第七章 線性變換

1、第七章 線性變換計劃課時：24學(xué)時.( P 307334)§7.1 線性變換的定義及性質(zhì)（2學(xué)時）教學(xué)目的及要求：理解線性變換的定義，掌握線性變換的性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：線性變換的定義及線性變換的性質(zhì) 本節(jié)內(nèi)容可分為下面的兩個問題講授.一. 線性變換的定義（P307）注意：向量空間V到自身的同構(gòu)映射一定是V上的線性變換，反之不然。二. 線性變換的性質(zhì)定理7.1.1（P309）定理7.1.2 （P309）推論7.1.3 （P310）注意：1.定理7.1.2給出了在有限維向量空間構(gòu)造線性變換的方法，且說明了一個線性變換完全被它對基向量的作用所決定。2. 兩個線性變換相等當(dāng)且僅當(dāng)它們對任意一

2、個向量的作用結(jié)果相等，推論7.1.3 （P310）告訴我們，只要這兩個線性變換對某個基中的每個基向量的作用結(jié)果相等即可。作業(yè)：習(xí)題七 P330 1，2，3.§7.2 線性變換的運(yùn)算（4學(xué)時）教學(xué)目的及要求：掌握線性變換的運(yùn)算及線性變換可逆的條件教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：線性變換的運(yùn)算及線性變換可逆的條件 本節(jié)內(nèi)容分為下面四個問題講授：一. 加法運(yùn)算定義1 （P310） 注意：st 是V的線性變換. 二. 數(shù)乘運(yùn)算定義2 （P311） 顯然ks 也是V的一個線性變換. 定理7.2.1 L(V)對于線性變換的加法與數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成數(shù)域F上的一個向量空間. 三. 乘法運(yùn)算(1). 乘法運(yùn)算定義3 （P3

3、11-312） 注意：線性變換的乘法適合結(jié)合律，但不適合交換律及消去律. 兩個非零線性變換的乘積可能是零變換. (2). 線性變換s 的方冪四. 可逆線性變換定義4 （P313）線性變換可逆的充要條件 例2 （P314）線性變換的多項式的概念 (閱讀內(nèi)容). 作業(yè)：P330 習(xí)題七 4，5.§7.3 線性變換的矩陣（6學(xué)時）教學(xué)目的及要求：理解線性變換關(guān)于一個基的矩陣的定義，掌握x 與s (x)關(guān)于同一個基的坐標(biāo)之間的關(guān)系、線性變換與它們的和、數(shù)乘、乘積在同一個基下的矩陣的關(guān)系、同一個線性變換在不同基下的矩陣是相似的理論，掌握L(V)與Mn(F)的同構(gòu)理論。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：1. 線性

4、變換關(guān)于一個基的矩陣的定義。2. L(V)與Mn(F)的同構(gòu)理論，線性變換與它們的和、數(shù)乘、乘積在同一個基下的矩陣的關(guān)系。本節(jié)內(nèi)容分為下面四個問題講授：一. 線性變換s關(guān)于基的矩陣定義 （P316） 。注意：取定n維向量空間V的一個基之后，對于V的每一個線性變換，有唯一確定的n階矩陣與它對應(yīng). 例1 （P316）注意：一個線性變換在不同基下的矩陣通常是不同的.例2 （P317）例3 （P317）二. x與s (x)關(guān)于同一個基的坐標(biāo)之間的關(guān)系.定理 例4 （P318）三. L(V)與Mn(F)的同構(gòu)定理 （P320）定理 （P320）注意：1. 定理 （P320）的證明是本章的難點(diǎn)，在證明之前

5、應(yīng)復(fù)習(xí)證明所用到的知識點(diǎn)。2.由于L(V) 同構(gòu)于，所以就把研究一個很復(fù)雜的向量空間L(V)的問題轉(zhuǎn)化成研究一個很直觀具體的向量空間的問題。同構(gòu)是高等代數(shù)課程的一個基本概念。 3. 定理不僅給出了在有限維向量空間判定一個線性變換可逆的方法，而且給出了求逆變換的方法。四. 同一個線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系定理7.3.4 （P321）.作業(yè)：P331 習(xí)題七 6，9，12，17.§7.4 不變子空間（4學(xué)時）教學(xué)目的及要求：理解不變子空間、線性變換的值域與核、線性變換的秩與零度的定義及相關(guān)理論，掌握利用不變子空間化簡線性變換的矩陣的方法、求線性變換的值域與核的方法教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

6、1. 利用不變子空間化簡線性變換的矩陣的方法、線性變換的值域與核的概念2. 線性變換值域與核的計算本節(jié)內(nèi)容分為下面三個問題講授：一. 不變子空間的概念定義1 （P322） 定理 （P323）二. 利用不變子空間化簡線性變換的矩陣(1). 線性變換在不變子空間上的限制定義2 （P323） (2). 不變子空間與簡化線性變換的矩陣的關(guān)系. 三. 線性變換的值域與核 定義3 （P324） 定理 （P324）定理 （P325）定理 （P325）作業(yè)：P332-333 習(xí)題七 19，21，23，24，25.§7.5 線性變換的本征值和本征向量（4學(xué)時）教學(xué)目的及要求：理解線性變換本征值與本征向

7、量的定義，掌握有限維向量空間的線性變換的本征值和本征向量與它的矩陣的特征值和特征向量的關(guān)系，掌握線性變換的可對角化的條件教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：本征值和本征向量的求法 本節(jié)內(nèi)容分為下面三個問題講授：一. 本征值與本征向量的定義定義1（本征值與本征向量） （P327）.例1 (P327) 例2 (P327)例3 (P328) 注意：并不是每個線性變換都有本征值.無限維向量空間的一個線性變換的本征值可能有無窮多個。二. 本征值和本征向量的求法定理7.5.1 （P329）例4 （P329）例5 （P329）注意：1.有限維向量空間的線性變換的本征值最多有有限個。2.有限維向量空間的線性變換的本征值和本征向量與它