波的相干疊加

1、光學是嚴格的近似理論？！難道是好萊塢電影True Liesor Eye Wide Closed？嚴格：其理論有嚴格的數學邏輯，自成體系，而且都經過實驗的檢驗。近似：幾何光學，有近軸近似；波動光學，也有相應的近軸近似和遠場近似。為什么要近似？難道精確的理論不好嗎？其一、近似是可行的。物理學是實驗科學，被實驗檢驗為正確的結論，就是好的。其二、物理學是實用的。近似可以減少大量不必要的工作。其三、有時理論上的精確在實驗上是無法實現的。更深層次的思考（也許是錯的??？）光具有波粒二象性。但其波動性不如波長更長的電磁波，而粒子性又不及波長更短的X-ray、電子等，所以無論從哪一方入手，都難以對其特性進行精確

2、的測量。具有波粒二象性的體系本身就具有不確定性。即一對共軛的物理量是無法同時精確測量的。對于光，在宏觀儀器前仍具有微觀特性，但在微觀儀器處又表現出宏觀特性，所以無論從微觀還是宏觀，都難以進行不受限制的精確測量。第三章 波的相干疊加第一部分、波的疊加原理處理分立波列的疊加第二部分、惠更斯菲涅耳原理處理連續(xù)分布的次波中心發(fā)出次波的疊加3.1 波的疊加原理 兩列波在空間相遇一內容一內容 1波的獨立傳播定律從不同振源發(fā)出的波在空間相遇時，如振動不十分強，各個波將保持各自的特性不變，繼續(xù)傳播，相互之間沒有影響。2波的疊加原理幾列波在相遇點的合振動是各個波獨自在該點振動的矢量疊加（矢量和）。成立的條件傳播

3、介質為線性介質。振動不十分強。在振動很強烈時，線性介質會變?yōu)榉蔷€性的。注意要點：不是強度的疊加，也不是振幅的簡單相加，而是振動矢量（瞬時值）的疊加。二疊加方法 同頻率、同振動方向的單色光。 1代數法（瞬時值法） )cos(111tA)cos(222tA21)cos(2122122212AAAAA)coscos/()sinsin(22112211AAAAtg)cos(tA合振動2復數法 111ieAU 22ieU2121iieAeA振幅和位相的表達式與代數方法相同21UUUiAe3振幅矢量法 在復空間中 ，如圖所示 21UUUU1U2U11A22AA連續(xù)多個振幅矢量的疊加122334各個矢量按次

4、序首尾相接，夾角為相應的位相差三疊加的強度 光的頻率是1014 Hz，其變化周期比儀器的響應時間小得多光強的測量值只能是一定時間內的平均值I0212221cos12dtAAAA12兩列波在空間P點的位相差021dtAdtAAAA012212221)cos(21在觀察時間內不是定值，而是隨時間改變，是時間的隨機函數，則有 )(12t0cos0dt212221IIAAI是兩列光的強度簡單相加，沒有干涉現象 ?；蛘哒f它們是不相干的在觀察時間內不隨時間改變，則有 coscos10dt2121221cos2IIAAAAIcos221AA被稱為干涉項 即兩列波在空間不同的地點有不同的位相差，疊加后有不同的

5、強度，出現干涉現象。只與空間位置有關，即不同的空間點具有不同的位相差，因而有不同的干涉項的數值。j21cos2122212AAAAI221)(AA 21212IIII21II 干涉相長 ) 12(j1cos2122212AAAAI221)(AA 21212IIII21II 干涉相消兩列波在空間相遇，使得光的能量重新分布，稱為干涉現象。能夠產生干涉的光，稱為相干光 四相干條件 （1）、穩(wěn)定（2）、相同 （3）、存在相互平行的振動分量。 212122212|21III總光強是兩列波的光強之和，無干涉。兩列波的振動方向相互垂直21按矢量疊加數量關系光強是振幅的平方如兩振動不平行，可將其中一個正交分解

