測量誤差分析和實驗數(shù)據(jù)處理

1、力學實驗原理與技術復習提綱 （參考）第二章 測量誤差分析和實驗數(shù)據(jù)處理本章內(nèi)容：1. 測量誤差基本概念 2. 隨機誤差 3. 系統(tǒng)誤差 4. 間接誤差5. 測量結果的表示和不確定度 6. 實驗數(shù)據(jù)處理2.1 測量誤差基本概念1. 測量比較 測量的方式：（1）直接測量：米尺量桌子可直接知道桌子長度。（2）間接測量：由直接測量的數(shù)據(jù)，通過一定的函數(shù)關系，計算求得結果的測量方法 靜態(tài)測量與動態(tài)測量：按照被測量在測量過程中的狀態(tài)是否隨時間變化判斷靜態(tài)/動態(tài)，常規(guī)、穩(wěn)態(tài)/過程、瞬態(tài)2. 誤差測量的質(zhì)量 真值：在一定時空條件下，某物理量的理想值，表達為A 。真值僅為理想概念。真值可以用修正過的測量值的算術

2、平均值代替。 誤差的表達方法：絕對誤差: 測量值與被測量物理量的真值的差 示值相對誤差: 絕對誤差與真值的百分比 測量值相對誤差：絕對誤差與測量值x 的百分比例1 儀表的精度用額定相對誤差（滿度誤差）表示。額定相對誤差：絕對誤差與儀器滿度值 A0的百分比。A0表盤上的最大值（滿度值）。儀器工作在滿度值2/3以上區(qū)域 。思考題2：用萬用表測電池電壓1.5V ，選2V 檔？200V 檔？允許誤差更??？ 3. 誤差分類 系統(tǒng)誤差 多次測量同一被測量量過程中，誤差的數(shù)值在一定條件下保持恒定或以可預知方式變化的測量誤差的分量。來源于測量儀器本身精度、操作流程、操作方式、環(huán)境條件。 隨機誤差 多次測量同一

3、被測量量過程中，絕對值和符號以不可預知方式變化著的測量誤差的分量。具有隨機變量特點，一定條件下服從統(tǒng)計規(guī)率的誤差。來源于測量中的隨機因素：實驗裝置操作上的變動性、觀測者本人的判斷和估計讀數(shù)上的變動性等。2.2 隨機誤差1隨機誤差的特點隨機變量依賴隨機因素，以一定概率取值的變量，如：交通事故 隨機誤差隨機變量的一種具體形式， 2. 隨機誤差的正態(tài)分布（1） 隨機誤差分布特點：等精度條件下，對一物理現(xiàn)象測量N 次，得x1xN個值（i=1, N ）。 把xi 按大小順序分q 組，每組寬度 。N 個測量值落在xi + 區(qū)間的次數(shù)（頻率）為p*1p*q增加組數(shù)，縮小了 ，直方圖的頂點趨于一光滑曲線?？v坐

4、標趨于概率密度，表示隨機變量x （測量值）的分布曲線； 如果用 = x - A 代替x 值（ 絕對誤差），則上述方法得到p ( ，即隨機誤差的分布曲線。此時原點挪至A 。 隨機誤差正態(tài)誤差分布規(guī)律的四條公理：（）絕對誤差小出現(xiàn)機會多，絕對誤差大出現(xiàn)機會少； （）對稱性。N 足夠大， 相等；（）有界性。絕對值極大的誤差出現(xiàn)機會極少；（）抵償性， N 趨于無窮，隨機誤差的平均值的極限趨于0 (2 高斯正態(tài)分布等精度條件下測量N 次，x1.xN，誤差1.N測量誤差的均方值： 標準誤差測量誤差的均方根值隨機誤差分布規(guī)律f( 若符合高斯分布為： 稱精密度，s 越小則h 越大，曲線越尖，的離散性越小 。

5、落到和 + 之間的隨機誤差的概率（3）正態(tài)分布的應用對服從正態(tài)分布的誤差，誤差介于s 的概率為：1lim ( 0Ni N i 1N =, 0N 11Nii x x N =2211N i i N =2222( h f -=h =( ( p f d =( 0.6827p f d -=(*j p x p x x xx 誤差介于2 s和3 s的概率為極限誤差。 3 算術平均值最小二乘法指出：對等精度的多個測量值，最佳值（可信賴值）是使各測量值的誤差的平方和為最小時所求的值。推導： 絕對誤差：概率：誤差同時出現(xiàn)的概率是各個概率的乘積： p 最大則 最小結論：足夠次數(shù)的等精度測量的算術平均值是測量最佳值

