二次根式知識點總結及常見題型

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上二次根式知識點總結及常見題型 一、二次根式的定義 形如（0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根號,叫做被開方數(shù).（1）二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負數(shù).據此可以確定字母的取值范圍;（2）判斷一個式子是否為二次根式,應根據以下兩個標準判斷:是否含有二次根號“”;被開方數(shù)是否為非負數(shù).若兩個標準都符合,則是二次根式;若只符合其中一個標準,則不是二次根式.（3）形如（0）的式子也是二次根式,其中叫做二次根式的系數(shù),它表示的是: （0）;（4）根據二次根式有意義的條件,若二次根式與都有意義,則有.二、二次根式的性質二次根式具有以下性質:（1）雙重非負性:0,0;（主

2、要用于字母的求值）（2）回歸性:（0）;（主要用于二次根式的計算）（3）轉化性:.（主要用于二次根式的化簡）重要結論:（1）若幾個非負數(shù)的和為0,則每個非負數(shù)分別等于0.若,則.應用與書寫規(guī)范:,0,0,0 .該性質常與配方法結合求字母的值.（2）;主要用于二次根式的化簡.（3）,其中0;該結論主要用于某些帶系數(shù)的二次根式的化簡:可以考慮把二次根號外面的系數(shù)根據符號以平方的形式移到根號內,以達到化簡的目的.（4）,其中0. 該結論主要用于二次根式的計算.例1. 式子在實數(shù)范圍內有意義,則的取值范圍是_.分析:本題考查二次根式有意義的條件,即被開方數(shù)為非負數(shù),注意分母不能為0.解:由二次根式有意

3、義的條件可知:,.例2. 若為實數(shù),且,化簡:.分析:本題考查二次根式有意義的條件,且有重要結論:若二次根式與都有意義,則有.解:0,01,1.習題1. 如果有意義,則實數(shù)的取值范圍是_.習題2. 若,則_.習題3. 要使代數(shù)式有意義,則的最大值是_.習題4. 若函數(shù),則自變量的取值范圍是_.習題5. 已知,則_.例3. 若,則的值等于 【 】（A） （B）0 （C）1 （D）2分析:本題考查二次根式的非負性以及結論:若幾個非負數(shù)的和為0,則每個非負數(shù)分別等于0.解:0,0.選擇【 D 】.例4. 無論取任何實數(shù),代數(shù)式都有意義,則的取值范圍是_.分析:無論取任何實數(shù),代數(shù)式都有意義,即被開方

4、數(shù)0恒成立,所以有如下兩種解法:解法一:由題意可知:00 00,9.解法二:設無論取任何實數(shù),代數(shù)式都有意義0恒成立即拋物線與軸最多有一個交點0解之得:9.例5. 已知是ABC的三邊長,并且滿足,試判斷ABC的形狀.分析:非負數(shù)的性質常和配方法結合用于求字母的值.解:0,0,0ABC為直角三角形.習題6. 已知實數(shù)滿足,則以的值為兩邊長的等腰三角形的周長為 【 】（A）20或16 （B）20（C）16 （D）以上答案均不對習題7. 當_時,取得最小值,這個最小值為_.習題8. 已知,則的值為_.習題9. 已知非零實數(shù)滿足,求的值.提示:由0,且可得:0,5.例6. 計算:（1）; （2）; （

5、3）.分析:本題考查二次根式的性質: （0）.該性質主要用于二次根式的計算.解:（1）;（2）;（3）.注意:,其中0.該結論主要用于二次根式的計算.例7. 化簡:（1）; （2）; （3）.分析:本題考查二次根式的性質:.該性質主要用于二次根式的化簡.解:（1）;（2）;（3）原式.注意: 結論:.該結論主要用于二次根式和絕對值的化簡.例8. 當有意義時,化簡:.解:二次根式有意義03例9. 化簡:.分析:,繼續(xù)化簡需要的取值范圍,而取值范圍的獲得需要挖掘題目本身的隱含條件:的被開方數(shù)為非負數(shù).解:由二次根式有意義的條件可知:03例10. 已知,化簡_.解:例11. 已知直線（是常數(shù)）, 如

6、圖（1）,化簡.解:由函數(shù)的圖象可知:例12. 已知在數(shù)軸上的位置如圖（2）所示,化簡:.解:由數(shù)軸可知:習題10. 要使,的取值范圍是_.習題11. 若,則的取值范圍是_.習題12. 計算:_.習題13. 計算:_.習題14. 若成立,則的取值范圍是_.習題15. 下列等式正確的是 【 】（A） （B）（C） （D）習題16. 下列各式成立的是 【 】（A） （B）（C） （D）習題17. 計算:_.習題18. 化簡:_.習題19. 若_.習題20. 已知,化簡得_.習題21. 實數(shù)在數(shù)軸上對應的點如圖（3）所示,化簡代數(shù)式:的結果為 【 】（A） （B）（C） （D）習題22. 化簡:.例

