主成分分析原理

1、第七章 主成分分析（一）教學(xué)目的通過本章的學(xué)習(xí)，對主成分分析從總體上有一個(gè)清晰地認(rèn)識，理解主成分分析的基本思想和數(shù)學(xué)模型，掌握用主成分分析方法解決實(shí)際問題的能力。（二）基本要求了解主成分分析的基本思想，幾何解釋，理解主成分分析的數(shù)學(xué)模型，掌握主成分分析方法的主要步驟。（三）教學(xué)要點(diǎn)1、主成分分析基本思想，數(shù)學(xué)模型，幾何解釋2、主成分分析的計(jì)算步驟及應(yīng)用（四）教學(xué)時(shí)數(shù)3課時(shí)（五）教學(xué)內(nèi)容1、主成分分析的原理及模型2、主成分的導(dǎo)出及主成分分析步驟 在實(shí)際問題中，我們經(jīng)常會遇到研究多個(gè)變量的問題，而且在多數(shù)情況下，多個(gè)變量之間常常存在一定的相關(guān)性。由于變量個(gè)數(shù)較多再加上變量之間的相關(guān)性，勢必增加了分

2、析問題的復(fù)雜性。如何從多個(gè)變量中綜合為少數(shù)幾個(gè)代表性變量，既能夠代表原始變量的絕大多數(shù)信息，又互不相關(guān)，并且在新的綜合變量基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)分析，這時(shí)就需要進(jìn)行主成分分析。第一節(jié) 主成分分析的原理及模型一、主成分分析的基本思想與數(shù)學(xué)模型（一）主成分分析的基本思想主成分分析是采取一種數(shù)學(xué)降維的方法，找出幾個(gè)綜合變量來代替原來眾多的變量，使這些綜合變量能盡可能地代表原來變量的信息量，而且彼此之間互不相關(guān)。這種將把多個(gè)變量化為少數(shù)幾個(gè)互相無關(guān)的綜合變量的統(tǒng)計(jì)分析方法就叫做主成分分析或主分量分析。主成分分析所要做的就是設(shè)法將原來眾多具有一定相關(guān)性的變量，重新組合為一組新的相互無關(guān)的綜合變量來代替

3、原來變量。通常，數(shù)學(xué)上的處理方法就是將原來的變量做線性組合，作為新的綜合變量，但是這種組合如果不加以限制，則可以有很多，應(yīng)該如何選擇呢？如果將選取的第一個(gè)線性組合即第一個(gè)綜合變量記為，自然希望它盡可能多地反映原來變量的信息，這里“信息”用方差來測量，即希望越大，表示包含的信息越多。因此在所有的線性組合中所選取的應(yīng)該是方差最大的，故稱為第一主成分。如果第一主成分不足以代表原來個(gè)變量的信息，再考慮選取即第二個(gè)線性組合，為了有效地反映原來信息，已有的信息就不需要再出現(xiàn)在中，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是要求，稱為第二主成分，依此類推可以構(gòu)造出第三、四第個(gè)主成分。（二）主成分分析的數(shù)學(xué)模型對于一個(gè)樣本資料，觀測個(gè)

4、變量，個(gè)樣品的數(shù)據(jù)資料陣為：其中：主成分分析就是將個(gè)觀測變量綜合成為個(gè)新的變量（綜合變量），即簡寫為： 要求模型滿足以下條件：互不相關(guān)（，）的方差大于的方差大于的方差，依次類推 于是，稱為第一主成分，為第二主成分，依此類推，有第個(gè)主成分。主成分又叫主分量。這里我們稱為主成分系數(shù)。上述模型可用矩陣表示為：，其中 稱為主成分系數(shù)矩陣。二、主成分分析的幾何解釋假設(shè)有個(gè)樣品，每個(gè)樣品有二個(gè)變量，即在二維空間中討論主成分的幾何意義。設(shè)個(gè)樣品在二維空間中的分布大致為一個(gè)橢園，如下圖所示：圖7.1 主成分幾何解釋圖將坐標(biāo)系進(jìn)行正交旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使其橢圓長軸方向取坐標(biāo)，在橢圓短軸方向取坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)公式為寫成矩陣

5、形式為：其中為坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換矩陣，它是正交矩陣，即有，即滿足。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后，得到下圖的新坐標(biāo)：圖7.2 主成分幾何解釋圖新坐標(biāo)有如下性質(zhì)：(1)個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和的相關(guān)幾乎為零。(2)二維平面上的個(gè)點(diǎn)的方差大部分都?xì)w結(jié)為軸上，而軸上的方差較小。和稱為原始變量和的綜合變量。由于個(gè)點(diǎn)在軸上的方差最大，因而將二維空間的點(diǎn)用在軸上的一維綜合變量來代替，所損失的信息量最小，由此稱軸為第一主成分，軸與軸正交，有較小的方差，稱它為第二主成分。三、主成分分析的應(yīng)用主成分概念首先是由Karl parson 在1901年引進(jìn)，但當(dāng)時(shí)只對非隨機(jī)變量來討論的。1933年Hotelling將這個(gè)概念推廣到隨機(jī)變量。特別是近年