6、為和另一個分別平行、垂直的分量，再進行疊加。其中垂直的分量作為背底，不參與干涉。 21x2y221xxyyee221)(cos2212221yyAAAAIcos2Asin2Acoscos22121AAII22xA五不同頻率單色波的疊加 振動方向相同、傳播方向相同，頻率不同的兩列波 1)cos(10kztA2)cos(220zktA222)()(cos2)()(cos2212121210zkktzkktA)cos()cos(20zktzktAmm)cos()cos(20zktzktAmm形成光學拍，拍頻為m ，強度分布隨時間和空間變化。結論：1、不同頻率單色光疊加形成光學拍；2、不同頻率的定態(tài)光

7、波疊加形成非定態(tài)光。 )(2cos1 2)(cos420220zktAzktAImmmm光強隨時間變化，沒有穩(wěn)定的光強分布。3.2 兩列單色波的干涉花樣 一兩相干個點光源的干涉一兩相干個點光源的干涉發(fā)出球面波，在場點P相遇。 )2cos()cos(01111011111trnAtrkA)2cos()cos(02222022222trnAtrkA1S2S1r2r),(zyxP可設初位相均為零， 位相差 )(21122rnrn1122rnrn)(212rr jrr122) 12(12jrr光程差 在真空中 干涉相長 干涉相消 j=0，1，2，3，4， ，干涉級數交錯的亮條紋和暗條紋在空間形成一系列

8、雙葉旋轉雙曲面。在平面接收屏上為一組雙曲線，明暗交錯分布。干涉條紋為非定域的，空間各處均可見到。 1S2S楊氏雙孔干涉 軸外物點和場點都滿足近軸條件兩點光源間距為d，可以求得發(fā)出的光波在屏上的復振幅1S2S1r2r),(yxPD)2exp(2)2/(exp),(2221xDikdDyxdDikDAyxU)2exp(2)2/(exp),(2222xDikdDyxdDikDAyxU),(),(),(21yxUyxUyxU)2exp()2exp(2)2/(exp222xDikdxDikdDyxdDikDA)2cos(2)2/(exp2222xDkdDyxdDikDA合成的復振幅為 )2(cos4)2

9、(cos4)2(cos2202222xDkdIxDkdDAxDkdDAI強度分布為 20)(DAI 從一個孔中出射的光波在屏中心的強度 是一系列等間隔的平行直條紋 )2(cos420 xDkdII干涉相長（亮條紋）jxDkd2dDjkdDjx2干涉相消（暗條紋）2) 12(2jxDkddDjkdDjx21222) 12(dDx 相鄰亮（暗）條紋間隔XYXndDjkdDjx2ndDx相鄰亮（暗）條紋間隔如光源和接收屏之間充滿介質，則條紋間距為 三干涉條紋的反襯度（可見度） 反襯度的定義：在接收屏上一選定的區(qū)域中，取光強最大值和最小值，有mMmMIIII221221)(,)(AAIAAImM當A1

10、=A2時，=1，反襯度最大當A1A2時，即A1、A2相差懸殊時，=0，反襯度最小2221212AAAA22121)(12AAAA四兩束平行光的干涉 兩列同頻率單色光，振幅分別為A1，A2；初位相為10，20 ，方向余弦角為（1 ， 1 ， 1） ，（2 ， 2 ， 2） 研究在Z=0的波前上的位相 ZXOY101111)0coscos(cos),(yxkyx202222)0coscos(cos),(yxkyx)()cos(cos)cos(cos),(10201211ykxkyxcos2),(212221AAAAyxIZ=0)()cos(cos)cos(cos),(10201211ykxkyx)

