高三-圓的標準方程和一般方程

1、復(fù)習(xí)課：圓的標準方程和一般方程教學(xué)目標重點：掌握圓的標準方程和一般方程，能根據(jù)題目條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角髨A的方程，理解圓的一般方程和標準方程之間的關(guān)系，并能互化.靈活運用圓的幾何性質(zhì)解決問題.了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程.難點：與圓有關(guān)的綜合題的求解方法.能力點：等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用,邏輯推理能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練.自主探究點：了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程,利用參數(shù)方程解決求最值問題.易錯點：運算出現(xiàn)錯誤，對問題分析不全面導(dǎo)致漏解.學(xué)法與教具1.學(xué)法：學(xué)生動腦、動手總結(jié)規(guī)律,梳理知識，解決問題.2.教具：投影儀.一、【知識梳理】1.圓的定義：平面內(nèi)與定點的距離等

2、于定長的點的集合(軌跡)叫圓.在平面直角坐標系內(nèi)確定一個圓需要三個獨立條件：如三個點,半徑和圓心(兩個坐標)等.2.圓的方程(1)標準式： ，其中為圓的半徑，為圓心. (2)一般式：，其中圓心為，半徑為.(3)過圓與直線（或圓）交點的圓系方程：i) ，ii) (時為一條過兩圓交點的直線，該方程不包括圓C2）(4)二元二次方程表示圓的充要條件：.二、【范例導(dǎo)航】題型1：求圓的方程【例1】(1)求經(jīng)過點,圓心在直線上的圓的方程;(2)求圓心在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長為的圓方程.【分析】本題可以設(shè)圓的標準方程，建立關(guān)于圓心和半徑的三個方程構(gòu)成的方程組.【解析】（1）解法一：設(shè)圓的標準方程

3、為根據(jù)題意可得，解得所求圓的方程為.解法二：因為圓過兩點，所以圓心在線段的中垂線上，又因為圓心在直線上，聯(lián)立解得.進而求得圓的半徑，圓方程為：.(2)因為圓與軸相切，且圓心在直線上，故圓方程可設(shè)為又因為直線截圓得弦長為，則有，解得，故所求圓方程為：或【點評】求圓的方程時，根據(jù)題目條件選擇合適的方程形式，同時注意圓的幾何性質(zhì)的充分利用，如在第（1）問解法二中，利用圓心在線段的中垂線上，可以使簡化運算.第（2）問求解時注意兩組結(jié)果.變式訓(xùn)練：求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程. 【解析】由題意，設(shè)所求圓的方程為圓圓與直線相切，且半徑為4，所以圓心的坐標為或又已知圓的圓心的坐標為，半徑為3

4、若兩圓相切，則兩圓心之間的距離或.(1) 當(dāng)時，或 (無解)，故可得.所求圓方程為或(2) 當(dāng)時，或 (無解)，故所求圓的方程為或【點評】對本題，易發(fā)生以下誤解：(1)忽略圓心在軸下方的情形，（2）只考慮兩圓相外切的情況.題型2：軌跡問題【例2】（1）已知點與兩個定點的距離的比為，求點的軌跡方程.(2) 已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.【分析】第（1）問用直接法求軌跡方程，第（2）問用相關(guān)點代入法求軌跡方程，所得軌跡都是圓.【解析】（1）設(shè)所求軌跡上任意一點根據(jù)題意：，即：，即，故所求軌跡方程為：.（2）設(shè)的中點，點，則，得 ,又因為在圓周上運動，故可得：，所求

5、軌跡方程為：.【點評】本題是比較簡單的兩道題目，分別用了直接法和相關(guān)點代入法求軌跡方程，旨在讓學(xué)生復(fù)習(xí)求軌跡方程的方法，同時更進一步了解哪些點的運動軌跡是圓。變式訓(xùn)練：有一種大型商品，、兩地都有出售，且價格相同某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是：每單位距離地的運費是地的運費的3倍已知、兩地距離為10公里，顧客選擇地或地購買這種商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低求、兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購貨地點【解析】以、所確定的直線為軸，的中點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)某地，且地居民選擇地購買商品便宜，并設(shè)地的運費為元/公里

6、，地的運費為元/公里因為地居民購貨總費用滿足條件：價格地運費價格地的運費即：，化簡整理得：以點為圓心為半徑的圓是兩地購的分界線圓內(nèi)的居民從地購貨便宜，圓外的居民從地購貨便宜，圓上的居民從、兩地購貨的總費用相等因此可隨意從、兩地之一購貨題型3：圓中的最值問題【例3】(1)圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是 .(2)已知圓，為圓上的動點，求的最大、最小值【分析】兩道小題都涉及到圓上點的坐標，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決【解析】（1）圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是.（2）解法一：由圓的標準方程可設(shè)圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)）則=.所

