黃曄的正弦定理教案

1、正弦定理教案戶縣第八中學(xué) 黃曄一、 教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課時(shí)“正弦定理”教學(xué)的第一課時(shí)，主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，同時(shí)在這個(gè)過程中，復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，讓學(xué)生掌握新知識(shí)，體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系。教學(xué)過程中，應(yīng)發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，通過探究，引導(dǎo)學(xué)生提出猜想，進(jìn)而證明猜想的正確性。培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想，善于思考的品質(zhì)。二、 學(xué)生情況分析學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)與平面向量的有關(guān)內(nèi)容，但前后知識(shí)間的聯(lián)系，理解，應(yīng)用有一定的困難，因此教師應(yīng)恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，重視定理的探究過程，讓學(xué)生體會(huì)到成功的喜悅。三、 設(shè)計(jì)思想本節(jié)課是定理的探究課，重點(diǎn)是定理的發(fā)現(xiàn)與證明

2、，因此以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，為學(xué)生提供自由表達(dá)，質(zhì)疑和探究的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在一定的情況下，運(yùn)用自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，并通過與他人的協(xié)作，而主動(dòng)的獲取知識(shí)。體會(huì)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展的過程。四、 教學(xué)目標(biāo)1. 讓學(xué)生從已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，逐步理解和掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。2. 通過探究，培養(yǎng)學(xué)生合理猜想，探索數(shù)學(xué)知識(shí)和規(guī)律的能力和方法，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生和創(chuàng)造的過程。3. 通過學(xué)生之間，師生之間的交流與合作，增強(qiáng)學(xué)生的交流和協(xié)作能力。五、 重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明難點(diǎn)：正弦定理的證明六、 教學(xué)過程設(shè)計(jì)創(chuàng)設(shè)情景，提出問題問題1：一般三角形全等的判斷方法有哪些？學(xué)生可以回答得出SSS

3、，SAS，AAS，ASA這四種。師：這四種方法有什么特點(diǎn)？這說明什么樣的條件可以確定一個(gè)三角形？生1：都有3個(gè)條件。生2：三個(gè)邊的條件。生3：兩條邊一個(gè)角。生4：兩個(gè)角一條邊。師：也就是說，如果有一個(gè)三角形，一部分角和一部分邊已知，這個(gè)三角形的其他邊和角也就隨之確定了，因此三角形的邊和角之間一定存在某種聯(lián)系吧。【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)舊知識(shí)，同時(shí)引出新知識(shí)。問題2：在江河上修建大橋前，往往需要預(yù)先測(cè)量出大橋的長(zhǎng)度AB(如圖)，于是在江邊取了一個(gè)測(cè)量點(diǎn)C. BAC圖1 BAC圖2(1) 如圖1，若CB=1000m, ACB=45,ABC=90 ,由以上數(shù)據(jù)，能算出AB的長(zhǎng)嗎？(2) 如圖2，若CB=10

4、00m, ACB=45,ABC=75 ,由以上數(shù)據(jù)，能算出AB的長(zhǎng)嗎？對(duì)于情形1，學(xué)生很容易想到解直角三角形的方法，得出AB=BC=1000m。對(duì)于情形2，就會(huì)有很多不同的表達(dá)。但因?yàn)橛辛饲樾?的鋪墊，不難想到轉(zhuǎn)化為解直角三角形的方法。生：過作ADBC于點(diǎn)D（如圖3）,則BD=ABcos75，CD=AD=ABsin75,從而BC=BD+CD= ABcos75+ ABsin75AB=(m) ACDB圖3 ACDB圖4 師：非常好，那可不可以作其他的高線呢？生：如圖4，過,B作BDAC于點(diǎn)D,則BD=BCsin45=ABsin60, AB=師：對(duì)學(xué)生加以贊賞，并適時(shí)引導(dǎo)在剛才的推理過程中，若把已知

5、的BC寫成,要求的AB寫成，你能發(fā)現(xiàn)，和A，C之間有什么關(guān)系嗎？生：。師: 這個(gè)式子為了便于記憶，往往寫成，那么，他們是否也等于呢？生：等于。師：那么這個(gè)結(jié)果是否對(duì)一切的三角形都成立呢？【設(shè)計(jì)意圖】從實(shí)際問題入手，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生把新問題轉(zhuǎn)化成用已有的知識(shí)來解決。在解決問題后，對(duì)特殊問題一般化，大膽提出猜想，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想。 請(qǐng)學(xué)生用三角板，計(jì)算器，量角器為工具，對(duì)上述猜想加以驗(yàn)證，進(jìn)而得出：在任意三角形中，。A【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力。證明探究1. 特殊入手。CB在RtABC中，如何證明？生：，從而在RtABC中， 。2.

