線性方程組的解PPT課件

1、2021/3/913 線性方程組的解線性方程組的解22021/3/9一、線性方程組的表達(dá)式一、線性方程組的表達(dá)式n一般形式一般形式n 向量方程的形式向量方程的形式方程組可簡(jiǎn)化為方程組可簡(jiǎn)化為 AX = b n增廣矩陣的形式增廣矩陣的形式n向量組線性組合的形式向量組線性組合的形式12312334521xxxxxx 34151121 12334151121xxx 12334151121xxx 32021/3/9二、線性方程組的解的判定二、線性方程組的解的判定設(shè)有設(shè)有 n 個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù) m 個(gè)方程的線性方程組個(gè)方程的線性方程組11112211211222221122,.nnnnmmmnnma x

2、a xa xba xa xa xbaxaxaxb 定義：定義：線性方程組如果有解，就稱它是線性方程組如果有解，就稱它是相容的相容的；如果無(wú)解，；如果無(wú)解，就稱它是就稱它是不相容的不相容的問(wèn)題問(wèn)題1：方程組是否有解？方程組是否有解？問(wèn)題問(wèn)題2：若方程組有解，則解是否唯一？若方程組有解，則解是否唯一？問(wèn)題問(wèn)題3：若方程組有解且不唯一，則如何掌握解的全體？若方程組有解且不唯一，則如何掌握解的全體？ m、n 不一不一定相等！定相等！42021/3/9定理：定理：n 元線性方程組元線性方程組 Ax = b無(wú)解的充分必要條件是無(wú)解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要條件是有唯一解

3、的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ；有無(wú)限多解的充分必要條件是有無(wú)限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n 分析：分析：只需證明條件的充分性，即只需證明條件的充分性，即 R(A) R(A, b) 無(wú)解；無(wú)解； R(A) = R(A, b) = n 唯一解；唯一解； R(A) = R(A, b) n 無(wú)窮多解無(wú)窮多解那么那么 無(wú)解無(wú)解 R(A) R(A, b) ； 唯一解唯一解 R(A) = R(A, b) = n ； 無(wú)窮多解無(wú)窮多解 R(A) = R(A, b) n 52021/3/9證明：證明：設(shè)設(shè) R(A) = r ，為敘述方便，不妨設(shè)，為敘述方便，

4、不妨設(shè) B = (A, b) 的的行最行最簡(jiǎn)形矩陣簡(jiǎn)形矩陣為為第一步：第一步：往證往證 R(A) R(A, b) 無(wú)解無(wú)解若若 R(A) R(A, b) ，即，即 R(A, b) = R(A)1，則，則 dr+1 = 1 于是于是 第第 r +1 行對(duì)應(yīng)矛盾方程行對(duì)應(yīng)矛盾方程 0 = 1，故原線性方程組無(wú)解，故原線性方程組無(wú)解111,1212,2,1,1(1)10001000100000000000000000n rn rrr n rrrmnbbdbbdbbdBd R(A) R(A, b) R(A)1 前前 r 列列 后后 n - r 列列 62021/3/9前前 n 列列前前 r 列列100

5、010001000000000B 12(1)000nmnddd 第二步：第二步：往證往證 R(A) = R(A, b) = n 唯一解唯一解若若 R(A) = R(A, b) = n，故原線性方程組有唯一解故原線性方程組有唯一解后后 n - r 列列 則則 dr+1 = 0 且且 r = n，對(duì)應(yīng)的線性方程組為對(duì)應(yīng)的線性方程組為1122,.nnxdxdxd B 從而從而 bij 都不出現(xiàn)都不出現(xiàn). .111,212,1,000000n rn rrr n rbbbbbb 121(1)00rrmndddd 72021/3/9前前 r 列列111,212,1,000000n rn rrr n rbb

6、bbbb 12(1)000nmnddd 121(1)00rrmndddd n 列列第二步：第二步：往證往證 R(A) = R(A, b) = n 唯一解唯一解若若 R(A) = R(A, b) = n，故原線性方程組有唯一解故原線性方程組有唯一解 則則 dr+1 = 0 且且 bij 都不出現(xiàn)都不出現(xiàn). . 即即 r = n，100010001000000000B 前前 r 行行后后 mr 行行后后 n - r 列列 n 行行12100010001nddd對(duì)應(yīng)的線性方程組為對(duì)應(yīng)的線性方程組為1122,.nnxdxdxd 后后 mn 行行82021/3/9第三步：第三步：往證往證 R(A) =

