二次函數(shù)與三角形的存在性問題的解法

1、精品辦公文檔二次函數(shù)與三角形的存在性問題、預(yù)備知識1、坐標(biāo)系中或拋物線上有兩個點為P (x1, y), Q (x2, y)x(1)線段對稱軸是直線xi x22(2)AB兩點之間距離公式:PQ = (xi -X2)2 (yi - y2)2中點公式:yiy222、兩直線的解析式為y = kix+bi與y = k2x+b2如果這兩天兩直線互相垂直，則有ki永2 = 7L2: y=k2x+b23、平面內(nèi)兩直線之間的位置關(guān)系：兩直線分別為：Li: y=kix+bi(I)當(dāng) ki=k2, bi wb2 , Li/ L2(2)當(dāng) ki wk2, Li 與 L2相交(3) Kixk2= -i 時， Li 與

2、L2垂直二、三角形的存在性問題探究：三角形的存在性問題主要涉及到的是等腰三角形，等邊三角形，直角三角形(一)三角形的性質(zhì)和判定：1、等腰三角形性質(zhì)：兩腰相等，兩底角相等，三線合一（中線、高線、角平分線）。判定：兩腰相等，兩底角相等，三線合一（中線、高線、角平分線）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形性質(zhì)：滿足勾股定理的三邊關(guān)系，斜邊上的中線等于斜邊的一半。判定：有一個角是直角的三角形是直角三角形。3、等腰直角三角形性質(zhì)：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)，兩底角相等且等于45°。判定：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)的三角形是等腰直角三角形4、等邊三角形性質(zhì)：三邊相等，三個角相

3、等且等于 60° ,三線合一，具有等腰三角形的一切性質(zhì)。判定：三邊相等，拋物線或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ軸上三個角相等，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形?？偨Y(jié)：（1）已知A、B兩點，通過“兩圓一線”可以找到所有滿足條件的等腰三角形，要求 的點（不與A、B點重合）即在兩圓上以及兩圓的公共弦上（2）已知A、B兩點，通過“兩線一圓”可以找到所有滿足條件的直角三角形， 要求的點（不 與A、B點重合）即在圓上以及在兩條與直徑 AB垂直的直線上。（二）關(guān)于等腰三角形找點（作點）和求點的不同，1、等腰三角形找點（作點）方法：以已知邊為邊長，作等腰三角形，運用兩國一線法，在圖 上找出存在點的個

4、數(shù)，只找不求。2、等腰三角形求點方法：以已知邊為邊長，在拋物線或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ軸上找點，與已知點構(gòu) 成等腰三角形，先設(shè)所求點的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點間的距離公式求出三點間的線段長度，然后分 頂點進(jìn)行討論，如：已知兩點A、B,在拋物線上求一點C,使得三角形ABC為等腰三角形解法：這是求點法：先運用兩點間的距離公式分別求出線段 AB BC AC的長度，第二步，作假設(shè)，（1）以點A為頂點的兩條腰相等，即 AB=AC （2）以點B為頂點的兩 條腰相等，即BA=BC （3）以點C為頂點的兩條腰相等，即CA=CB第三步，根據(jù)以上等量關(guān)系，求出所求點的坐標(biāo)第四步進(jìn)行檢驗，這一步是非常重要的，因為求出的有些點是不符

5、合要求的。如：已知兩點A、B,在拋物線上求一點C,使得三角形ABC為等腰三角形解法：這是求點法：先運用兩點間的距離公式分別求出線段AB BC AC的長度，第二步，作假設(shè)，(1)以點A為頂點的兩條腰相等，即 AB=AC(2)以點B為頂點的兩條腰相等，即BA=BC(3)以點C為頂點的兩條腰相等，即CA=CB第三步，根據(jù)以上等量關(guān)系，求出所求點的坐標(biāo)第四步，進(jìn)行檢驗，這一步是非常重要的，因為求出的有些點是不符合要求的。(三)關(guān)于直角三角形找點和求點的方法1、直角三角形找點(作點)方法：以已知邊為邊長，作直角三角形，運用兩線一園法，在圖 上找出存在點的個數(shù)，只找不求。所謂的兩線就是指以已知邊為直角邊，

