求曲線與方程（2）

1、求求曲曲線線的的方方程程( (軌軌跡跡方方程程) )的的一一般般步步驟驟: : 一一、建建立立適適當當?shù)牡淖鴺藰讼迪?，設(shè)設(shè)曲曲線線上上任任一一點點的的坐坐標標，及及相相關(guān)關(guān)點點的的坐坐標標; ; 二二、( (限限) )找找條條件件，由由條條件件( (代代) )列列方方程程; ; 三三、化化簡簡方方程程. . 證證明明所所得得方方程程( (可可以以省省略略) )為為所所求求的的曲曲線線方方程程. . 復(fù)習：復(fù)習：直接法直接法定義法定義法待定系數(shù)法待定系數(shù)法點差法點差法代入法代入法參數(shù)法參數(shù)法求曲線方程例1 動點P（x，y）到定點A（3，0）的距離比它到定直線x5的距離少2.求：動點P的軌跡方程

2、O35Axym解法一直接法思考：如何化去絕對值號？P點在直線左側(cè)時，|PH|PA|，不合題意故 x5P如圖，PH22(3)(0)52xyx y 212x22(3)(0)3xyx 例1 動點P（x，y）到定點A（3，0）的距離比它到定直線x5的距離少2求：動點P的軌跡方程35Axym解法一 直接法直接法解法二 定義法定義法如圖，如圖，3n作直線 n：x 3則點則點P到定點到定點A（3，0）與定直線）與定直線 n：x 3 等距離等距離P（x，y）故，點故，點P的軌跡是的軌跡是以以為焦點，為焦點， 以以為準線的拋物線為準線的拋物線An依題設(shè)知 x5，y 2 12x22(3)(0)52xyx 22(3

3、)(0)3xyx 所以動點所以動點P的軌跡方程為的軌跡方程為 y 212x例例2已知圓A：(x2)2y21與點A（2，0），B（2，0），分別求出滿足下列條件的動點P的軌跡方程.（1）PAB的周長為10；（2）圓P與圓A外切,且點B在動圓P上（P為動圓圓心）；（3）圓P與圓A外切且與直線x1相切（P為動圓圓心）.【分析】（1）根據(jù)題意，先找出等價條件，再根據(jù)條件判定曲線類型，最后寫出曲線方程. （1）|PA|PB|10|AB|6. （2）|PA|PB|1. （3）P點到A的距離比P點到直線x1的距離多1，即P點到A的距離等于P點到直線x2的距離.定義法定義法【解析】(1)根據(jù)題意，知|PA|P

4、B|AB|10，即|PA|PB|64|AB|，故P點的軌跡是橢圓，且2a6，2c4，即a3，c2，b ，因此其方程為 （2）設(shè)圓P的半徑為r，則|PA|r1，|PB|r，因此|PA|PB|1. 由雙曲線的定義知，P點的軌跡為雙曲線的右支，且2a1，2c4，即a ，c2，b ，因此其方程為5221095xyy12152224141152yxx （3）依題意，知動點P到定點A的距離等于到定直線x2的距離，故其軌跡為拋物線，且開口向左，p4因此其方程為y28x.【小結(jié)】解題時應(yīng)注意動點的幾何特征，若盲目進行代數(shù)運算則可能較繁瑣.例3等腰直角三角形ABC中，斜邊BC長為 ，一個橢圓以C為其中一個焦點，

5、另一個焦點在線段AB上，且橢圓經(jīng)過點A，B求：該橢圓方程24O解xyACBO|BC| =24如圖，D設(shè)橢圓的另一個焦點為D以直線DC為x軸，線段DC的中點為原點建立直角坐標系設(shè)橢圓方程為22221xyab（ab0)則|AD|AC|2a，|BD|BC|2a 所以，|AD|BD|AC|BC|4a即8 4 2 4a待定系數(shù)法待定系數(shù)法例3 等腰直角三角形ABC中，斜邊BC長為 ，一個橢圓以C為其中一個焦點，另一個焦點在線段AB上，且橢圓經(jīng)過點A，B求：該橢圓方程24O解xyACBO得22a D|AD|AC|2a|AC|24242|AD|22在ADC中|DC|2|AD|2|AC|2( )2162422

