)2 ,或dA,B =m：(X2-X1)2(y2-y1)2(Z2-Z1)2X1X2 y(8 )空 間線(xiàn)段 P1(x1 , y1 ,Z1), P2(x2, y2, z2)的中點(diǎn) M (x, y, z)的 坐標(biāo)：y2 Z1Z2,22(9)球面方程：x2+y2+z2 = R28 .空間向量的數(shù)量積

7、。T(1)闿叫量的夾角及其表示：已知兩非手向量 a,b ,在空叫壬取一點(diǎn)O, 作OA = a,OB=b,則/AOB叫做向量a與b的夾角，記作 <a,b> ;且規(guī)定H 一 ，4 4 ，一一 n 一_ 4 . 40W<a,b>En,顯然有<a,b >=<b,a >右<a,b>=,則稱(chēng)a與b互相垂直，2記作：a _L b。.T(2)向量的模：設(shè)oA=a,則有向線(xiàn)段oa的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：|:|°.4.(3)向J的數(shù)量f:已知向量 a,b ,則|a| b | cos<a,b >叫做a, b的數(shù)量 積,記作

8、a b ,即，b = |：| |b | cosca, b >0(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：0。 |4 |2 = 3 a = (a)2 ,= J(a)2(5)空器向量數(shù)¥積運(yùn)算(昌 b= Z(a b) =a Gb)。 a ,b =b a(4換律)。a 3 C)= a b a c (分配律)9、空間向量在立體幾何證明中的應(yīng)用：AB =(ai,a2,a3),CD =(2,4)一 (1)證明AB/CD ,即證明AB/CD ,也就是證明a1 =九。e2 =?加2e3 =?m3或a a2 a3， ， . J、n b2 b3_(2)證明 AB_LCD ,即證明 AB CD =0,也就是證明

9、a1bl + a2b2+a3b3 = 0(3)證明AB a (平面)(或在面內(nèi))，即證明點(diǎn) 垂直于平面的法向量或證明 AE與平面內(nèi)的基底共面；一(4)證明ABla ,即證明AB平行于平面的法向量或證明 AB垂直于平面內(nèi)的 兩條相交的直線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的向量；(5)證明兩平面«/P (或兩面重合)，即證明兩平面的法向量平行或一個(gè)面的 法向量垂直于另一個(gè)平面；(6)證明兩平面« 1P ,即證明兩平面的法向量垂直或一個(gè)面的法向量在另一 個(gè)面內(nèi)。10.運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題的步驟:(1)建坐標(biāo)系，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)(2)求相關(guān)向量的坐標(biāo)11.用向量方法來(lái)解決立體幾何中的空間角的問(wèn)題:(3)運(yùn)用

10、向量運(yùn)算解題(2)直線(xiàn)與平面的夾角:設(shè)直線(xiàn)l的方向向量分別為a ,平面a的法向量分別為U,TT直線(xiàn)l與平面口所成的角為0( 0< 6 < -), sine =;a,u(3)二面角：0 <9 <n方向向量法:COS© = COS <.小巧 > COS 9 = -COSVMpMz >法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角； 同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角12 .利用“方向向量”與“法向量”來(lái)解決距離問(wèn)題 (1)點(diǎn)與直線(xiàn)的距離：d - |AP sin(先求 cos ：二 AP, a )n|(2)點(diǎn)到平面的距離：d|n|H臂 下出空間一點(diǎn)

11、P到平面口的距離為d,已知平面口的一個(gè)法向量為n，且 AP與n不共線(xiàn)，分析：作POO 貝d=1 PO |=JPA| cos_APQ.PO ±a , n_La, . . PO / n.d=|PA 11cos PA,n i=1|n|/APO=|cos PA,n |._ .n ABd = CD(3)異面直線(xiàn)間的距離:已知a,b是異面直線(xiàn)，CD為a,b的公垂線(xiàn)，n是直線(xiàn)CD的方向向量，a, b分別在直 線(xiàn)a,b上n ABd =CD(4)其它距離問(wèn)題：平行線(xiàn)的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離) 直線(xiàn)與平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離) 平面與平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離)13 .補(bǔ)充：(1)三余

12、弦定理設(shè)AC是業(yè)內(nèi)的任一條直線(xiàn)，且BC± AC垂足為C,又設(shè)AO與AB所成的角 為耳，AB與AC所成的角為82 , AO與AC所成的角為9 .則cos6 = co1 cos% .(2)三射線(xiàn)定理若夾在平面角為 中的二面角間的線(xiàn)段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是也，外 ,與二面角的棱所成的角是8,則有sin2 sin2 - sin2 1 sin2 %2sinsin 12 cos ;曲一生區(qū)* W180 -侔他)(當(dāng)且僅當(dāng)6=90C時(shí)等號(hào)成立).(3)點(diǎn)Q到直線(xiàn)1距離h=J(|a|b|)2(a b)2一T |a|(點(diǎn)P在直線(xiàn)1上，直線(xiàn)1的方向向量a=PA,向量b=PQ).(4)異面直線(xiàn)上兩

13、點(diǎn)距離公式d =、h2 m2 n2 + 2mncos? .d = h2 m2 n2 -2mn cos' EA, AF ' .d = Jh2 +m2 +n2 -2mncos中 (中=e 一 AA' -F) '(兩條異面直線(xiàn)a、b所成的角為8 ,其公垂線(xiàn)段AA的長(zhǎng)度為h.在直線(xiàn)a、 '.b上分別取兩點(diǎn) E、F, AE =m, AF =n , EF =d).(5)，三個(gè)向其和阻平方公式、4 4 42 % 士 屯4 4 4 4 -4 4(a b c) = a bc 2a b 2b c 2c a2吟 吟 "*-!T4二 a b c 2 | a | | b

14、| cos： a,b '： 2 |b | | c| cos b,c； 2 | c| | a | cos； c,a(6)長(zhǎng)度為l的線(xiàn)段在三條兩兩互相垂直的直線(xiàn)上的射影長(zhǎng)分別為 “ ?夾角分別為斗、4、工，則有22222 2 22 .1 2- 2 一l =l1 l2 l3 = cos 11 cos % cos 飛=1 = sin % sin2 sin ?=2 .(立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的公式是其特例).(7)面積射影定理SS- - cos - .'. 一 . 一(平面多邊形及其射影的面積分別是 S、S ,它們所在平面所成銳二面角的 為).(8)斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是l,側(cè)面積和體積分別是 S斗棱柱側(cè)和V斜棱柱，它的直截面 的周長(zhǎng)和面積分別是G和S1,則S斗棱柱側(cè)=ci lV斜棱柱=51 .(9)歐拉定理(歐拉公式)V +F -E =2(簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F). E二各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地