數(shù)列求和方法歸納

1、 數(shù)列求和一、直接求和法（或公式法）把握一些常見的數(shù)列的前n項和：，1+3+5+(2n-1)=，等. 例1 求解：原式由等差數(shù)列求和公式，得原式變式練習(xí)：已知，求 的前n項和.解：1二、倒序相加法此方法源于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，目的在于利用與首末兩項等距離的兩項相加有公因式可提取，以便化簡后求和.例2 求的和解：設(shè)則兩式相加，得 三、裂項相消法常見的拆項公式有： ，等.例3 已知，求的和解：， 小結(jié)：假如數(shù)列的通項公式很簡潔表示成另一個數(shù)列的相鄰兩項的差，即，則有.這種方法就稱為裂項相消求和法.變式練習(xí)：求數(shù)列，的前n項和S.解：=）Sn=四、錯位相減法源于等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，對

2、于形如的數(shù)列，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，均可用此法.例4 求的和解：當(dāng)時，； 當(dāng)時，小結(jié)：錯位相減法的步驟是：在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比；將兩個等式相減；利用等比數(shù)列的前n項和公式求和.變式練習(xí)：求數(shù)列a,2a2,3a3,4a4,nan, (a為常數(shù))的前n項和。解：（1）若a=0, 則Sn=0 （2）若a=1,則Sn=1+2+3+n=（3）若a0且a1則Sn=a+2a2+3a3+4a4+ nan ， aSn= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) Sn=a+ a2+ a3+an- nan+1= Sn= 當(dāng)a=0時，此式也成立。Sn =五、分組求和法若數(shù)列的通項是若干項的代數(shù)

3、和，可將其分成幾部分來求.例5 求數(shù)列，的前項和變式練習(xí)：求數(shù)列的前n項和解：數(shù)列求和基礎(chǔ)訓(xùn)練1.等比數(shù)列的前項和S2，則2.設(shè)，則 .3.4. = 5. 數(shù)列的通項公式，前n項和 6 . 的前n項和為 數(shù)列求和提高訓(xùn)練1數(shù)列an滿足：a11，且對任意的m，nN*都有：amnamanmn，則 ( A )ABCD解：amnamanmn，an1ana1nan1n，利用疊加法得到：， 2數(shù)列an、bn都是公差為1的等差數(shù)列，若其首項滿足a1b15，a1b1，且a1，b1N*，則數(shù)列前10項的和等于 ( B )A100B85C70D55解：ana1n1，bnb1n1 a1bn1a1(b1n1)1a1b

4、1n25n2n3 則數(shù)列也是等差數(shù)列，并且前10項和等于： 答案：B.3設(shè)m=1×2+2×3+3×4+(n-1)·n，則m等于 ( A )A. B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7)3解：由于 a n = n2 - n.，則依據(jù)分組集合即得. 答案;A.4若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1·n，則S17+S3350等于 ( A )A.1 B.-1 C.0 D.2解：對前n項和要分奇偶分別解決，即： Sn= 答案：A5設(shè)an為等比數(shù)列,bn為等差數(shù)列，且b1=0,cn=an+bn,若數(shù)列cn是1,1,2,則cn的前10項和為 (

5、 A ) A.978 B.557 C.467 D.979解 由題意可得a1=1,設(shè)公比為q,公差為d,則q2-2q=0,q0,q=2,an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,cn=2n-1+1-n,Sn=978. 答案：A6. 若數(shù)列an的通項公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10 ( A )()A15 B.12 C12D.15解析 A設(shè)bn3n2，則數(shù)列bn是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)5×315.7 一個有2001項且各項非零的等差數(shù)列，其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為 解：

6、 設(shè)此數(shù)列an,其中間項為a1001,則S奇=a1+a3+a5+a2001=1001·a1001,S偶=a2+a4+a6+a2000=1000a1001. 答案: 8 若12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，則a= ,b= ,c= . 解： 原式= 答案：9已知等差數(shù)列an的首項a11，公差d0，且其其次項、第五項、第十四項分別是等比數(shù)列bn的其次、三、四項(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列cn對任意自然數(shù)n均有成立求c1c2c3c2014的值解：(1)由題意得(a1d)(a113d)(a14d)2(d0) 解得d2，an2n1，可得bn3n1(2) 當(dāng)n1時，c13； 當(dāng)n2時，由，得cn2·3n1， 故 故c1c2c3c201432×32×322×320023201510. 設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列 的前n項和，求Tn.解析 設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，則Snna1n(n1)d.S77，S1575，即解得a1(n1)d2(n1) ， 數(shù)列是首項為2，公差為的等差數(shù)列 Tnn2n.11. 已知數(shù)列an的首項a1，an1 (1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)