6、2cc2 6，b2 a2c2(2 )2624故所求橢圓方程為22164242xy注：重視定義！注：重視定義！2xy0ABCMl點差法點差法xy0ABCMlO【小結(jié)】 （1 1）“ “軌跡軌跡” ”與與“ “軌跡方程軌跡方程” ”是兩個不同的是兩個不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程后者指方程( (包括范圍包括范圍). ).（2 2）求動點軌跡時應(yīng)注意它的）求動點軌跡時應(yīng)注意它的完備性與純粹性完備性與純粹性. .化簡過程若破壞了方程的同解性，要化簡過程若破壞了方程的同解性，要注意補上遺漏的點或者要挖去多余的點注意補上遺漏的點

7、或者要挖去多余的點. .()xy，CABDxy0代入法代入法例例5 5ABC的頂點的頂點B，C的坐標分別為的坐標分別為(0，0)、(4，0)，AB邊上的中線的長為邊上的中線的長為3，求頂點求頂點A的軌跡方程的軌跡方程. .定義法定義法()xy，MCABDxy0例例5 5ABC的頂點的頂點B，C的坐標分別為的坐標分別為(0，0)、(4，0)，AB邊上的中線的長為邊上的中線的長為3，求頂點求頂點A的軌跡方程的軌跡方程. . 例6設(shè)橢圓與雙曲線有公共的焦點F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0），并且橢圓的長軸長是雙曲線實軸長的2倍，試求橢圓與雙曲線交點的軌跡.參數(shù)法參數(shù)法【解析】法一：設(shè)雙曲線實半軸長為a

8、,則橢圓的長半軸長為2a，由題意得2a4，由半焦距為4，可得橢圓與雙曲線方程為： 設(shè)點P的坐標為（x,y），A（x1,y1）, B(x2,y2), 因A，B在橢圓上，所以 由4可得2222116xyaa222214416xyaa22223416yyaa222(4)(16)4aay即 ，將此式代入式可得a22|x|， 再把代入式，消去a，得 當x0，得（x5）2y29; 當x0，得（x5）2y29; 由2a4，得2|x|8. 所以，所求軌跡為兩個圓，并除去它們與y軸的交點.221816 8xyxx，法二：設(shè)橢圓與雙曲線交點法二：設(shè)橢圓與雙曲線交點P（x，y），）， 由橢圓與雙曲線的定義及已知條件

9、，可得由橢圓與雙曲線的定義及已知條件，可得 |PF1|PF2|2|PF1|PF2|， 即即|PF1|3|PF2|或或|PF2|3|PF1|， 將將P點坐標（點坐標（x，y）代入，化簡可得）代入，化簡可得 （x5）2y29及（及（x5）2 y29. 因交點因交點P不會在不會在x軸上，軸上，y0，故故2|x|8， 所以所求軌跡方程是所以所求軌跡方程是（x5）2y29（y0），），（x5）2y29（y0）.軌跡為兩個圓，并除去它們與軌跡為兩個圓，并除去它們與y軸的軸的交點交點. .【小結(jié)】由于探討的對象是由于探討的對象是“交點的軌跡交點的軌跡”，求，求軌跡方程的過程是一個創(chuàng)造性的軌跡方程的過程是一個

10、創(chuàng)造性的“建模建?！边^程，并不過程，并不能完全依靠已有，因此，充分認清題設(shè)條件后或選擇能完全依靠已有，因此，充分認清題設(shè)條件后或選擇適當?shù)膮?shù)，建立方程組，消去參數(shù)后就得適當?shù)膮?shù)，建立方程組，消去參數(shù)后就得“交點軌交點軌跡方程跡方程”（如方法一）或選擇根據(jù)幾何等式的傳遞，（如方法一）或選擇根據(jù)幾何等式的傳遞，構(gòu)建新的幾何條件（如方法二）都是常見的解題思構(gòu)建新的幾何條件（如方法二）都是常見的解題思路路1 1求圓錐曲線的軌跡方程要注意利用圓錐曲線求圓錐曲線的軌跡方程要注意利用圓錐曲線的定義解題，從而簡化解題過程的定義解題，從而簡化解題過程. . 2 2求關(guān)于求關(guān)于軸對稱的曲線的方程的一般步驟：（