7、13. 把中根號外的因式移到根號內,結果是 【 】（A） （B） （C） （D）分析:本題實為二次根式的化簡:某些二次根式在化簡時,把根號外的系數(shù)移到根號內,可以達到化簡的目的,但要注意根號外面系數(shù)的符號.有如下的結論:,其中0.解:由二次根式有意義的條件可知:.選擇【 D 】.習題23. 化簡得_.三、二次根式的乘法 一般地,有:（0,0）（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的條件:0,0.即參與乘法運算的每個二次根式的被開方數(shù)均為非負數(shù);（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的計算;（3）兩個帶系數(shù)的二次根式的乘法為:（0,0）;（4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:（0,0）公式

8、的逆用主要用于二次根式的化簡.注意公式逆用的條件不變.例14. 若成立,則 【 】（A）6 （B）06（C）0 （D）為任意實數(shù)分析:本題考查二次根式乘法公式成立的條件:（0,0）解:由題意可得:解之得:6.選擇【 A 】.例15. 若成立,則的取值范圍是_.分析:本題考查二次根式乘法公式逆用成立的條件:（0,0）解:由題意可得:解之得:1.例16. 計算:（0）.解:（0）.習題24. 計算:_.習題25. 已知,則有 【 】（A） （B）（C） （D）習題26. 化簡的結果是_.四、二次根式的除法 一般地,有:（0,）（1）以上便是二次根式的除法公式,要特別注意公式成立的條件;（2）二次根

9、式的除法公式用于二次根式的計算;（3）二次根式的除法公式可寫為: （0,）;（4）二次根式的除法公式可逆用,即有:（0,）公式的逆用主要用于二次根式的化簡,注意公式逆用的條件不變.五、最簡二次根式 符合以下條件的二次根式為最簡二次根式:（1）被開方數(shù)中不含有完全平方數(shù)或完全平方式;（2）被開方數(shù)中不含有分母或小數(shù).注意:二次根式的計算結果要化為最簡二次根式.六、分母有理化 把分母中的根號去掉的過程,叫做分母有理化.如對進行分母有理化,過程為:;對進行分母有理化,過程為:. 由舉例可以看出,分母有理化是借助于分數(shù)或分式的性質實現(xiàn)的.例17. 計算:（1）; （2）; （3）.解:（1）;（2）;

10、（3）.例18. 化簡:（1）; （2）; （3）（）.解:（1）;（2）;（3）注意:隨著學習的深入,在熟練時某些計算或化簡的環(huán)節(jié)可以省略,以簡化計算.例19. 式子成立的條件是_.分析:本題求解的是的取值范圍,考查了二次根式除法公式逆用成立的條件:（0,）.解:由題意可得:解之得:.例20. 計算:（1）; （2）; （3）.解:（1）;（2）;（3）解法1:.解法2:.二次根式的乘除混合運算例21. 計算:（1）; （2）.解:（1）原式 （2）原式.習題27. 下列計算正確的是 【 】（A） （B）（C） （D）習題28. 計算:_.習題29. 計算:_.習題30. 直線與軸的交點坐標

11、是_.習題31. 如果,那么下面各式:; ; .其中正確的是_（填序號）.習題32. 若,則化簡的結果是_.習題33. 計算:（1）; （2）.例22. 先化簡,再求值:,其中.解:當時原式.習題34. 先化簡,再求值:,其中.習題35. 先化簡,再求值:,其中.習題36. 下列根式中是最簡二次根式的是 【 】（A） （B） （C） （D）例23. 觀察下列各式:（1）請利用上面的規(guī)律直接寫出的結果;（2）請用含（為正整數(shù)）的代數(shù)式表示上述規(guī)律,并證明;（3）計算:.分析:本題考查分母有理化.解:（1）;（2）;（3）原式 習題37. 化簡:.七、同類二次根式 如果幾個最簡二次根式的被開方數(shù)相同,那么它們是同類二次根式.同類二次根式的判斷方法:（1）先化簡二次根式;（2）看被開方數(shù)是否相同;（3）定結果:若相同,則它們是同類二次根式;若不相同,則不是.同類二次根式的合并方法: 幾個同類二次根式相加減,將它們的系數(shù)相加減,二次根式保持不變.八、二次根式的