9平面向量的數(shù)量積

1、平面向量的數(shù)量積一、要點(diǎn)梳理1、平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量和，它們的夾角為，我們把數(shù)量 叫做向量和的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作 .規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為 .兩個(gè)非零向量和垂直的充要條件是 . 兩個(gè)非零向量和平行的充要條件是 .2、平面向量的數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積等于的長度與在的方向上的 的乘積。3、平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)（1） .（2）非零向量和， .（3）當(dāng)和同向時(shí)，= . 當(dāng)和反向時(shí)，= . = . = .（4） .（5）= 4、平面向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律（1）= （交換律）（2）= = = （為實(shí)數(shù)）5、平面向量的數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量=，=，則= .由此得到（

2、1）若=，則= 或= .（2）設(shè)A，B，則A、B兩點(diǎn)間的距離= (3) 設(shè)兩個(gè)非零向量和，=，=，則 .二、基礎(chǔ)自測1、 設(shè)=(1,-2) ，=(- 3,4),=(3,2),則 = 2、已知平面向量=（1，3），=（4，2），與垂直，則是 3、已知向量和的夾角為，則 4、已知向量(cosx，sinx)，()，且x0，則= 5、已知，則在方向上的投影為 三、典型例題：題型一：求兩向量的數(shù)量積例1、（1）在中，AB=5，AC=4，求(2)若=（3，），=（2，1），試求題型二：求向量的模例2、已知向量和的夾角為，且=4，=2，求（1）；（2）；（3）題型三：利用向量的數(shù)量積解決夾角問題例3、已知非

3、零向量和，且，求與的夾角。變式訓(xùn)練：設(shè)兩向量滿足的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍題型四：平面向量的垂直問題例4、已知，（）(1) 求證：與相互垂直(2) 若與的模相等，求（其中k為非零實(shí)數(shù)）平面向量的數(shù)量積（鞏固練習(xí)）1、若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，滿足條件(8ab)·c30，則x_.2、設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，則 3、已知圓的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么的最小值為 4、若e1、e2是夾角為的單位向量，且向量a2e1e2，向量b3e12e2，則a·b_.5、已知向量且則的值是_6、已知，

4、是與垂直的單位向量，則 .7、已知向量，如果是鈍角，則的取值范圍是 8、已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足的值等于 9、設(shè)向量與的夾角為，則= 10、已知向量，且，則的最小值為 11、已知向量，若，則= 12、已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，若，則的值為 . 13、已知非零向量夾角為，且滿足，則的最大值為 14、在中，在線段上，則 OABCEFxy15、已知是圓上三點(diǎn)，則 16、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長為，為的中點(diǎn)，若為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則的最大值為 17、在直角坐標(biāo)系中，分別是與軸，軸平行的單位向量，若直角三角形中，則實(shí)數(shù) 18、在邊長為的正三角形中，則 19、在直角梯形中，是腰上的動點(diǎn)，則的最小值為 20、設(shè)是內(nèi)部的一點(diǎn)，且，則與的面積之比為 21、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。(1) 求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2) 設(shè)實(shí)數(shù)t滿足()·=0，求t的值。22、已知A（1） 若,求的值；（2） O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若,且求與的夾角。23、已知向量，設(shè)函數(shù).()求函數(shù)的最大值；()在銳角三角形中，角、的對邊分別為、， 且 的面積為，,求的值.24、已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中.（1） 若，且，求的坐標(biāo)；（2） 若，且與垂直，求與的夾角.25、已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為,向量，且 （