“用 兩 條 腿 走 路”

1、“用 兩 條 腿 走 路”    摘要：數(shù)學(xué)思維在思維科學(xué)中具有極其重要的地位，中學(xué)數(shù)學(xué)幾乎無(wú)時(shí)無(wú)刻不在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維活動(dòng)，因此作為初中數(shù)學(xué)教師就需要我們精心地設(shè)計(jì)思維訓(xùn)練的方案，要不失時(shí)機(jī)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行各種思維的培養(yǎng)，教者認(rèn)為在數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練方面，要加強(qiáng)“發(fā)散性”訓(xùn)練和“收斂性”訓(xùn)練相結(jié)合；動(dòng)靜訓(xùn)練結(jié)合，正反訓(xùn)練結(jié)合，“漸進(jìn)性”與“跳躍性”訓(xùn)練結(jié)合，“直觀性”與“抽象性”訓(xùn)練結(jié)合。用兩條腿走路對(duì)教學(xué)是大有裨益的。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)

2、思維         關(guān)系          結(jié)合           訓(xùn)練 初中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅蘊(yùn)含了廣博精深的知識(shí)，更體現(xiàn)了豐富的思想和方法，是對(duì)學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的最佳素材，但筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：在對(duì)著千變?nèi)f化的習(xí)題，往往有很多同學(xué)會(huì)望而生畏，影響了他們對(duì)教學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和各種能力的培養(yǎng)，這就需要教師不斷地優(yōu)化教育藝術(shù)和策略來(lái)幫助學(xué)

3、生真正地學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，要精心地設(shè)計(jì)思維訓(xùn)練的方案，要不失時(shí)機(jī)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行各種思維的培養(yǎng)。一、“發(fā)散性”訓(xùn)練和“斂聚性”訓(xùn)練相結(jié)合。創(chuàng)造性思維是創(chuàng)造力的基礎(chǔ)，創(chuàng)造思維多以發(fā)散思維開始，以收斂思維告終，兩種思維缺一不可，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是一個(gè)特殊的認(rèn)知過程，經(jīng)歷從發(fā)散到收斂的過程，說明收斂思維能力和發(fā)散思維能力在整個(gè)思維能力中的特殊重要性，有必要把收斂思維訓(xùn)練與發(fā)散思維訓(xùn)練結(jié)合起來(lái)。所謂發(fā)散思維是指沿著各種不同的方法去思想問題，尋求多樣性解答的思維方式，它從給定的信息中產(chǎn)生新的信息，獲得多種可能的結(jié)果。因此，在中學(xué)教學(xué)中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行發(fā)散思維訓(xùn)練，對(duì)于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維能力，具有重要的作用。例1：已知：如

4、圖2-1，兩圓內(nèi)切于點(diǎn)T，TA，TB分別交O，O于點(diǎn)A，C，B，D，連結(jié)AB，CD，求證：ABCD。(選自黃新民書P46頁(yè))演變1：  已知：如圖2-2，兩圓相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線AC，BC，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)，且交O，于點(diǎn)A，C，B，D，連結(jié)AB，CD。求證：ABCD。演變2 ： 已知：如圖2-3，兩圓外切于點(diǎn)T，直線AB，BC過點(diǎn)T，分別交O，O于點(diǎn)A，D，B，C，連結(jié)AB，CD，求證：ABCD。   演變3：若在演變1中增加條件“ACBD。”則可以得出什么結(jié)論？AC=BD，（2）AB=CD，（3）四邊形ABCD是平行四邊形）開放2已知：O和O相交于E，F(xiàn)

5、兩點(diǎn)，經(jīng)過E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別作直線AC和BD，連結(jié)AB，CD。問：當(dāng)AC和BD滿足怎樣的條件時(shí)，四邊形ABCD是怎樣的特殊四邊形？并證明所得的結(jié)論（此時(shí)，由于沒有給出圖形，因此可以得出各種不同的結(jié)論）。在原問題的演變和開放的過程中，教師只是做一些提示，然后由學(xué)生自己編題，增強(qiáng)學(xué)生的參與感，破除學(xué)生對(duì)問題的神秘感，實(shí)現(xiàn)心理?yè)Q位，使學(xué)生能夠深刻地理解原問題的數(shù)學(xué)意義，自由地、發(fā)散地創(chuàng)作新問題，使學(xué)生思維的廣闊性得到培養(yǎng)。當(dāng)然，我們?cè)谂囵B(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的同時(shí)，也要注重對(duì)學(xué)生的斂聚性思維的培養(yǎng)，斂聚性思維主要是指從特殊到一般的思維過程，也是一個(gè)分類、概括、歸納的思維過程，斂聚性思維能力的提高，有利于學(xué)生綜