7、R(A, b) n 無(wú)窮多解無(wú)窮多解若若 R(A) = R(A, b) n ， 對(duì)應(yīng)的線性方程組為對(duì)應(yīng)的線性方程組為前前 r 列列 則則 dr+1 = 0 . .后后 n - r 列列 即即 r n ， 111,1212,2,1,1(1)10001000100000000000000000n rn rrr n rrrmnbbdbbdbbdBd 11111,122112,211,.rn rnrn rnrrrr n rnrxb xbxdxb xbxdxb xbxd B 92021/3/911111,122112,211,.rn rnrn rnrrrr n rnrxb xbxdxb xbxdxb x

8、bxd 11111,122112,211,.rn rnrn rnrrrr n rnrxb xbxdxb xbxdxb xbxd 令令 xr+1, , xn 作自由變量，則作自由變量，則 再令再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，則，則 111 11,11 1,11n rn rrrr n rn rrrnn rxb cbcdxb cbcdxcxc 111,11,1100010n rrr n rrn rbbdbbdcc 線性方程組線性方程組的通解的通解102021/3/9例：例：求解非齊次線性方程組求解非齊次線性方程組12341234123412342 2, 2

9、 4,46224,36979.xxxxxxxxxxxxxxxx 2111210104112140110346224000133697900000rB 解：解：R(A) = R(A, b) = 3 4，故原線性方程組有無(wú)窮多解，故原線性方程組有無(wú)窮多解112021/3/92111210104112140110346224000133697900000rB 備注：備注：111,1212,2,1,100010001000000000000000000n rn rrr n rrbbdbbdbbd 有無(wú)限多解的充分必要條件是有無(wú)限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = r n ，這時(shí)，這

10、時(shí) 還能根據(jù)還能根據(jù)R(A) = R(A, b) = r n判斷該線性方程組有判斷該線性方程組有無(wú)限多解嗎？無(wú)限多解嗎？122021/3/910104011030001300000rB x1x2x3x43410014010130010300000cc 132344,3,3.xxxxx 132344,3,3.xxxxx x1x2x4x3同解同解132021/3/92111210104112140110346224000133697900000rB 解（續(xù)）：解（續(xù)）：即得與原方程組同解的方程組即得與原方程組同解的方程組令令 x3 做自由變量，則做自由變量，則 方程組的通解可表示為方程組的通解可表

11、示為 132344,3,3.xxxxx 132344,3,3.xxxxx 123414131003xxcxx 142021/3/9例：例：求解非齊次線性方程組求解非齊次線性方程組12341234123423 1,3 532,2 223.xxxxxxxxxxxx 123111231131532 054012122300002rB 解：解：R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原線性方程組無(wú)解，故原線性方程組無(wú)解152021/3/9例：例：求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組12341234123422 0,2 220, 430.xxxxxxxxxxxx 提問(wèn)：提問(wèn)：為什么只對(duì)系數(shù)矩陣為什

12、么只對(duì)系數(shù)矩陣 A 進(jìn)行初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形進(jìn)行初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣？矩陣？答：答：因?yàn)辇R次線性方程組因?yàn)辇R次線性方程組 Ax = 0 的常數(shù)項(xiàng)都等于零，于是的常數(shù)項(xiàng)都等于零，于是必有必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可從，所以可從 R(A) 判斷齊次線性方程組判斷齊次線性方程組的解的情況的解的情況162021/3/9例：例：設(shè)有線性方程組設(shè)有線性方程組問(wèn)問(wèn) l l 取何值時(shí)，此方程組有取何值時(shí)，此方程組有(1) 唯一解；唯一解；(2) 無(wú)解；無(wú)解；(3) 有無(wú)有無(wú)限多個(gè)解？并在有無(wú)限多解時(shí)求其通解限多個(gè)解？并在有無(wú)限多解時(shí)求其通解123123123(1) 0,(1) 3, (

13、1).xxxxxxxxxl ll lllll 定理：定理：n 元線性方程組元線性方程組 Ax = b無(wú)解的充分必要條件是無(wú)解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要條件是有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ；有無(wú)限多解的充分必要條件是有無(wú)限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n 172021/3/911101113111Bl ll ll ll l 解法解法1：對(duì)增廣矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣對(duì)增廣矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣11101113111l ll lllll 1311111131110rrlllll l

14、l l 2131(1)111030(2)(1)rrrrl ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll l 321110300(3)(1)(3)rrllllllllllllllllll 182021/3/9附注：附注：對(duì)含參數(shù)的矩陣作初等變換時(shí)，由于對(duì)含參數(shù)的矩陣作初等變換時(shí)，由于 l l +1， l l +3 等因等因式可能等于零，故不宜進(jìn)行下列的變換：式可能等于零，故不宜進(jìn)行下列的變換：如果作了這樣的變換，則需對(duì)如果作了這樣的變換，則需對(duì) l l +1 = 0（或（或 l l +3 = 0）的情況另作討論的情況另作討論 2111rrl l 2(1)rl l 3(3)rl l1

