空間幾何體的表面積

1、1.3 空間幾何體的表面積和體積1.3.1 空間幾何體的表面積正正( (長(zhǎng)長(zhǎng)) )方體的表面積等于它們的展開圖的面積方體的表面積等于它們的展開圖的面積我們的身邊存在著各種各樣的幾何體，建筑或者裝飾我們的身邊存在著各種各樣的幾何體，建筑或者裝飾時(shí)時(shí), ,都需要知道它們的表面積，以便計(jì)算用料和工時(shí)，都需要知道它們的表面積，以便計(jì)算用料和工時(shí)，如何計(jì)算呢？如何計(jì)算呢？“鳥巢鳥巢(nest)”(nest)”1.1.通過對(duì)柱、錐、臺(tái)體的研究，掌握柱、錐、臺(tái)體通過對(duì)柱、錐、臺(tái)體的研究，掌握柱、錐、臺(tái)體的表面積的求法的表面積的求法. .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）2.2.了解柱、錐、臺(tái)體的表面積計(jì)算公式；能運(yùn)用了解柱、

2、錐、臺(tái)體的表面積計(jì)算公式；能運(yùn)用柱、柱、錐、臺(tái)錐、臺(tái)體的表面積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問體的表面積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題題. .（難點(diǎn)）（難點(diǎn)）探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 直棱柱、正棱柱、正棱臺(tái)的直棱柱、正棱柱、正棱臺(tái)的表面積表面積多面體的平面展開圖多面體的平面展開圖 多面體是由一些平面多邊形圍成的幾何體，沿著多多面體是由一些平面多邊形圍成的幾何體，沿著多面體的某些棱將它剪開，各個(gè)面就可展開在一個(gè)平面內(nèi)，面體的某些棱將它剪開，各個(gè)面就可展開在一個(gè)平面內(nèi)，得到一個(gè)平面圖形得到一個(gè)平面圖形, ,這個(gè)平面圖形叫做該多面體的平面這個(gè)平面圖形叫做該多面體的平面展開圖展開圖. .思考思考1 1：把直棱柱

3、、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面分別沿著一把直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條側(cè)棱展開，分別得到什么圖形？側(cè)面積是多少？條側(cè)棱展開，分別得到什么圖形？側(cè)面積是多少？提示：提示：直棱柱：側(cè)棱和底面垂直的棱柱直棱柱：側(cè)棱和底面垂直的棱柱. .正棱柱：底面為正多邊形的直棱柱正棱柱：底面為正多邊形的直棱柱. .具體請(qǐng)往下看具體請(qǐng)往下看),chSabdhch直棱柱側(cè)（其中 為底面周長(zhǎng)， 為高.habdabhhd側(cè)面展開側(cè)面展開h棱錐的側(cè)面展開圖是由各個(gè)側(cè)面組成棱錐的側(cè)面展開圖是由各個(gè)側(cè)面組成的，展開圖的面積就是棱錐的側(cè)面積，的，展開圖的面積就是棱錐的側(cè)面積，如果正棱錐的底面周長(zhǎng)為如果正棱錐的底面周長(zhǎng)為c c

4、，斜高（即，斜高（即側(cè)面等腰三角形底邊上的高）為側(cè)面等腰三角形底邊上的高）為h h，由圖可知它的側(cè)面積是：由圖可知它的側(cè)面積是： S S正棱錐側(cè)正棱錐側(cè)= = chch12ch如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心，那且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為么稱這樣的棱錐為正棱錐正棱錐（regular regular pyramidpyramid）. .正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等. .側(cè)面展開側(cè)面展開h1S(cc )h .2正棱臺(tái)側(cè)xyzcch正棱錐被平行于底面的平面所截，截面正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底

5、面之間的部分叫做和底面之間的部分叫做正棱臺(tái)正棱臺(tái)（regular regular truncated pyramidtruncated pyramid）. .與正棱錐的側(cè)面與正棱錐的側(cè)面積公式類似，若設(shè)正棱臺(tái)的上、下底面積公式類似，若設(shè)正棱臺(tái)的上、下底面的周長(zhǎng)分別為的周長(zhǎng)分別為c c，c c，斜高為，斜高為h h，則其側(cè)則其側(cè)面積是面積是正棱臺(tái)的側(cè)面均為全等的等腰梯形正棱臺(tái)的側(cè)面均為全等的等腰梯形. .O 思考思考2 2：正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積公式之間正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積公式之間有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？提示：提示：1cc )2Sh正 棱 臺(tái) 側(cè) （12Sch正 棱 錐 側(cè)Sc