7、以，解法二：圓上的點到原點距離的最大值等于圓心到原點的距離加上半徑1，圓上的點到原點距離的最小值等于圓心到原點的距離減去半徑1所以，變式訓(xùn)練：已知圓，為圓上任一點求的最大、最小值，求的最大、最小值【解析】解法一：由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù)則令，得，.所以,解得：.所以即的最大值為，最小值為此時.所以的最大值為，最小值為解法二：設(shè)，則由于是圓上點，當(dāng)直線與圓有交點時，兩條切線的斜率分別是最大、最小值由，得所以的最大值為，最小值為令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值由，得所以的最大值為，最小值為【點評】這里將圓上的點用它的參數(shù)式表示出來，從而將求變量的范圍問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識來求解

8、或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來求解，使問題變得簡捷方便題型4：圓中的對稱問題GOBNMyAx圖3CA【例4】自點發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切.（1）求光線和反射光線所在的直線方程（2）光線自到切點所經(jīng)過的路程【分析】(2)根據(jù)對稱關(guān)系，首先求出點的對稱點坐標,再求過與圓相切的直線.【解析】點的對稱點的坐標為，設(shè)過的圓的切線方程為,由，求出圓的切線的斜率為或故反射光線所在的直線的方程為或因為入射光與反射光關(guān)于軸對稱，所以入射光所在直線方程為或光路的距離為，可由勾股定理求得【點評】本題亦可把圓對稱到軸下方，再求解.充分利用圓的對稱性，可以使問題簡化.變式訓(xùn)練：圓關(guān)于直

9、線對稱的圓的方程 .答案三、【解法小結(jié)】1.求圓的方程：主要用待定系數(shù)法，可以用圓的標準方程，求出圓心坐標和半徑；或是利用圓的一般方程求出系數(shù)D、E、F的值.一般地，當(dāng)給出條件是圓上幾點坐標時，可以考慮用一般方程，當(dāng)已知圓心坐標或者是圓心在某條直線上以及與某條直線相切時，可設(shè)標準方程.2.已知圓經(jīng)過兩已知圓的交點，求圓的方程，可用經(jīng)過兩圓交點的圓系方程簡捷.3.解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)，簡化運算.四、【布置作業(yè)】1（2012年高考（湖北文）過點的直線,將圓形區(qū)域分兩部分,使得這兩部分的面積之差最大,則該直線的方程為（ ）A B. C. D.2.在圓內(nèi)，過點的最長弦和最

10、短弦分別為和，則四邊形的面積為 ( )A5 B10 C15 D203.過點的直線l與圓有兩個交點，則 斜率的取值范圍是 ( ) A B CD4.已知直線與圓O：相交于、兩點，且，則= .5.若圓與直線相切，且其圓心在軸的左側(cè),則的值為 .6.若曲線關(guān)于直線的對稱曲線仍是其本身，則實數(shù) 7.（2012年高考（山東文）如圖,在平面直角坐標系中,一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時圓上一點P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動.當(dāng)圓滾動到圓心位于(2,1)時,的坐標為_ _.8.（2012年高考（江蘇）在平面直角坐標系中,圓的方程為,若直線上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓

11、有公共點,則的最大值是_ _.9.設(shè)方程，若該方程表示一個圓，求的取值范圍及這時圓心的軌跡方程.10.已知圓C的圓心在直線上,并且通過兩圓和的交點,(1)求圓C的方程; (2)求兩圓C1和C2相交弦所在的直線方程.作業(yè)答案1A 2. B 3.C 4. . 5. 6. 7. 8. 7【解析】:根據(jù)題意可知圓滾動了2單位個弧長,點P旋轉(zhuǎn)了弧度,此時點的坐標為 CD. 另解:根據(jù)題意可知滾動制圓心為(2,1)時的圓的參數(shù)方程 為,且, 則點P的坐標為,即. 8【解析】圓C的方程可化為:,圓C的圓心為,半徑為1. 由題意,直線上至少存在一點,以該點為圓心,1為半徑的圓與圓有公共點; 存在,使得成立,即. 即為點到直線的距離,解得. 的最大值是. 9. 【解析】配方得：,該方程表示圓，則有，得，此時圓心的軌跡方程為，消去，得，由得所求的軌跡方程是，注意：方程表示圓的充要條件，求軌跡方程時，一定要討論變量的取值范圍，如題中10【解析】(1)因為所求的圓過兩已知圓的交點,故設(shè)此圓的方程為：,即 ,即 =0,圓心為 (,),由于圓心在直線上, 解得 ,所求圓的方程為：(2)將圓和圓的