第三章第3講　用導數研究函數的最值

1、抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考第第3講用導數研究函數的最值講用導數研究函數的最值抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考點梳理考點梳理(1)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數上連續(xù)的函數f(x)在在a，b上必有最大值上必有最大值與最小值與最小值(2)若函數若函數f(x)在在a，b上單調遞增，則上單調遞增，則f(a)為函數的最小為函數的最小值，值，f(b)為函數的最大值；若函數為函數的最大值；若函數f(x)在在a，b上單調遞上單調遞減，則減，則f(a)為函數的最大值，為函數的最大值，f(b)為函數的最小值為函數的最小值1函數的最值函

2、數的最值抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考2設函數設函數f(x)在在a，b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a，b)內可導，求內可導，求f(x)在在a，b上的最大值和最小值的步驟如下：上的最大值和最小值的步驟如下：(1)求求f(x)在在(a，b)內的極值；內的極值；(2)求得的求得的f(x)的各極值與的各極值與_比較，其中最大的比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值一個是最大值，最小的一個是最小值f(a)，f(b)抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考求函數在某個區(qū)間的最值求函數在某個區(qū)間的最值根據最值定理，求在閉區(qū)間根據最值定理，求在

3、閉區(qū)間a，b上連續(xù)，開區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間(a，b)內可導的函數的最值時，可將過程簡化，即不用判斷導數內可導的函數的最值時，可將過程簡化，即不用判斷導數為零的點是極大值還是極小值點，直接將極值點與端點的為零的點是極大值還是極小值點，直接將極值點與端點的函數值進行比較，就可判定最大函數值進行比較，就可判定最大(小小)的函數值，就是最大的函數值，就是最大(小小)值對于開區(qū)間值對于開區(qū)間(a，b)內可導的函數內可導的函數(定義域為開區(qū)間定義域為開區(qū)間或半開半閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間)求最值時，除求出函數的極大值，極小求最值時，除求出函數的極大值，極小值外，還應考慮函數在區(qū)間端點處的極限值或畫出函數的值外，

4、還應考慮函數在區(qū)間端點處的極限值或畫出函數的大致圖象，再判定函數的最大大致圖象，再判定函數的最大(小小)值，否則會犯錯誤值，否則會犯錯誤【助學助學微博微博】抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考點自測考點自測抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考3若函數若函數y2x33x212xa在區(qū)間在區(qū)間0,2上的最大值為上的最大值為5，則，則a的值為的值為_ 答案答案5抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考5(2012蘇州等五市三區(qū)期中考試蘇州等五市三區(qū)

5、期中考試)已知函數已知函數f(x)exeln x，則，則f(x)的最小值為的最小值為_ 答案答案e抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若曲線若曲線yf(x)與曲線與曲線yg(x)在它們的交點在它們的交點(1，c)處具有處具有公共切線，求公共切線，求a，b的值；的值；(2)當當a24b時，求函數時，求函數f(x)g(x)的單調區(qū)間，并求其在區(qū)的單調區(qū)間，并求其在區(qū)間間(，1上的最大值上的最大值考向一考向一利用導數求出函數的最值利用導數求出函數的最值【例例1】 (2012北京卷北京卷)已知函數已知函數f(x)ax21(a0)，g(x)x3 bx.抓住抓住2個個考

6、點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考解解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.曲線曲線yf(x)與曲線與曲線yg(x)在它們的交點在它們的交點(1，c)處具有公處具有公共切線，共切線，f(1)g(1)，且，且f(1)g(1)即即a11b，且且2a3b.解得解得a3，b3.抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結方法總結 在解決類似的問題時，首先要注意區(qū)分函數最在解決類似的問題時，首先要注意區(qū)分函數最值與極值的區(qū)別求

7、解函數的最值時，要先求函數值與極值的區(qū)別求解函數的最值時，要先求函數yf(x)在在a，b內所有使內所有使f(x)0的點，再計算函數的點，再計算函數yf(x)在區(qū)間在區(qū)間內所有使內所有使f(x)0的點和區(qū)間端點處的函數值，最后比較的點和區(qū)間端點處的函數值，最后比較即得，也可利用函數的單調性求得即得，也可利用函數的單調性求得抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求求f(x)的單調區(qū)間；的單調區(qū)間；(2)求求f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最小值上的最小值解解(1)f(x)(xk1)ex.令令f(x)0，得，得xk1.f(x)與與f(x)的變化情況如下：的變化情況如下

8、：【訓練訓練1】 已知函數已知函數f(x)(xk)ex.x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，所以，f(x)的單調遞減區(qū)間是的單調遞減區(qū)間是(，k1)；單調遞增區(qū)間；單調遞增區(qū)間是是(k1，)抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)當當k10，即，即k1時，函數時，函數f(x)在在0,1上單調遞增上單調遞增所以所以f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最小值為上的最小值為f(0)k；當當0k11，即，即1k2時，時，由由(1)知知f(x)在在0，k1)上單調遞減，在上單調遞減，在(k1,1上單調遞上單調遞增，所以增，所以f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最

9、小值為上的最小值為f(k1)ek1；當當k111，即，即k2時，函數時，函數f(x)在在0,1上單調遞減，上單調遞減，所以所以f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最小值為上的最小值為f(1)(1k)e.綜上所述綜上所述f(x)在在0,1上的最小值為上的最小值為抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若若ke，試確定函數，試確定函數f(x)的單調區(qū)間；的單調區(qū)間；(2)若若k0，且對于任意，且對于任意xR，f(|x|)0恒成立，試確定實數恒成立，試確定實數k的取值范圍的取值范圍解解(1)由由ke，得，得f(x)exex，所以，所以f(x)exe.由由f(x)0，得，得x

10、1，即，即f(x)的單調增區(qū)間為的單調增區(qū)間為(1，)；由；由f(x)0，得，得x0對任意對任意x0恒成立恒成立即即f(x)min0(x0)由由f(x)exk0，得，得xln k.考向二考向二函數最值的應用函數最值的應用【例例2】 (2012江蘇徐州二模江蘇徐州二模)已知函數已知函數f(x)exkx，xR.抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考當當k(0,1時，時，f(x)exk1k0(x0)，此時此時f(x)在在0，)上單調遞增，故上單調遞增，故f(x)f(0)10，符合，符合題意題意當當k(1，)時，時，ln k0.當當0 xln k時，時，f(x)ln k時，

11、時，f(x)0，f(x)在在(ln k，)上單調遞增故當上單調遞增故當xln k時，時，f(x)取極小值，即為最小值取極小值，即為最小值f(ln k)由題意，得由題意，得f(ln k)kkln k0又又k1，所以，所以1k0.【示例示例】 (2012浙江卷浙江卷)已知已知a0，bR，函數，函數f(x)4ax32bxab.證明：當證明：當0 x1時時抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個個考點考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考點評點評 本題無論是求函數本題無論是求函數f(x)在在0,1上的最大值或證明上的最大值或證明f(x)|2ab|a0，都是導數在求函數極值與最