利用導(dǎo)數(shù)解參數(shù)范圍的八種策略

1、導(dǎo)數(shù)解參數(shù)問題的八種策略策略一：分離變量法所謂分離變量法，是通過將兩個變量構(gòu)成的不等式(方程)變形到不等號(等號)兩端，使兩端變量各自相同，解決有關(guān)不等式包成立、不等式存在(有)解和方程有解中參數(shù)取值范圍的一種方法.兩個變量，其中一個范圍已知，另一個范圍未知.解決問題的關(guān)鍵：分離變量之后將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域的問題.分離變量后，對于不同問題我們有不同的理論依據(jù)可以遵循.以下結(jié)論均為已知x的范圍，求a的范圍：結(jié)論一、不等式f(x)2g(a)恒成立之f(x)min之g(a)(求解f(x)的最小值)；不等式f(x)Wg(a)包成立=f(x)maxg(a)(求解f(x)的最大值)；不等式f(x

2、)Eg(a)存在解之f(x)導(dǎo)g(a)(即求解f(x)的最小值).案例1、(2009福建卷)若曲線f(x)=ax3+lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a取值范圍是.1，一、分析：f(x)=2ax(x0)x11-依題方程2ax+=0在(0,依)內(nèi)有解，即a=2(x0)=a=(-0,0)x2x1 c一案例2、(2008湖北卷)右f(x)=x+bln(x+2)在(-1,+)上是減函數(shù)，2則b的取值范圍是()A.-1,二)B.(-1，二)C.(-二，-1D.(-二，-1)分析：由題意可知f(x)=-x+bw0,在xW(-1,代)上恒成立，x2即bMx(x+2)=(x+1)2-1在xw(1,+=c)上恒

3、成立，由于x#-1，所以bW-1,案例3、(2008廣東卷)設(shè)awR,若函數(shù)y=eax+3x,x=R有大于零的極值點，則()1_1A.a飛一3B.a：-3C.aD.a:二33分析：f(x)=3+aeax,若函數(shù)在xR上有大于零的極值點，即f(x)=3+aeax=013有正根。當(dāng)有f(x)=3+ae=0成立時，顯然有a0,此時x=-ln(-),aa案例4、(2008江蘇卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ax33x+1(xwR),若對于任意的xwLl,l都有f(x)至0成立，則實數(shù)a的值為解：當(dāng)x=0,則不論a取何值，f(x戶0顯然成立；當(dāng)04,從而a；3131-2x當(dāng)一1Wx0xxxg(x)在區(qū)間-1,0)上

4、單調(diào)遞增，因此g(xman=g(-1)=4,從而aE4,綜上a=4分離變量法是近幾年高考考查和應(yīng)用最多的一種。解決問題時需要注意：(1)確定問題是包成立、存在、方程有解中的哪一類；(2)確定是求最大值、最小值還是值域.高三復(fù)習(xí)過程中，很多題目都需要用到分離變量的思想，除了基礎(chǔ)題目可以使用分離變量，很多壓軸題也開可以用這種方法去求解。&*2案例5、(2005湖北卷)已知向量a=(x,x+1),a=(1-x,t),若f(x)=a*b在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍.232解析：由向重的數(shù)重積止義，f(x)=x(1-x)+(x+1)t=-x+x+tx+t2-f(x)=-3x+2x+t.若

5、f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，則有fx)0,2,t3x-2x在(-1,1)上包成立.八，、2121右令g(x)=3x-2x=-3(x)-33在區(qū)間卜1,1上，g(x)=g(-1)=5,故在區(qū)間(-1,1)上使t-g(x)恒成立,max只需tg(-1)即可,即t5.即t的取值范圍是5,).利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解參數(shù)問題的題型，是高考命題的一種趨勢，它充分體現(xiàn)了高考 “能力立意”的思想。對此，復(fù)習(xí)中不能忽視。案例6、已知函數(shù)f (x)= lg Q+a _2 I,若對任意 xw 2,-He)恒有 f(x)0 ,試確 x定a的取值范圍。解：根據(jù)題意得：x+芻一2 1在x w 12,口:

6、恒成立, x即：a a-x2+3x在x w 12,也止恒成立，設(shè) f x = -x23sw(+ 3x ,貝U f (x )= xq I當(dāng) x=2 時，f(xax=2 所以 a2 案例7、已知xwj-oo/時，不等式1十2圍。+(a-a24x0包成立，求a的取值范解：令 2x =t , ：xW(-oa,1tJ0, 2.ct +1所以原不等式可化為：a2 -a 胃,要使上式在tw(0,2上包成立，只須求出f(t)=：在k(0,2】上的最小值即可22t111111一11.,ft=-2,It2ttt24t_2.32313ftmin=f2=4a：4-2：a：2策略二：主次元變換法案例1、.(2009北京

7、卷)設(shè)函數(shù)f(x)=xekx(k0)(I)求曲線y=f(x)在點(0,f(0)處的切線方程；(H)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(田)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.分析：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力.(I)(H)題略，對于題(田)，若借助(H)的結(jié)論入手，須分-1E-1或-121兩種情況求解，學(xué)生不一定kk能考慮得很全面；通過思考，不妨變換一下主次元，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的問題求解。(田)解：由題意f(x)=(1+岡6隊之0在xW(-1,1)上包成立即1+kx至0在xw(1,1)上恒成立1+k-1)20-1又k

8、=0；k的取值范圍是匚1,0仙0,1】.本題通過變換主元的思想，巧妙地應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性，避免了對k的討論，簡化了問題的求解。案例2、若不等式2x1m(x2-1)對滿足mE2的所有m都成立，求x的取值范圍。解：設(shè)f(m)=m(x21)(2x1),對滿足mM2的m,f(m)0何成立，2f-2二0-2x-1-2x-1：二0-17i3二222解得：x0,如果過點(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線，證明：-abf(a)解：(1)略y=(3t21)x2t3.(2)如果有一條切線過點(a,b),則存在t,使b=(3t2-1)a-2t3.若過點(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線，則方程2t3-3a

9、t2+a+b=0有三個相異的實數(shù)根.記g(t)=2t33at2+a+b,WJg(t)=6t26at=6t(ta).當(dāng)t變化時，g(t),g(t)變化情況如下表：t(-0,0)0(0,a)a(a,+s)g(t)+00+g(t)增函數(shù)極大值a+b減函數(shù)極小值b-f(a)增函數(shù)如果過(a,b)可作曲線y=f(x)三條切線，即g(t)=2t3-3at2+a+b=0有三個相異的實數(shù)根,則有0，即-abf(a).b-f(a):二0.本題的求解，充分利用函數(shù)的極值，把原本復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為極值的正負(fù)問題，使問題變得更加直觀、充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性案例2、(2009陜西卷)已知函數(shù)f(x)=x33ax1,a#0

10、(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II芹f(x)在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。解析：(1)略(2)因為“*)在*=1處取得極大值，所以f(_i)=3(-1)2-3a-0,.a=1.所以f(x)-x3-3x-1,f(x)=3x2-3,由f(x)=0解得x,=_1,%=1。由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，“*)在*=1處取得極大值f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3o因為直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個不同的交點，由f(x)的單調(diào)性可知,mw(31)案例3.(2008四川卷).已知x=3函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-

11、10x的一個極值點。(I)求a；(H)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(田)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍。分析：(I)(H)略(m)由(H)知，f(x春(-1,1)內(nèi)單調(diào)增加，在(1,3)內(nèi)單調(diào)減少,在(3,依)上單調(diào)增加，且當(dāng)x=1或x=3時，f(x)=0所以f(x)的極大值為f(1)=161n2-9,極小值為f(3)=32ln2-21因止匕f16=162-101616ln2-9=f1fe-2-1-3211=-21f：3所以在f(x)的三個單調(diào)區(qū)間(-1,1),(1,3),(3,口)直線y=b有y=f(x)的圖象各有一個交點，當(dāng)且僅當(dāng)f3:二b：二f1因止匕，b的

12、取值范圍為(32ln221,16ln29)。充分利用函數(shù)的極值和數(shù)形結(jié)合的思想，把問題轉(zhuǎn)化為極值問題，進(jìn)一步分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在解題中的作用。策略四、零點法案例1、(2009浙江文)已知函數(shù)f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b=R).(I)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是-3,求a,b的值；(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍.解析：(I)略(H)f(x)=3x2+2(1a)xa(a+2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)不單調(diào)，等價于導(dǎo)函數(shù)f(x)在(-1,1)既能取到大于0的實數(shù)，又能取到小于0的實數(shù)即函數(shù)f(x)在(-1,1)上存