11、軸對稱的曲線的方程的一般步驟：（1）設(shè)所求曲線上任一點設(shè)所求曲線上任一點P(x，y)；（；（2）求出其關(guān)于點或軸）求出其關(guān)于點或軸對稱的點對稱的點p(x，y)；（；（3）將）將p坐標代入已知曲線得所求坐標代入已知曲線得所求曲線方程曲線方程. . 3 3涉及多個動點的軌跡問題，可用動點代入法或涉及多個動點的軌跡問題，可用動點代入法或參數(shù)法求解，分清主動點和從動點，選擇適當參數(shù)是參數(shù)法求解，分清主動點和從動點，選擇適當參數(shù)是解題的關(guān)鍵解題的關(guān)鍵. . 4 4求軌跡要注意取值范圍和求軌跡要注意取值范圍和“ “雜點雜點” ”的去除的去除. .規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) 基礎(chǔ)訓(xùn)練1動點P與定點A(1，0)，B(1

12、，0)的連線的斜率之積為1，則P點軌跡方程是 【解析】直接法x2y21(x1)2設(shè)設(shè)P為雙曲線為雙曲線 上一動點，上一動點，O為坐標為坐標原點，原點，M為線段為線段OP的中點，則點的中點，則點M的軌跡的軌跡方程方程為為2214xy 【解析】（代入法）設(shè)P(x1，y1)，M(x，y)則x12x，y12y，代入得x24y21x24y213兩條直線axy10和xay10(a1)的交點的軌跡方程是222222(1)0111()()222(1)0 xyxyxy 且 【解析】（參數(shù)法） axy10， xay10. yx得y2yx2x0， 即 . a1 x1 x0 y0 且 y122111()()222xy

13、 4 4已知兩圓已知兩圓C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，動圓動圓M與兩圓與兩圓C1，C2都相切，則動圓圓心都相切，則動圓圓心M的軌跡方的軌跡方程是程是【解析】( (定義法定義法) )動圓動圓M與兩圓與兩圓C1，C2都都要相切，有要相切，有四種情況：四種情況：動圓動圓M與與兩圓都相外切，兩圓都相外切，動圓動圓M與兩圓都相內(nèi)切；與兩圓都相內(nèi)切；動圓動圓M與圓與圓C2內(nèi)切、與圓內(nèi)切、與圓C1外切；外切；動圓動圓M與圓與圓C1內(nèi)切、與圓內(nèi)切、與圓C2外切外切. .221024xyx或 在情況下，顯然，動圓圓心M的軌跡方程為x0；在的情況下，如圖設(shè)動圓M的半徑為r，則|MC1|r ，|M

14、C2|r ，故得|MC1|MC2|2 ；在的情況下，同理得|MC2|MC1|2 . 由得|MC1|MC2|2 . 根據(jù)雙曲線定義，可知點M的軌跡是以C1（4，0）、C2（4，0）為焦點的雙曲線，且a ，c4，b2c2a214，其方程為22124xy222222221024xyx或 所求軌跡方程為：所求軌跡方程為： 知識要點1求軌跡方程的一般步驟建系、設(shè)點、列式、代入、化簡、檢驗（檢驗就是要檢驗點的軌跡的純粹性和完備性） 2求軌跡方程的常用方法 （1）直接法：題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面幾何知識推出等量關(guān)系，列出含動點（x，y）的解析式. （2）定義法：分析題設(shè)幾何條件，根據(jù)圓錐曲線的定義，判斷軌跡是何種類型的曲線，直接求出該曲線的方程. （3）代入法：如果軌跡動點P（x，y）依賴于另一動點Q（a，b），而Q（a，b）又在某已知