6、h直 棱 柱 側(cè)=c0=cc=思考思考1: 1: 把圓柱的側(cè)面沿著一條母線展開，得到什把圓柱的側(cè)面沿著一條母線展開，得到什么圖形么圖形? ?展開的圖形與原圖有什么關(guān)系？展開的圖形與原圖有什么關(guān)系？提示：提示：長(zhǎng)方形長(zhǎng)方形. .長(zhǎng)方形的面積等于圓柱的側(cè)面積長(zhǎng)方形的面積等于圓柱的側(cè)面積. .探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積rl2r長(zhǎng) c =寬寬l2 rSSl圓圓柱柱側(cè)側(cè)長(zhǎng)長(zhǎng)方方形形p p= =長(zhǎng)方形長(zhǎng)方形. . 思考思考2:2:把圓錐的側(cè)面沿著一條母線展開，得到把圓錐的側(cè)面沿著一條母線展開，得到什么圖形什么圖形? ?展開的圖形與原圖有什么關(guān)系？展開的圖形與原圖有

7、什么關(guān)系？提示：提示：扇形扇形. .扇形的面積等于圓錐的側(cè)面積扇形的面積等于圓錐的側(cè)面積. .rlnc2 r,180扇ll扇形扇形2360n lSSp圓錐側(cè)扇1.2clrlp=c 思考思考3:3:把圓臺(tái)的側(cè)面沿著一條母線展開，得到把圓臺(tái)的側(cè)面沿著一條母線展開，得到什么圖形什么圖形? ?展開的圖形與原圖有什么關(guān)系？展開的圖形與原圖有什么關(guān)系？提示：提示：扇環(huán)扇環(huán). .扇環(huán)的面積等于圓臺(tái)的側(cè)面積扇環(huán)的面積等于圓臺(tái)的側(cè)面積. .1r2rl扇環(huán)扇環(huán)( )SSl=+1cc2圓臺(tái)側(cè)扇環(huán)12=) .rr lp+（注意轉(zhuǎn)化！注意轉(zhuǎn)化！證明如下：證明如下：cc因?yàn)橐驗(yàn)?2,rxrxl=+即121,rlxrr=-

8、所以所以21112222Sr lxr x扇環(huán)221221r lr xr xr lrrx2112) .r lrlrr l（ppp=+=+在 S0A和 S0B中SABxl扇環(huán)22 rp12 rp2r1roo思考思考4 4：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間有圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間有什么關(guān)系？什么關(guān)系？提示：提示：根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，不難根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，不難得到它們的側(cè)面積的關(guān)系，具體如下得到它們的側(cè)面積的關(guān)系，具體如下. .例例1.1.設(shè)計(jì)一個(gè)正四棱錐形冷水塔塔頂，高是設(shè)計(jì)一個(gè)正四棱錐形冷水塔塔頂，高是0.85m0.85m，底面的邊長(zhǎng)是底面的邊長(zhǎng)是1.5m1.5

9、m，制造這種塔頂需要多少平方，制造這種塔頂需要多少平方米鐵板？（保留兩位有效數(shù)字）米鐵板？（保留兩位有效數(shù)字）【分析分析】本題即計(jì)算正四棱錐的側(cè)面積，根據(jù)本題即計(jì)算正四棱錐的側(cè)面積，根據(jù)公式，只需計(jì)算斜高公式，只需計(jì)算斜高. .為此，在正四棱錐中作出為此，在正四棱錐中作出相應(yīng)的直角三角形，再解三角形即可相應(yīng)的直角三角形，再解三角形即可. .解解 如圖，如圖，S S表示塔的頂點(diǎn)，表示塔的頂點(diǎn)，O O表示底面的表示底面的中心，則中心，則SOSO是高，設(shè)是高，設(shè)SESE是斜高是斜高. .在在RtRtSOESOE中，根據(jù)勾股定理，得中，根據(jù)勾股定理，得所以所以221.5()0.851.13 m ,2S

10、E 211(1.5 4) 1.133.4(m ).22Sch正棱錐側(cè)答：答：制造這種塔頂需要鐵板約制造這種塔頂需要鐵板約3.4m3.4m2 2. .soE51.0.85例例2.2.一個(gè)直角梯形上底、下底和高之比為一個(gè)直角梯形上底、下底和高之比為 將將此直角梯形以垂直于底的腰為軸旋轉(zhuǎn)一周形成一此直角梯形以垂直于底的腰為軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓臺(tái)，求這個(gè)圓臺(tái)上底面積、下底面積和側(cè)面積個(gè)圓臺(tái)，求這個(gè)圓臺(tái)上底面積、下底面積和側(cè)面積之比之比. .2 45,: : :222222ACOA-OCOA-O B4x-2x2x,BCO O5x, ABACBC(2x)( 5x)3x, S:S:S (2x) : (4x)