11、 12(2jj)()cos(cos)cos(cos),(10201211ykxkyx) 12(2jj亮、暗條紋都是等間隔的平行直線，形成平行直線族，斜率為 1212coscoscoscos12121212coscos)cos(cos2coscos)cos(cos2kykxyfxfyx11條紋間隔 或條紋的空間頻率xyXY3.2 相干光的獲得 一原子發(fā)光的特點一原子發(fā)光的特點原子躍遷發(fā)光。光源中大量的原子，隨機發(fā)光。不同原子發(fā)出的光波是不相干的。同一原子在不同時刻所發(fā)出的光波也是不相干的。普通光源所發(fā)的光是不相干的。二相干光的獲得 得到相干光的唯一方法，是設法將一列光波分為幾部分，這幾部分光波來

12、自同一列光波，是相干的。這就是干涉的物理本質，是一列光波自己和自己的干涉，也只有自己和自己之間才有可能發(fā)生干涉。干涉的物理過程Ui，時刻t光源中第i個原子發(fā)出的波列Ui被分為相干的兩部分Ui疊加形成的干涉強度分布為Ii不同波列是不相干的，相互間按強度相加 所有波列形成的干涉強度為NiiiiiiNiiAAAAII12122211cos2楊氏干涉光源發(fā)出的任一列光波，經過雙縫或雙孔，分成相干的兩列，在空間相遇，產生干涉。光源發(fā)出的不同光波波列是不相干的，各自干涉后，相互之間只能進行強度疊加。上述物理過程為：第一步是同一列波的相干疊加；第二步是不同波列間的強度疊加（非相干）。干涉的特點干涉是一列一列

13、分立的光波之間的相干疊加干涉是一列光波自己和自己的干涉干涉的結果，使得光的能量在空間重新分布，形成一系列明暗交錯的干涉條紋干涉之后的光波場仍然是定態(tài)波場下一節(jié)3.3惠更斯菲涅耳原理 一光的衍射現象 波繞過障礙物繼續(xù)傳播，也稱繞射 。二次波 光波是振動的傳播，波在空間各處都引起振動。波場中任一點，即波前上的任一點，都可視為新的振動中心。這些振動中心發(fā)出的光波，稱為次波。 次波又可以產生新的振動中心，繼續(xù)發(fā)出次波，使得光波不斷向前傳播。新的波面即是這些振動中心發(fā)出的各個次波波面的包絡面。用次波的模型可以很容易解釋光的衍射現象。波前上的兩個點，即使是鄰近的，發(fā)出的次波也是不同的。嚴格地說，是沒有“光

14、線”或“光束”之類的概念的。三次波的疊加-惠更斯菲涅耳原理 1次波的相干疊加 在任一光源S周圍作一封閉曲面，S在場點P引起的振動就是上所有點發(fā)出的次波在P點引起的振動的矢量和。波前上任一個次波中心Q，及Q點周圍一面積元d，可以先求出該面積元發(fā)出的球面次波在場點P處引起的復振幅dU(P) 0nPQdrR)(PUd)()(0QUPUdrePUdikr)( dPUd)(),()(0FPUd瞳函數 球面波 次波中心面元面積 傾斜因子 dreQUKFPUdikr)(),()(00將波前上所有次波中心發(fā)出的次波在P點的振動疊加，即得到該波前發(fā)出的波傳到P點時的振動，即該波前發(fā)出的次波在P點引起的振動。這就

15、是惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理。 2菲涅耳基爾霍夫衍射積分公式 P點的復振幅就是所有次波中心發(fā)出的次波的相加。由于波前是一連續(xù)分布的曲面，求和即為曲面積分 dreFQUKPUikr),()()(002/ieiK)cos(cos21),(00Fdxdyzzyyxxezzyyxxi222)()()(2)()()(222R與法線n間的夾角 0菲涅耳菲涅耳基爾霍夫衍射積分公式基爾霍夫衍射積分公式 ),(),(),(00FyxUKyxUr與法線n之間的夾角 0nPQdrR)(PUd012SP1四衍射的分類 根據衍射障礙物到光源和接收屏的距離分類。距離有限的，或至少一個是有限的，為(Fresnel)菲