13、在零點，根據(jù)零點存在定理，有f-1)f1)0,即：3+2(1-a)-a(a+2)3-2(1-a)-a(a+2)0整理得：(a+5)(a+1)(a1)20,解得-5a-1案例2、(2004新課程卷)若函數(shù)y=1x3-lax2+(a-1)x+1在區(qū)間32(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6,+oo)內(nèi)為增函數(shù),試求實數(shù)a的取值范圍.解：f(x)=x2-ax(a-1)=(x-1)X-(a-1)1令f(x)=0,解得x=1或x=a-1,并且aw2,否則f(x)在整個定義域內(nèi)單調(diào)。由題意，函數(shù)f(x)的圖象應(yīng)有三個單調(diào)區(qū)間且先增后減再增，而已知f(x)在(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6,+8)內(nèi)為增函數(shù)，可

14、知函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，在x=a-1處取得極小值。4a-K6得5WaW7所以a的取值范圍是5,7應(yīng)用函數(shù)的零點問題，解決相關(guān)的問題，也能取到意想不到的功效。策略五、構(gòu)造新函數(shù)法一定分類討論？對于某些不容易分離出參數(shù)的包成立問題，可利用構(gòu)造函數(shù)的方法，再借助新函數(shù)的圖像、性質(zhì)等來求解，可以開拓解題思路、化難為易。案例1、若xw-2,2時，不等式x2+ax+3之a(chǎn)恒成立，求a的取值范圍。解：設(shè)f(x)=x2+ax+3-a,則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)xL2,21時，f(x)的最小值非負(fù)a一.7(1)當(dāng)a4時，f(xL=f(-2)=7-3a0a4所以2mn3a不存在；(2)當(dāng)2WaW2 即2-4a 4

15、 時，aa2g，=七尸-。70,-6a2X-4a44a2(3)當(dāng)一aA2即：aY時，f(xmi=f2)=7+a與二a7又a：-4-7-a:-4綜上所得：-7a0都有f(x)ax,求a的取值范圍.解：(I)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)=ex+e/.而ex+e2,exe=2,故f(x)2.(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立).(II)法一：令g(x)=f(x)-ax,于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立.則g，(x)=f(x)-a=ex+e“-a,由(I)可知g(x)=ex+e”a2a,由2a_0=a三2當(dāng)aE2時，g(x)在(0,Q)上為增函數(shù)，從而有x0時，g(x)g(0),即f(x)ax.

16、案例3、(2006全國卷II)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1),若對所有的x0,都有f(x)ax成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：令g(x)=(x+1)ln(x+1)ax(x-1)于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立.對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：gx)=ln(x+1)+1a令gx)=0,解得x=ea-1當(dāng)xre仃1時，gx)0,g(x)為增函數(shù)，當(dāng)1xea,1,gx)0都有g(shù)(x戶g(0)等價條件為ea-1-10.由此得a&1,即a的取值范圍是(一0,1.通過適時構(gòu)造新的函數(shù)，簡化了問題，把求參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，對解題起到了畫龍點睛的作用。策略六、二次函數(shù)法某些函數(shù)可轉(zhuǎn)

17、化為二次函數(shù)的模型，則可利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求解。案例1.(2008天津卷)已知函數(shù)f(x)=x4+ax3+2x2+b(xR),其中a,bR.10(I)當(dāng)an-10時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；3(II)若函數(shù)f(x)僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；(m)若對于任意的a-2,2,不等式f(x盧1在-1,1上恒成立，求b的取值范圍.分析：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力.(I)略(H)解：f(x)=x(4x2+3ax+4),顯然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根.為使f(x)僅在x=0處有極值，必須4x2+3ax+4

18、0成立，即有=9a264W0.解些不等式，得-8a8,這時，f(0)=b是唯一極值.33因此滿足條件的a的取值范圍是-8,8.33(m)解：由條件a-2,2,可知A=9a .綜上所得：0 a a 3-640,從而4x2+3ax+4a0恒成立.當(dāng)x0時，(x)0時，(x)0.因此函數(shù)f(x)在1,1上的最大值是f(1)與f(-1)兩者中的較大者.為使對任意的a-2,2，不等式f(x)E1在1,1上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)!f(1)-1f(一1)三1b2a即二一2a,在aw-2,2上恒成立.b-2a所以bE,因此滿足條件的b的取值范圍是(,-4.案例2、(2004河北卷)已知f(x)=ax策略八：數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合法是先將不等式兩端的式子分