6、來，隨著計(jì)算機(jī)軟件的應(yīng)用，使得主成分分析的應(yīng)用也越來越廣泛。其中，主成分分析可以用于系統(tǒng)評估。系統(tǒng)評估是指對系統(tǒng)營運(yùn)狀態(tài)做出評估，而評估一個(gè)系統(tǒng)的營運(yùn)狀態(tài)往往需要綜合考察許多營運(yùn)變量，例如對某一類企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益作評估，影響經(jīng)濟(jì)效益的變量很多，很難直接比較其優(yōu)劣，所以解決評估問題的焦點(diǎn)是希望客觀、科學(xué)地將一個(gè)多變量問題綜合成一個(gè)單變量形式，也就是說只有在一維空間中才能使排序評估成為可能，這正符合主成分分析的基本思想。在經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)研究中，除了經(jīng)濟(jì)效益的綜合評價(jià)研究外，對不同地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的評價(jià)研究，不同地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展競爭力的評價(jià)研究，人民生活水平、生活質(zhì)量的評價(jià)研究，等等都可以用主成分分析方法進(jìn)行研

7、究。另外，主成分分析除了用于系統(tǒng)評估研究領(lǐng)域外，還可以與回歸分析結(jié)合，進(jìn)行主成分回歸分析，以及利用主成分分析進(jìn)行挑選變量，選擇變量子集合的研究。第二節(jié) 主成分的導(dǎo)出及主成分分析的步驟一、主成分的導(dǎo)出 根據(jù)主成分分析的數(shù)學(xué)模型的定義，要進(jìn)行主成分分析，就需要根據(jù)原始數(shù)據(jù)，以及模型的三個(gè)條件的要求，如何求出主成分系數(shù)，以便得到主成分模型。這就是導(dǎo)出主成分所要解決的問題。1、根據(jù)主成分?jǐn)?shù)學(xué)模型的條件要求主成分之間互不相關(guān)，為此主成分之間的協(xié)差陣應(yīng)該是一個(gè)對角陣。即，對于主成分，其協(xié)差陣應(yīng)為，=2、設(shè)原始數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣為，如果原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化處理后則協(xié)方差陣等于相關(guān)矩陣，即有，3、再由主成分?jǐn)?shù)學(xué)模

8、型條件和正交矩陣的性質(zhì)，若能夠滿足條件最好要求為正交矩陣，即滿足于是，將原始數(shù)據(jù)的協(xié)方差代入主成分的協(xié)差陣公式得展開上式得展開等式兩邊，根據(jù)矩陣相等的性質(zhì)，這里只根據(jù)第一列得出的方程為：為了得到該齊次方程的解，要求其系數(shù)矩陣行列式為0，即顯然，是相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值，是相應(yīng)的特征向量。根據(jù)第二列、第三列等可以得到類似的方程，于是是方程的個(gè)根，為特征方程的特征根，是其特征向量的分量。4、下面再證明主成分的方差是依次遞減設(shè)相關(guān)系數(shù)矩陣的個(gè)特征根為，相應(yīng)的特征向量為相對于的方差為同樣有：，即主成分的方差依次遞減。并且協(xié)方差為：綜上所述，根據(jù)證明有，主成分分析中的主成分協(xié)方差應(yīng)該是對角矩陣，其對角線上

9、的元素恰好是原始數(shù)據(jù)相關(guān)矩陣的特征值，而主成分系數(shù)矩陣的元素則是原始數(shù)據(jù)相關(guān)矩陣特征值相應(yīng)的特征向量。矩陣是一個(gè)正交矩陣。于是，變量經(jīng)過變換后得到新的綜合變量新的隨機(jī)變量彼此不相關(guān)，且方差依次遞減。二、主成分分析的計(jì)算步驟樣本觀測數(shù)據(jù)矩陣為：第一步：對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。 其中 第二步：計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)矩陣。為方便，假定原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后仍用表示，則經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理后的數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為: 第三步：用雅克比方法求相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值（）和相應(yīng)的特征向量。第四步：選擇重要的主成分，并寫出主成分表達(dá)式。主成分分析可以得到個(gè)主成分，但是，由于各個(gè)主成分的方差是遞減的，包含的信息量也是遞減的，所以實(shí)際分析

10、時(shí)，一般不是選取個(gè)主成分，而是根據(jù)各個(gè)主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率的大小選取前個(gè)主成分，這里貢獻(xiàn)率就是指某個(gè)主成分的方差占全部方差的比重，實(shí)際也就是某個(gè)特征值占全部特征值合計(jì)的比重。即貢獻(xiàn)率=貢獻(xiàn)率越大，說明該主成分所包含的原始變量的信息越強(qiáng)。主成分個(gè)數(shù)的選取，主要根據(jù)主成分的累積貢獻(xiàn)率來決定，即一般要求累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到85%以上，這樣才能保證綜合變量能包括原始變量的絕大多數(shù)信息。另外，在實(shí)際應(yīng)用中，選擇了重要的主成分后，還要注意主成分實(shí)際含義解釋。主成分分析中一個(gè)很關(guān)鍵的問題是如何給主成分賦予新的意義，給出合理的解釋。一般而言，這個(gè)解釋是根據(jù)主成分表達(dá)式的系數(shù)結(jié)合定性分析來進(jìn)行的。主成分是原來變量的線性組合，在這個(gè)線性組合中個(gè)變量的系數(shù)有大有小，有正有負(fù)，有的大小相當(dāng)，因而不能簡單地認(rèn)為這個(gè)主成分是某個(gè)原變量的屬性的作用，線性組合中各變量系數(shù)的絕對值大者表明該主成分主要綜合了絕對值大的變量，有幾個(gè)變量系數(shù)大小相當(dāng)時(shí)，應(yīng)認(rèn)為這一主成分是這幾個(gè)變量的總和，這幾個(gè)變量綜合在一起應(yīng)賦予怎樣的實(shí)際意義，這要結(jié)合具體實(shí)