11、 : (2x4x) 3x2:8:9.側(cè)側(cè) 下上即這個(gè)圓臺(tái)上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為即這個(gè)圓臺(tái)上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為2:8:9.【解析解析】由題意，可設(shè)直角梯形上底、下底和高為由題意，可設(shè)直角梯形上底、下底和高為它們分別是圓臺(tái)的上、下底面半徑和高它們分別是圓臺(tái)的上、下底面半徑和高. .在圖中，過點(diǎn)在圖中，過點(diǎn)B B作作BCBCO OA A于于C,C,則在則在RtRtABCABC中，中，2 ,4 , 5 .xxx2xBA5xOCO所以所以因此因此1.1.一直角梯形上底、下底和高之比是一直角梯形上底、下底和高之比是將此直角梯形以垂直于底的腰為軸旋轉(zhuǎn)一周形成一將此直角梯形以垂直于底的腰

12、為軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓臺(tái)，則這個(gè)圓臺(tái)上底面積、下底面積和側(cè)面積個(gè)圓臺(tái)，則這個(gè)圓臺(tái)上底面積、下底面積和側(cè)面積之比是之比是 . .123: : :，1:4:61:4:62.2.一個(gè)正三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為一個(gè)正三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為5 5的正三角形，側(cè)棱的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為長(zhǎng)為4 4，則其側(cè)面積為，則其側(cè)面積為 _._.60603.3.（20122012安徽高考）某幾何體的三視圖如圖所安徽高考）某幾何體的三視圖如圖所示示, ,該幾何體的表面積是該幾何體的表面積是_. _. 【提示提示】由三視圖可知由三視圖可知, ,原幾何原幾何體是一個(gè)底面是直角梯形體是一個(gè)底面是直角梯形, ,高為高為4 4的直四棱柱的

13、直四棱柱, ,其底面積為其底面積為28,28,側(cè)面?zhèn)让娣e為積為64,64,故表面積為故表面積為92. 92. 9292【解析解析】過點(diǎn)過點(diǎn)A A作作ACACOBOB于點(diǎn)于點(diǎn)C,C,在在RtABCRtABC中，中，因?yàn)橐驗(yàn)锳BC=60ABC=60，O OA=10,OB=20A=10,OB=20，所以所以BC=10BC=10，所以所以 AB=20AB=20，所以所以S S圓臺(tái)圓臺(tái)= =10102 2+20+202 2+ +（10+2010+20）203454.203454.OOO OC CB BA A4.4.一個(gè)圓臺(tái)，上、下底面半徑分別為一個(gè)圓臺(tái)，上、下底面半徑分別為10,2010,20，母線與底

14、，母線與底面的夾角為面的夾角為6060，求圓臺(tái)的表面積，求圓臺(tái)的表面積. (. (取取3.14)3.14)【解析解析】底座是正四棱臺(tái)，它的斜高底座是正四棱臺(tái)，它的斜高所以它的側(cè)面積是所以它的側(cè)面積是_4_4_12_12_16_62222-5,22146 45 180 cm2 bahhS側(cè)（）（12）（）.5.,.如如圖圖，是是一一個(gè)個(gè)獎(jiǎng)獎(jiǎng)杯杯的的三三視視圖圖底底座座是是正正四四棱棱臺(tái)臺(tái)，求求這這個(gè)個(gè)獎(jiǎng)獎(jiǎng)杯杯底底座座的的側(cè)側(cè)面面積積（單位：）（單位：）簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面積簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面積幾何體幾何體側(cè)面展開圖側(cè)面展開圖側(cè)面積公式側(cè)面積公式圓柱圓柱 S S圓柱側(cè)圓柱側(cè)=_=_， r r為底面半徑，為底面半徑， l為為_圓錐圓錐 S S圓錐側(cè)圓錐側(cè)=_=_， r r為底面半徑，為底面半徑， l為為_2r2rl側(cè)面母線長(zhǎng)側(cè)面母線長(zhǎng)rrl側(cè)面母線長(zhǎng)側(cè)面母線長(zhǎng)幾何體幾何體側(cè)面展開圖側(cè)面展開圖側(cè)面積公式側(cè)面積公式圓臺(tái)圓臺(tái)S S圓臺(tái)側(cè)圓臺(tái)側(cè)=_=_，r r1 1為上底面半徑，為上底面半徑，r r2 2為下底面半徑，為下底面半徑，l為為_._.直棱柱直棱柱S S直棱柱側(cè)直棱柱側(cè)=_,=_,c c為底面為底面_,_,h h為為_._.(r(r1