16、涅耳衍射；距離無限的，即平行光入射、出射，為夫瑯和費(Fraunhofer)衍射。菲涅耳衍射夫瑯和費衍射3.4菲涅耳衍射（圓孔、圓屏） 一衍射現象一衍射現象圓孔衍射：接收屏上可見同心圓環(huán)，接收屏沿軸向移動，圓環(huán)中心明暗交替變化。圓屏衍射：接收屏上可見同心圓環(huán)，接收屏沿軸向移動，圓環(huán)中心永遠是亮點。 二半波帶法分析菲涅耳圓孔衍射 設法求解菲涅耳基爾霍夫衍射積分公式。將積分近似化為求和。將波前（球面）劃分為一系列的同心圓環(huán)帶，每一帶的中心到P點的距離依次相差半個波長。這些圓環(huán)帶稱為半波帶。b2b23bb2b25b3bRPR0r20r0r230r20r半波帶的次波在球面上，各次波波源初位相相等。相鄰

17、半波帶發(fā)出的次波，到達P點時，光程差為/2，位相差為，位相相反，振動方向相反，相互抵消。計算各個半波帶的面積Sk。)cos1(222RRhSdRdSsin22)(2)(cos02202rRRrrRRkkkdrrRRrd)(sin02/kdrkSdS 0rRRrSkkRdRM2/drkrbr 01krhkDSP0B球冠面積SMP中第k個半波帶的面積dreFQUKPUikr),()()(0nkkkikrkrSeFQUK1)()()(0)(kikkkeFrSUKikkkkierSeUK)cos1 (210nkkkA112)cos1 () 1(菲涅耳基爾霍夫衍射積分公式nkkkAPU112)cos1

18、() 1()(kkirSeUKA01) 1)(cos1 (kkkAU為第k個半波帶發(fā)出的次波在P點的復振幅 可見，相鄰波帶次波的位相相反，且k越大的波帶，振幅越小 。)cos1 (kkAA為第k個半波帶發(fā)出的次波在P點的振幅nkkU111) 1(knkkA)2121()2121(21) 1()(543321111AAAAAAAAPUnkkk) 1(2111nnAA解釋：波帶數n為奇數，亮點；n為偶數，暗點 圓屏，前n個半波帶被遮住n0nA121)(APA1121)(nknAAPA自由傳播始終亮點總是亮點半波帶方程 半波帶奇偶性的數量關系RMkrhkDS0BRbr 0P2022)(hrrkk20

19、2022hhrrrkhrrk00222222)(hRhhRRkRh22020202)2(rkrrrk020)2(rkkkr)(200rRkrhhrrk002Rh2k的數值及奇偶性由r0決定。2k)11(02RrkRh2)(2200rRkrR002RrrRkk半波帶方程00rRRkr三一般情形下的波帶 將每一個半波帶劃分為兩個，則相鄰波帶發(fā)出的次波在P點位相差為/2，即第一個半波帶中的第一個波帶和第二個波帶的位相分別為/4和3/4；再將每一個進一步細分，第一個半波帶中的四個波帶的位相差為/4，位相依此為/16，5/16，9/16，13/16，。可以將任何一個半波帶進一步細分為n個，得到更多的波帶

20、，相鄰波帶間光程差為/2n，位相差為/n。n很大時，位相差很小，用振幅矢量法，原來的每個半波帶的波矢變?yōu)橛蒼個小波矢組成的半圓。半波帶的進一步劃分如果最后一個不是整數個半波帶，也可以得到合振動。不是整數個半波帶四波帶片 用半波帶將波面分割，然后只讓其中的奇數（或偶數）半波帶透光，即制成波帶片。透過波帶片的光，在場點P處光程差依次為，位相相同，振動方向也相同，合振動大大增強，衍射后的光強大大增強。 相當于將光波匯聚到P點。一般情況下，可以認為前面幾個半波帶的傾斜因子相差不大，即滿足近軸條件，所以他們發(fā)出的次波的振幅近似相等。如果波帶片共有20個半波帶，則在P點的復振幅為11953110)(AAA