6、 推廣與擴(kuò)展問題1：在銳角ABC中，如何證明？ 受上面的啟發(fā)，學(xué)生比較容易想到以下方法。生：過作ADBC于點(diǎn)D，則，從而，同理可得，因此，。問題2：在鈍角ABC中，如何證明？ 可不可以仍然過A作BC的垂線呢（如圖）？讓學(xué)生進(jìn)行小組討論，找出規(guī)律。 生：AD=,從而，得證。師：非常好。這樣我們就可以通過把銳角和鈍角三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形處理，非常容易的證明出上述結(jié)果了。這條性質(zhì)我們稱之為正弦定理，也就是在一個(gè)三角形中，每一邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等。即?！驹O(shè)計(jì)意圖】根據(jù)“化歸“的思想，把銳角三角形和鈍角三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題是很自然的，學(xué)生易于接受，并且由于有上面的鋪墊，學(xué)生不難想到上

7、述的方法。問題3：既然都等于同一個(gè)比值，那么這個(gè)比值有什么特殊的意義嗎？引導(dǎo)學(xué)生回顧前面正弦定理的證明過程，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。生：在RtABC中，。師：斜邊c的長(zhǎng)度在直角三角形中還反映什么？生：外接圓的直徑。師：很好，外接圓的直徑2R ，因此=2R，那么，對(duì)于一般的三角形又是不是這樣的呢？我們又該如何證明?生：作出ABC的外接圓O看看。 BDCA，同理可得=2R。【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步探究“=2R”，一方面加深了學(xué)生對(duì)正弦定理的理解和記憶；另一方面，學(xué)生在學(xué)了正弦定理后也會(huì)很好奇的想知道這個(gè)值為什么總相等，通過外接圓就把不同的三角形類型之間的共同點(diǎn)給揭示出來了，讓學(xué)生體會(huì)發(fā)現(xiàn)的快樂。問題4：今天我們通

8、過“作高法”，“作外接圓法”證明了正弦定理=2R。前面我們剛剛學(xué)了平面向量，在平面向量中，數(shù)量積就在向量的長(zhǎng)度和夾角之間建立了聯(lián)系，這和正弦定理是很相像的。那么，我們可不可以用向量的方法來證明正弦定理呢?學(xué)生小組討論，教師適時(shí)引導(dǎo)，讓學(xué)生與前面用的平面幾何的方法對(duì)比。生：在銳角三角形中，可以作的法向量（如圖）。則·=0，·=·=·+· = =從而， 因此同理可得：ACB 對(duì)于直角三角形和鈍角三角形的情形，請(qǐng)同學(xué)們?cè)谡n后去探究一下?！驹O(shè)計(jì)意圖】向量，把數(shù)和形融為一體，是很重要的數(shù)學(xué)工具，但學(xué)生對(duì)如何用向量法證明幾何問題相對(duì)比較生疏，通過前面幾何法的鋪墊，學(xué)生感受起來就輕松多了。而且向量法證明簡(jiǎn)便快捷，也可以體會(huì)到向量法的優(yōu)點(diǎn)，從而在今后會(huì)主動(dòng)去嘗試和學(xué)習(xí)用向量的方法分析和解決問題，為后續(xù)知識(shí)（余弦定理等）的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們利用正弦定理解決一開始提出的問題。生：在ABC中，180BC=60（m）【設(shè)計(jì)意圖】利用正弦定理解決一開始提出的問題，既簡(jiǎn)單又快捷，讓學(xué)生體會(huì)到正弦定理的重要性，認(rèn)識(shí)到正弦定理是今后處理三角形問題的有力的武器。嘗試小結(jié) 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容,讓學(xué)生思考交流,歸納總結(jié),教師及時(shí)補(bǔ)充。這里面要體現(xiàn)以下幾點(diǎn)。正弦定理的內(nèi)