6、合運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行解題 的能力提高，有利于學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行解題能力的提高，故我們?cè)谡鹿?jié)小結(jié)或發(fā)散思維后要對(duì)學(xué)生進(jìn)行斂聚性思維的培訓(xùn)，在強(qiáng)調(diào)一題多解，也要重視多題一解的訓(xùn)練。例2：兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，其中一個(gè)正方形的某一個(gè)頂點(diǎn)位于另一個(gè)正方形的中心O，并繞O旋轉(zhuǎn)。求：兩個(gè)正方形重疊部分的面積。   分析：據(jù)一般情形，兩個(gè)正方形重疊部分是一個(gè)不規(guī)則的四邊形，不易判定其面積的大小，考慮到特殊化策略，不妨將繞O旋轉(zhuǎn)的正方形置于特殊位置，比如使該正方形的邊平行于以O(shè)為中心的正方形的邊。例3：如圖20-5，P是等腰三角形ABC的底邊BC上異于B，C兩點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

7、過點(diǎn)P作BC的垂線分別交AB，BC（或其延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，ADBC，垂足為D。（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)時(shí)，E，F(xiàn)皆重合于A點(diǎn)，此時(shí)有PE+PF=    AD；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)點(diǎn)D以外的任一位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍成立？若不成立，請(qǐng)說明理由；若成立，給予證明。（選自中考數(shù)學(xué)P60頁(yè)）評(píng)析：根據(jù)由特殊狀態(tài)推出一般，聯(lián)想到含有動(dòng)點(diǎn)問題的幾何的一思路是動(dòng)中求靜，找出動(dòng)點(diǎn)的特殊位置。二、動(dòng)靜結(jié)合訓(xùn)練動(dòng)和靜是矛盾的統(tǒng)一，是問題的兩個(gè)方面，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化，真可謂是“動(dòng)中有靜，靜中有動(dòng)”“靜中有動(dòng)”就是通過圖中有關(guān)的點(diǎn)、線段或部分圖形的變化或運(yùn)動(dòng)得到許多新的圖形；“動(dòng)

8、中有靜”就是指有些圖形通過適當(dāng)?shù)淖兓瑪?shù)學(xué)中的某些問題如能恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)，用動(dòng)態(tài)的思維去分析，解決問題，善于捕捉運(yùn)動(dòng)中相對(duì)靜止的信息，在運(yùn)動(dòng)中分析，在變化中求解，動(dòng)靜結(jié)合，巧妙構(gòu)思，讓人回味。例4：如圖，E，F(xiàn)分別是正方形，ABCD的邊BC，CD上的點(diǎn)，且EAF=45°，AHEF于H點(diǎn)，求證：AH=BC。（選自中學(xué)數(shù)學(xué)教研頁(yè)）分析：從1+2=45°出發(fā)，把ADF順時(shí)針繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°至ABO，易知O，B，E，C四點(diǎn)在一條直線上，證得：OAEFAE，故AH=AB=BC。例5：操作：將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上

9、滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q。探究：設(shè)A，P兩點(diǎn)間的距離為x。（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)的x的值；如果不可能，試說明理由。三、“正面性”訓(xùn)練和“反面性”“逆向性”訓(xùn)練相結(jié)合所謂“正面性”訓(xùn)練就是正確的解題思路進(jìn)行下面引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生思維，這是常見的訓(xùn)練形式，這里不再舉例贅述。所謂“反