21、AAPU21100)(API1021)(APU21041)(API相差400倍。可見波帶片具有使光匯聚的作用 光強自由傳播時波帶片方程將半波帶方程寫成如下形式 同透鏡的公式 任一波帶片，都只適用于一個波長。焦距是固定的。對平行光，波帶片為平面的。但除主焦點之外，還有許多次焦點。 2011kkrRkfk2021rkk在距離r0處看來，半徑為k的波帶是第k個半波帶。 f1)11(02Rrkk021rkk12345fr 0021rkk20fr 123456789102原來的每一個半波帶可以分為2個，此次波相互抵消，是暗點021rkk30fr 1234567892原來的每一個半波帶分為3個，其中2個的

22、次波抵消，還剩余1個，為次亮點，即次焦點。當波帶片不變時，r0改變，會引起k的改變，即可劃分的半波帶數目改變。r0減小，到r0/2時，k=2k，暗點；r0減小，到r0/3時，k=3k，亮點，次焦點；r0減小，到r0/4時，k=4k，暗點 12,5,3mffff一系列次焦點 )11(02Rrk021rk3.5 夫瑯和費單縫衍射 衍射裝置 平行光入射，用凸透鏡成象于像方焦平面。相當于各點發(fā)出的次波匯聚于無窮遠處。即是平行光的相干疊加。 衍射強度的分布一、用振幅矢量方法求解沿方向的次波，匯聚到P點，從狹縫上下端發(fā)出的次波光程差和位相差分別為sinaL sinka若將狹縫均分為N個平行部分，相鄰兩部分

23、的光程差和位相差分別為NasinNkasinaPaP00對于沿任意方向的入射光在積分平面前的光程差0sinaL 總光程差為)sin(sin0aL0各個次波的波矢相互平行，合矢量的振幅為A0N0各個次波的波矢振幅相等，相鄰波矢間夾角為，合矢量的振幅為AA為長度為A0的一段圓弧的弦。圓心角為ABRR)2/sin(2 RA22sin0 AA0AR0AA2sin2sinsin0kakaAAuuAsin0A0為次波在焦點處合振動的振幅sin21kau sin21kau sinsinsin0aaA用積分方法 P點光來自同一方向，傾斜因子相同。不同方向的光，滿足近軸條件，傾斜因子為常數1。 2/a2/ax0

24、00r0rBAfr2/2/00)()(aaikrikrdxreKdreQUKPU)(00QUKK sinxr2/2/sin0001)(aaikxikrdxeerKPUsin11sin2sin2000aikaikikreeikerKsin)sin2sin(21000ikkaierKikruuUsin0sin21)sin21sin()(000kakareQUaKikrsin00 xrrrr1),(0F000)(reQUKikrQ點發(fā)出的次波在焦點所引起的復振幅 0000)(reQUaKUikr 通過整個狹縫的次波在焦點上復振幅 sinsin21akauuuUsin0為單縫（單元）衍射因子 *000

25、UUI 220sin)(uuIPI強度分布 sin21)sin21sin()()(000kakareQUaKPUikruuUsin0象方焦點處的光強狹縫上下移動，條紋不變j=0j=1j=0j=1透鏡上下移動，條紋相應移動相互平行的狹縫，衍射條紋完全重合0入射光與光軸不平行，光程差包括兩部分)sin(sin0 x)sin(sin0au衍射角都從透鏡的光心算起衍射花樣的特點 1極值點 0)sin(uu0sincos2uuuuutgu ,47.3,46.2,43.1sinaaa,)1(,2,1sinajajaa極大值極小值jausin0j極值點2亮條紋角寬度（相鄰暗條紋之間的角距離a20零級主極大