6、4 標準誤差定義：誤差的均方根值 (1 貝塞爾公式法求 推導： 方差的基本預算法則用殘差 vi 代替絕對誤差 時，標準誤差 與 v 在N 趨于無窮時才相等。(2 最大殘差法求殘差：真值A 用算術平均值代替時的誤差 由正態(tài)分布，獲得不同N 次測量下的最大殘差ni 的平均值，則任一次測量可查表（已知），由正態(tài)分布理論給出。(3 標準誤差與平均誤差的關系p =A x i i -= 1(N i=221. i h NN p p p e-=2i 1Ni Q =2211( N N i i i i Q x A =-1d 2( 0d N i i Q x A A =-=11Ni i A x x N =v =i i

7、 x x -=i i x A-111111=N N N i i i i i i i N x x x x N N N -=-=-=22111NN i iN v N -=v =i i x x-11max , N Ni i i i i k v v x x N =-N k 11Nii N= 平均誤差誤差絕對值的算術平均值 平均誤差與標準誤差的關系：本節(jié)小結 隨機誤差特點 A 怎么求？最小二乘法 標準誤差及表示方法2.3 系統(tǒng)誤差不易發(fā)現(xiàn)但有一定規(guī)律，與隨機誤差同時存在。儀器誤差、裝置誤差、操作誤差、方法誤差 1. 發(fā)現(xiàn)和檢驗觀察殘差：發(fā)現(xiàn)測量中含有有規(guī)律累進性系差的同號（累進性）、交替（同時性）對實驗

8、原理、方法、步驟、儀器一一分析。2. 消除或減弱系統(tǒng)誤差的方法改進儀表的精度；改進測量方式：實驗進行的步驟、測量點的順序2.4 間接誤差直接測量不方便或不可能用間接方法。帶入誤差的機會：測尺寸，密度參數(shù)，體積計算等1. 線性函數(shù)誤差傳遞的一般法則 直接測量量： z1, , zm 直接測量量的誤差： 間接測量量y 為z 的線性函數(shù)： y 的絕對誤差： 相對誤差：標準誤差 2. 非線性函數(shù)誤差傳遞將y 在y 附近做Taylor 展開，且取一次近似 則絕對誤差 或54, , 1m z z 0i i z z z =-1y m i i i a z =1y mi ii a z =y yy y 1(, ,

9、m y f z z =1Nii i fy y y z z =+=+1m iif y z z =y =yy= 相對誤差 標準誤差 其中本節(jié)小結系統(tǒng)誤差及來源， 消除方法 ； 間接誤差的推導2.5 測量結果的表示和不確定度1. 直接測量結果的表示和總不確定度不確定度由于測量誤差的存在而對被測量值不能肯定的程度。表征被測量量的真值所處的量值范圍的評定。 A 統(tǒng)計方法算出的誤差分量B 非統(tǒng)計方法算出的誤差分量，與系統(tǒng)誤差有關。2. 間接測量結果的表示和不確定度的合成誤差表達式仍為： 統(tǒng)計方法算出的誤差分量A 表達方式相同； 非統(tǒng)計方法的誤差分量B , 是間接誤差。2.6 實驗數(shù)據(jù)的處理1.有效數(shù)字定義

10、：儀器可讀準的數(shù)字+1 位欠準數(shù)字（可疑數(shù)字）=有效數(shù)字 記錄測量數(shù)值，只保留一位欠準數(shù)字 當測量誤差已知時，測量結果的有效數(shù)字位數(shù)應與該誤差位數(shù)一致。若儀器誤差0.1Pa ，測量結果表達57.50.1Pa ，5是估計值。有效數(shù)字表示 普通記數(shù)法：637110km 科學計數(shù)法 10n, 6.371103 10km2. 實驗結果的數(shù)據(jù)處理按實驗先后順序排列數(shù)據(jù)求算術平均值計算殘差：理論上 計算標準誤差（用貝塞爾公式） 實驗不確定度= +B , 實驗結果的最后表達式y(tǒng) iz fx x =A B =+=A +B11Ni i x xN =i i v x x =-10Ni i v =x x =3. 實驗曲線繪制 實驗結果的表達：表格、曲線 繪制曲線，坐標選擇，誤差帶，曲線擬合 坐標系 直角坐標/對數(shù)坐標 自變量：x 軸，因變量：y 軸 坐標分度與實驗數(shù)據(jù)有效數(shù)字位數(shù) 多參數(shù) 三維（x,y,t） 實驗點 所有各組次的實驗點直接給 平均值+誤差帶 （判斷隨機誤差和系統(tǒng)誤差？） 擬合曲線 選擇函數(shù) 最小二乘法計算擬合度 軟件選擇（Excel、Origin、Matlab、SAS、SPSS 等） 4. 圖像處理的精度 SE