10、面性”訓(xùn)練，是指教學(xué)為糾正某種易發(fā)生錯(cuò)誤而設(shè)置的思維圈套故意地將學(xué)生引入岐途，然后通過分析，讓學(xué)生得出正確的思路。“逆向性”訓(xùn)練指的是有些例題正面難以突破，應(yīng)該采用逆向思維，改變思維方式，從反面逆向思維，實(shí)現(xiàn)知與未知的轉(zhuǎn)化。例6：計(jì)算老師可設(shè)計(jì)過程：原式=乍看上去，這種解答正確無(wú)誤，學(xué)生也不介意，以為這個(gè)問題已解決了，這時(shí)應(yīng)告戒學(xué)生這種解法正確嗎？為什么？請(qǐng)大家思考。例7：已知方程（a-1）x2+（a+1）x+a/4  =0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍。解：根據(jù)題意，有a-10         &#

11、160;   =（a+1）2-4（a-1）·a/4  0  a -1/3 且a1在解題中，涉及到方程有實(shí)數(shù)據(jù)，就形成了思維定勢(shì)，當(dāng)成一元二次方程求解。易忽略a-10時(shí)一次方程仍有解。例8：證明ABC中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°。分析：如果從正面思維，將要分很多情況進(jìn)行討論：A、B、C中，有1個(gè)不小于60°，若考慮反面：有0個(gè)不小于60°，即A、B、C都小于60°，就簡(jiǎn)捷多了。設(shè)A、B、C都小于60°，即A60°，B60°，C60°，則A+B+C180°，

12、與三角形中三內(nèi)角和為180°矛盾。四、“漸進(jìn)性”訓(xùn)練與“跳躍性”相結(jié)合。所謂“漸進(jìn)性”訓(xùn)練，是指根據(jù)循序漸進(jìn)的原則進(jìn)行訓(xùn)練，表現(xiàn)在研究某一具體數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)其難易程度，將一個(gè)復(fù)雜的思維過程有目的地分離成若干個(gè)簡(jiǎn)單的思維活動(dòng)，即設(shè)計(jì)一定的思維“臺(tái)階”，讓學(xué)生按臺(tái)階一個(gè)個(gè)地“爬”。例9：如圖，表示杭甬鐵路沿線主要城市之間路程的千米數(shù)，一列火車以80千米/時(shí)的速度，于上午8：10從寧波開出。問：杭州 相關(guān)視頻請(qǐng)到： 優(yōu)質(zhì)課視頻觀看    （1）從8：46到9：31，該列車行駛在哪一段鐵路線上？（途中停車時(shí)間略去不計(jì)）。（2）從何時(shí)到何時(shí)，列車行駛在

13、蕭山至杭州這段鐵路線上？（列從蕭山開出前合計(jì)停車25分，結(jié)果精確到分）。這是一道聯(lián)系生活實(shí)際的應(yīng)用題，學(xué)生較易理解，我通過設(shè)置以下問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，逐步分析，最后通過建立函數(shù)這種數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問題。問題（1）這是一個(gè)行程問題，問題中包含有哪些量？哪些是常量？哪些是變量？問題（2）在速度不變的情況下，列車行駛的路程S（千米）與行駛時(shí)間t（小時(shí)）成什么關(guān)系？寫出函數(shù)關(guān)系式。問題（3）列車行駛的時(shí)間范圍是如何確定的。從8時(shí)46分到9時(shí)31分指的是從列車開出時(shí)間8時(shí)10分到8時(shí)46分時(shí)間為36分=    時(shí)；還是從8時(shí)10分開出到9時(shí)31分時(shí)間為1時(shí)21分=

14、0;    時(shí)。問題（4）由正比例函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)0.6t1.35時(shí)，80×0.6,80t,80×1.35這三個(gè)量之間的大小關(guān)系為      。問題（5）第二個(gè)問題中已知什么？求什么？觀察圖形可知，列車行駛在蕭山至杭州這段鐵路線上，路程S的取值范圍是147S108。如何求時(shí)間t的取值范圍？（可將S=80t代入，轉(zhuǎn)化為解不等式組問題）。問題（6）為確定火車開至蕭山、杭州的準(zhǔn)確時(shí)間，先將路上行駛時(shí)間   時(shí)化為   時(shí)  分，還要考慮到列車的開出時(shí)間