26、其它高級次條紋 a衍射的反比關系 角距離0應用 Babinet原理adreFQUKPUikra),()()(00bdreFQUKPUikrb),()()(00)()(PUPUbaadreFQUKikr),()(00bikrdreFQU),()(00badreFQUKikr),()(00)(0PU相當于自由傳播 平行光入射到互補屏時，按幾何光學原理成象，除象點之外，處處振動為零。 )()(PUPUba)()(PIPIba 細絲與狹縫的衍射花樣，除零級中央主極大外，處處相同。激光測徑儀的原理 互補屏除零級中央主極大外，處處相同 3.6 夫瑯和費矩孔衍射 同單縫相比，矩孔在兩個相互垂直的方向上對光的

27、傳播進行限制兩個方向的參數是相互獨立的最后的結果應該是兩個方向的單元衍射因子的乘積)()(),(yUxUyxU),(yxQ物點),(yxP場點r0rr0rrQOOxyzxyO)coscoscos(xyxeeerr)sinsinsin(321xyxeeerab00rrOQr)(yxeyexrrr0)sinsin(21yx)sinsin(210yxr)sinsinsin(321xyxeeedxdyreFyxUKPUikr),(),()(00滿足近軸條件，傾斜因子為1 dxdyreUKPUyxikikr0)sinsin(0210)0 , 0()(2/2/sin2/2/sin00210)0 , 0()

28、(bbikyaaikxikrdyedxereUKPU221100sinsin)0 , 0(0uuuureabUKikr11sinau 22sinbu 2222110)sin()sin()(uuuuIPI衍射強度分布 2000|)0 , 0(|0reabUKIikr矩孔發(fā)出的光波在F點產生的光強 3.5夫瑯和費圓孔衍射 波長為平行光，通過半徑為R的圓孔，匯聚在透鏡的像方焦平面上。r0r),(QsincosrzROABxy1r0rQAB平面內在xoz0r軸xQA cosOA OAsinrz0rOAB平面xozQAB dreFUKPUikikrsincos000),(),()(ddereUKikik

29、rsincos000)0 , 0(20000)sincos2cos()0 , 0(0ddreUKRikrsin/sin2kRRm20000)coscos()0 , 0()(0dRmdreUKPURikrmmJreRUKUikr)(2)0 , 0()(10200J1（m）：一階貝塞爾函數 02!1)2(!)!1() 1()(2kkkmkkmmJ! 3)2(41! 2)2(31)2(211224232mmmm210)(2)(mmJII0Aivry斑二衍射花樣的特點 同心圓環(huán)，明暗交錯，不等距。 中央主極大（零級斑）：Aivry斑，占總強度的，半角寬度 0 圓孔直徑為，透鏡焦距f，則Aivry斑半徑

30、l DR22. 161. 00Dtgfl22. 10三、望遠鏡的分辨本領 平行光經透鏡成象，由于衍射效應，總有一Aivry斑，而不是一個幾何點。兩束光，則有兩個Aivry斑。兩個物所成的Aivry斑如靠得很近，可能無法分開。采用Rayleigh判據：兩光斑的角距離恰等于一個光斑的半角寬度時，為可以分辨的最小極限。 下一頁DDm22. 100Rayleigh(瑞利)判據001n2n四干涉與衍射的區(qū)別和聯系 干涉是分立光束之間的相干疊加，這些光束是有限條，或雖然有無限多條，但是光束之間是離散的、不連續(xù)的、可數的。直接應用波的疊加原理。衍射是連續(xù)分布的無限多個點光源（次波中心）發(fā)出的光波的相干疊加。要應用惠更斯菲涅耳原理，或菲涅耳基爾霍夫衍射積分公式。無論干涉或衍射，都是人為的結果。無論是衍射還是干涉，光波在相遇點都是振動的疊加，都遵循波的疊加原理。干涉時，光的能量在空間均勻分布，各個亮條紋有相差不大的能量；衍射時，光的能量主要集中在一個特殊的衍射級上，更接近于幾何成象的情況。幾何光學與衍射的極限光線是幾何光學中光的模型。從惠更斯的次波傳播的觀點出發(fā)，任何形式的光線都是不存在的。因為任何形式的波