6、過已知邊的兩個端點分 別作垂線與拋物線或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ軸的交點，就是所求的點；一圓就是以已知邊為直徑，以已知 邊的中點作圓，與拋物線或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ軸的交點即為所求的點。2、具體方法(1) k1k2 = -1 ；(2)三角形全等(注意尋找特殊角，如30°、60°、45°、90° )(3)三角形相似；經(jīng)常利用一線三等角模型(4)勾股定理；當(dāng)題目中出現(xiàn)了特殊角時，優(yōu)先考慮全等法三、二次函數(shù)的應(yīng)用：1、應(yīng)用類型一、利用二次函數(shù)求實際問題中的最大(小)值：這類問題常見有面積、利潤銷售量的最大(小)值，一般這類問題的解題方法是：先表示出二次 函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)

7、的最值問題來求解即可。2、應(yīng)用類型二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問題 ：3、應(yīng)用類型三、利用二次函數(shù)求跳水、投籃、網(wǎng)球等實際問題；四、等腰三角形的例題解析例題1、(揚州)已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A (-1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3)三點，直線l 是拋物線的對稱軸.(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng) PAC的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；(3)在直線l上是否存在點M,使 MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件 的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：(1)將A (-1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3)代入拋物線y=ax2+

8、bx+c中，得到拋物線的解析式：y=-X2+2x+3.(2)二點A、B關(guān)于直線l對稱，連接BC,直線BC與直線l的交點為P; p點即為所求的點。設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b (k*0),將B (3, 0), C (0, 3)代入上式，得：直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+3;當(dāng)x=1時，y=2,即P的坐標(biāo)(1, 2).(3)拋物線的對稱軸為：x=1,設(shè)M (1, m),已知A (-1, 0)、C (0, 3),則：MA2=m2+4,MC2= (m -3) 2+1=m2-6m+10,AC2=10;(1) MA=MC,則 MA2=MC2,得：m2+4=m2-6m+10,得:m=1;若 MA=AC,

9、則 MA2=AC2,得：m2+4=10,得：m=±，6;若 MC=AG 貝U MC2=Ad,得：m2-6m+10=10,得：m1=0, m2=6;設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1 (k*0),將A (-1, 0), C (0, 3)代入上式，得Y=3x+3與直線x=1的交點坐標(biāo)為(1,6),所以：當(dāng)m=6時，M、A、C三點共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；綜上可知，符合條件的 M點，且坐標(biāo)為 M (1, 1), (1, -M6 ), (1, V6), (1, 0).易錯點及方法總結(jié)：當(dāng)以C為頂點的兩條腰相等時，求出的點 M有可能與AC共線，所以要 進(jìn)行檢驗，這一點非常關(guān)鍵。以

10、其它兩點為頂點的兩條腰相等時，不可能存在共線問題，所以不 用檢驗。五、直角三角形存在性問題匯總例1、如圖：A(0, 1) B(4, 3)是直線y=1/2x+1上的兩點，點p是x軸上一點，若 ABP是直 角三角形，則點p的坐標(biāo)是多少？解：(1)當(dāng)/ BAP為90°時,因為LAB: y=1/2x+1LAP1: y= -2x+1 所以 pl (1/2, 0)(2)當(dāng) / PBA=90時，因為LAB:y=1/2x+1LAP2: y= -2x+11所以 p2 (11/2, 0)B作BD, X軸于(3)當(dāng)/APB=90時，如圖過點APDB,。.OA OP三W產(chǎn)口 BDBn 1 OPpP= p4-

11、OP 3解得尸二威OF = 3, p二餐1,0人與，03一例 2、(攀枝花)如圖，拋物線 y=a/+bx+c經(jīng)過點 A (-3, 0), B (1, 0), C (0,-3).(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)八 PAC的面積為S,求S的最大值并求出此時 點P的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線的頂點為D, DELx軸于點E,在y軸上是否存在點M,使得4ADM是直角三 角形？若存在，請直接寫出點 M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：(1)由于拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A (-3, 0), B (1, 0),可設(shè)拋物線的解析式為:y=a (x+3) (x-1),將 C點坐標(biāo)

12、(0, -3)代入，得：a (0+3) (0-1) =-3,解得 a=1,貝U y= (x+3) (x-1) =x2+2x-3,所以拋物線白解析式為：y=x2+2x-3;(2)過點P作x軸的垂線，交AC于點N.設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m,由題意，得直線AC的解析式為：y= -x-3.設(shè)P點坐標(biāo)為(x, x2+2x-3),則點N的坐標(biāo)為(x, -x-3),. .PN= (-x-3) - (x2+2x-3) =-x2-3x.0 一 J? 27S PN OA = 一 |x 3x | = x h hiPAC=S PAN+SX PCN,12221s當(dāng)x=-23時，S有最大值278,此時點P的坐標(biāo)為