15、、路上停車時(shí)間、路上行駛時(shí)間，將三者相加即可。（列車到達(dá)蕭山時(shí)間為8時(shí)10分+25分+1時(shí)50分15秒=   時(shí)     分   秒；列車到達(dá)杭州時(shí)間為8時(shí)10分+25分+2時(shí)6分=    時(shí)  分）所謂“跳躍性”訓(xùn)練是指從提高學(xué)生思維敏捷性的目的出發(fā)，有計(jì)劃地、有步驟地、有可能地讓學(xué)生的思維活動(dòng)多個(gè)臺(tái)階地“跳”。例：如圖（1）在一條河的同一岸邊有A、B兩個(gè)村莊，要在河邊修碼頭M，使AM+BM為最短。確定M定位置；（2）若A、B在河岸兩側(cè)，則碼頭M的位置應(yīng)如何確定，才能使AM

16、+BM為最小。(選自黃崗中考114頁(yè))為提高學(xué)生的思維跨度，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力，這道題也可去掉第一個(gè)圖形，讓學(xué)生的思維去“跳躍”的解題。這兩種訓(xùn)練手段是一對(duì)矛盾，其實(shí)，它們是辯證的統(tǒng)一體，前者是基礎(chǔ)，后者是提高，教學(xué)時(shí)要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況因材施教的原則進(jìn)行，鄧從教學(xué)對(duì)象的接受能力、接受的難易程度兩方面去考慮安排。五、“直覺性”訓(xùn)練與“抽象性“訓(xùn)練直覺是假設(shè)或猜想的重要源泉，它幫助人們提出新的概念和思想，也幫助人們進(jìn)行選擇，同時(shí)還幫助人們進(jìn)行預(yù)測(cè)，因此，可以認(rèn)為創(chuàng)造性思維在一定意義上是直覺思維與邏輯的結(jié)合。然而隨著年級(jí)的升高，數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性也愈來(lái)愈強(qiáng)，有的知識(shí)也難以“直觀化”，這就需要我們數(shù)學(xué)

17、教師要將“抽象性”訓(xùn)練提高到一定高度，在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們要有側(cè)重地對(duì)學(xué)生進(jìn)行“抽象性”訓(xùn)練，對(duì)有些直觀化的知識(shí)，也應(yīng)逐步抽去其具體形象進(jìn)行思維，以便養(yǎng)成抽象思維的習(xí)慣。例10：如圖1，OA和OB是O的半徑，并且OAOB，P是OA上任意一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交O于Q，過Q的O的切線交OA延長(zhǎng)線于R，求證RP=RQ。  （選自中小學(xué)數(shù)學(xué)2001年第3期P26頁(yè)）此題可直觀猜想1，由于RQ是切線，猜想用切線性質(zhì)定理證明。猜想2，如圖2，考慮到半徑OB BO，QR是切線，猜想用切線定理證明。猜想3，如圖3，因?yàn)镺B是半徑，BQ是弦，猜想用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”證明。此題目的是讓學(xué)生在直觀的基礎(chǔ)

18、上培養(yǎng)猜想判斷能力。例11：不查表求Sin75°的值。此題可把它轉(zhuǎn)化到三角形中去解，做到數(shù)形結(jié)合。例12：m為何值時(shí)，方程x2+2mx-（m-12）=0的兩根都比2大。分析：此題若從方程的角度去解，難度較大，若能抓住數(shù)形的特征，將方程的兩根（數(shù)）看成函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)（形），此題就可以轉(zhuǎn)化為：m為何值時(shí)，拋物線y=x2+2mx-（m-12）=0與x軸的交點(diǎn)在點(diǎn)（2，0）的右側(cè)。由此可見，“直觀性”訓(xùn)練和“抽象性”訓(xùn)練都是思維訓(xùn)練中不可缺少的兩個(gè)方面，兩者均不可輕而視之，在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)熾，我以為形象思維只是抽象思維的一種輔助手段，抽象思維是以形象思維為基礎(chǔ)的一種較高級(jí)的思想形式，所以，我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中要把“直覺性”和“抽象性”訓(xùn)練緊密結(jié)合起來(lái)，使之融為一體，相得益彰。以上筆者簡(jiǎn)述了數(shù)學(xué)教學(xué)中要處理好的訓(xùn)練手段的五