15、92021/3/911101111113 0311100(3)(1)(3)rBl ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll l 分析：分析：討論方程組的解的情況，就是討論參數(shù)討論方程組的解的情況，就是討論參數(shù) l l 取何值時(shí)，取何值時(shí)，r2 、r3 是非零行是非零行在在 r2 、r3 中，有中，有 5 處地方出現(xiàn)了處地方出現(xiàn)了l l ，要使這，要使這 5 個(gè)元素等個(gè)元素等于零，于零， l l = 0，3，3，1 實(shí)際上沒(méi)有必要對(duì)這實(shí)際上沒(méi)有必要對(duì)這 4 個(gè)可能取值逐一進(jìn)行討論，先從個(gè)可能取值逐一進(jìn)行討論，先從方程組有唯一解入手方程組有唯一解入手202021/3/

16、911101111113 0311100(3)(1)(3)rBl ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll l 于是于是當(dāng)當(dāng) l l 0 且且 l l 3 時(shí)，時(shí)，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解，有唯一解當(dāng)當(dāng) l l = 0 時(shí)，時(shí)，R(A) = 1， R(B) = 2 ，無(wú)解，無(wú)解當(dāng)當(dāng) l l = 3 時(shí)，時(shí)，R(A) = R(B) = 2 ，有無(wú)限多解，有無(wú)限多解212021/3/911101113111Bl ll ll ll l 解法解法2：因?yàn)橄禂?shù)矩陣因?yàn)橄禂?shù)矩陣 A 是方陣，所以方程組有唯一解的充是方陣，所以方程組有唯一解的充分必要條件是分必

17、要條件是 |A| 0 2111|111(3)111Al lll lll ll l 于是當(dāng)于是當(dāng) l l 0 且且 l l 3 時(shí)，方程組有唯一解時(shí)，方程組有唯一解222021/3/9當(dāng)當(dāng) l l = 0 時(shí)，時(shí)，R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程組無(wú)解，方程組無(wú)解111011101113 000111100000rB 當(dāng)當(dāng) l l = 3 時(shí)，時(shí)，R(A) = R(B) = 2 ，方程組有無(wú)限多個(gè)解，其通解為，方程組有無(wú)限多個(gè)解，其通解為211010111213 011211230000rB123111210 xxcx 232021/3/9定理：定理：n 元線性方程組元線性方程組 A

18、x = b無(wú)解的充分必要條件是無(wú)解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要條件是有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ；有無(wú)限多解的充分必要條件是有無(wú)限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n 分析：分析：因?yàn)閷?duì)于因?yàn)閷?duì)于 Ax = 0 必有必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可從，所以可從 R(A) 判斷齊次線性方程組的解的情況判斷齊次線性方程組的解的情況定理：定理：n 元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Ax = 0 有非零解的充分必要條件有非零解的充分必要條件是是 R(A) n 定理：定理：線性方程組線性方程組 Ax =

19、b 有解的充分必要條件是有解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) 定理：定理：矩陣方程矩陣方程 AX = B 有解的充分必要條件是有解的充分必要條件是 R(A) = R(A, B) 242021/3/9定理：定理：矩陣方程矩陣方程 AX = B 有解的充分必要條件是有解的充分必要條件是 R(A) = R(A, B) 證明：證明：設(shè)設(shè) A 是是 mn 矩陣，矩陣， B 是是 ml 矩陣，矩陣， X 是是 nl 矩陣矩陣. .把把 X 和和 B 按列分塊，記作按列分塊，記作X = ( x1, x2, , xl ) ，B = ( b1, b2, , bl )則則即矩陣方程即矩陣方程 AX

20、= B 有解有解 線性方程組線性方程組 Axi = bi 有解有解 R(A) = R( A, bi )12(,)nAXA x xx 12(,)nAxAxAx 12(,)nb bbB252021/3/9設(shè)設(shè) R(A) = r ，A 的行最簡(jiǎn)形矩陣為的行最簡(jiǎn)形矩陣為 ，則，則 有有 r 個(gè)非零行，個(gè)非零行，且且 的后的后 mr 行全是零行全是零再設(shè)再設(shè)從而從而 A A A 1212( ,)( ,)( ,)rllA BA b bbA b bb ( ,)( ,)riiA bA b 矩陣方程矩陣方程 AX = B 有解有解 線性方程組線性方程組 Axi = bi 有解有解 R(A) = R( A, bi ) 的后的后 mr 個(gè)元素全是零個(gè)元素全是零 的后的后 mr 行全是零行全是零 R(A) = R(A, B) ib 12(,)lb bb 2