13、(-32, -154);(3)在y軸上是存在點M,能夠使得 ADM是直角三角形.理由如下：y=x2+2x-3=y= (x+1) 2-4, .頂點 D 的坐標(biāo)為(-1, -4),. A (-3, 0), a AD2= (-1+3) 2+ (-4-0) 2=20.設(shè)點M的坐標(biāo)為(0, t),分三種情況進(jìn)行討論：(1)A為直角頂點時，如圖3，由勾股定理，得 AM2+AD2=DM2,即(0+3) 2+(t-0) 2+20= (0+1) 2+ (t+4) 2,解得t=W2,所以點M的坐標(biāo)為(0, 32);當(dāng)D為直角頂點時，如圖3，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2,即(0+1) 2+ (t+4) 2+

14、20= (0+3) 2+ (t-0) 2,解得t=- 7/2,所以點M的坐標(biāo)為(0, - 7/2);當(dāng)M為直角頂點時，如圖3，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2,即(0+3) 2+ (t-0) 2+ (0+1) 2+ (t+4) 2=20,解得t=-1或-3,所以點M的坐標(biāo)為(0, -1)或(0, -3);綜上可知，在y軸上存在點M,能夠使得 ADM是直角三角形，此時點M的坐標(biāo)為(0, 32)或(0, - 02)或(0, -1)或(0,-3).2例3、如圖，拋物線y = x -2x k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C (0, -3).在拋物線上求點Q,使4BCQ是以BC為直角邊的直角三角

15、形.分析：定解法：有45°可以考慮幾何法。代數(shù)法雖然可以，但求解太麻煩，還有四次方解法 1: (1): / BCQ=90 ;作 QF，y 軸因為：OC=OB=3,zOBC為等腰直角三角形。所以：/ OCB=45 ; /FCQ=45 。則 QF=CF.設(shè) Q (x, x2-2x-3),則-(x2-2x-3) -3=x,解彳#: x1 =1；x2 = 0(舍去)所以 Q(1,-4)(2): /CBQ=90 ;作QF，x軸易得：/ QBF=45 ;則 QFB為等腰直角三角形設(shè) Q (m, m2-2m-3) , m2-2m-3=3-m,解得：m1=3(舍去) m2=-2Q(-2,5)綜上所述

16、： Q1 (-2, 5)、Q2 (1, -4) 2解法 2: Q(x，x -2x -3)BC2 = 32 32 =18QC2 =x2 (2x -x2)2 2222QB2 =(3-x)2 (x2 -2x-3)2后面利用勾股定理建立方程(過程略)解法3 :如圖，過點B作BQ1XBC,交拋物線于點 Q1、交y軸于點E,連接Q1C.v / CBO=45 ,. / EBO=45 , BO=OE=3.二點E的坐標(biāo)為(0, 3). 直線BE的解析式為y = -x + 3. 12分：y = -x+3,?K = - 2,?x2 = 3,由 1y =x2-2x-3解得?y1 = 5；?y2 = 0. .點Q1 的

17、坐標(biāo)為(-2, 5).13分如圖14 (4),過點C#CF±CB,交拋物線于點 Q2、交x軸于點F,連接BQ2.v / CBO=45 , 二 / CFB=45 , OF=OC=3點F的坐標(biāo)為(-3, 0).直線CF的解析式為14分'y = -x-3,?K = 0,?x2 = 1,由 1y =x2 -2x -3 解得?y1 = - 3； ?y2 = - 4.點Q2的坐標(biāo)為(1, -4).綜上，在拋物線上存在點 Q1 (-2, 5)、Q2 (1,-4),使ABCQ1 4BCQ2是以BC為直角邊的直角三角形.點睛：(1)解法1在設(shè)點Q的坐標(biāo)時，要考慮長度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)時，坐標(biāo)所處的象限

18、。(2)解法3 :關(guān)鍵抓住點Q是直線和拋物線的交點，所以可以聯(lián)立兩個解析式求交點坐標(biāo)。(值得學(xué)習(xí)的一種求交點的方法。)例4、(東營)在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo) 軸上，且點A (0, 2),點C (1, 0),如圖所示，拋物線y=a2-ax-2經(jīng)過點B.(1)求點B的坐標(biāo);(2)求拋物線的解析式;(3)在拋物線上是否還存在點P (點B除外),使4ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角 形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：(1)過點B作BD±x軸，垂足為D,. /BCD吆 ACO=90 , /AC0+/ OAC=90 ,/ BCD4 CAO,又. /BDC4 COA=90 , CB=AC. .BDC COABD=OC=1 CD=OA=2點 B 的坐標(biāo)為(3