可靠度讀書筆記

1、關(guān)于結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)及可靠度分析的讀書報告1. 引言結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)受多種不確定因素的影響，例如由于震源、傳播介質(zhì)和場地條件中許多自然因素的影響，地震動的強度、頻率含量和持時都具有明顯的隨機性，從而使結(jié)構(gòu)的反應(yīng)也具有隨機性。此外，結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析中通常還包含所選用的計算模型和工程實際的符合成都以及結(jié)構(gòu)進一步破壞的機制等方面的不確定性因素。因此，為了，更真實地進行地震作用下的結(jié)構(gòu)安全性評價，勢必要采用概率的概念和隨機振動理論的方法。結(jié)構(gòu)的隨機響應(yīng)分析包括頻域內(nèi)的功率譜分析和時域內(nèi)的方差分析。同時結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)分析可分為平穩(wěn)隨機響應(yīng)和非平穩(wěn)隨機響應(yīng)。對于平穩(wěn)過程假定，在頻域內(nèi)進行分析更為容易，可以通過

2、頻率響應(yīng)函數(shù)求得響應(yīng)的功率譜，進而獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差。對于非平穩(wěn)過程假定，則在時域進行相關(guān)分析、進而獲得方差響應(yīng)更為簡單。而此時結(jié)構(gòu)響應(yīng)的頻域特征，則不易通過理論分析得到。非平穩(wěn)隨機響應(yīng)結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)平穩(wěn)隨機響應(yīng)頻域內(nèi)的功率譜分析時域內(nèi)的方差分析圖1 結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)分析方法結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)分為線性結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)分析和非線性系統(tǒng)的隨機響應(yīng)分析。線性體系最本質(zhì)的特征是激勵與響應(yīng)成線性關(guān)系，從而疊加原理適用于結(jié)構(gòu)的隨機響應(yīng)分析在一定條件下，體系的反應(yīng)還可以分解為有限或無限個振型反應(yīng)之和。這些都大大簡化了線性體系的隨機響應(yīng)分析。在強烈地震作用下，結(jié)構(gòu)將進入具有明顯滯回性能的非線性狀態(tài)。結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)分析與線性響

3、應(yīng)分析的區(qū)別在于疊加原理和振型分解法不再適用，即便激勵為高斯過程，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)也不再是高斯過程，這使得非線性響應(yīng)分析要比線性響應(yīng)分析困難得多。結(jié)構(gòu)隨機振動分析的最終目的是要定量的評價結(jié)構(gòu)的可靠性，即在概率的意義上定量地評價結(jié)構(gòu)的安全程度。因此結(jié)構(gòu)可靠度分析一直是非常活躍的研究領(lǐng)域，近年來取得了許多進展。本文主要對隨機響應(yīng)分析方法及動力可靠度分析方法進行綜述，介紹它們的計算原理并分析了各自的優(yōu)缺點。2. 隨機響應(yīng)的時域分析法根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)的微分方程MY+CY+KY=Xt (1)一般動力方程的數(shù)值積分格式，結(jié)構(gòu)的位移和速度響應(yīng)遞推關(guān)系式通常可以表示為Yi+1Yi+1=A1YiYi+A2XiXi+1

4、(2)式中Yi、Yi和Xi為時刻為t=it結(jié)構(gòu)的響應(yīng)向量、速度響應(yīng)向量和激勵向量；A1和A2為確定性矩陣，依賴與結(jié)構(gòu)特性和具體積分格式的參數(shù)。對上式右乘自身的轉(zhuǎn)置并取數(shù)學(xué)期望，可以得到下面遞推關(guān)系式Di+1=A1DiA1T+A2BiA2T+A1CiA2T+(A1CiA2T)T (3)式中Bi、Ci和Di分別定義為Bi=E(XiXiT)E(XiXi+1T)E(Xi+1XiT)E(Xi+1Xi+1T) (4)Ci=E(YiXiT)E(YiXi+1T)E(Yi+1XiT)E(Yi+1Xi+1T (5)Di=E(YiYiT)E(YiYi+1T)E(YiYiT)E(YiYiT (6)式（16）又可表示為

5、Ci=A1iE(Y0XiT)E(Y0Xi+1T)E(Y0XiT)E(Y0Xi+1T+j=0i-1A1jA2E(Xi-j-1XiT)E(Xi-j-1Xi+1T)E(Xi-jXiT)E(Xi-jXi+1T) (7)結(jié)構(gòu)響應(yīng)相關(guān)矩陣求解的遞推關(guān)系式的對角矩陣即為位移和速度響應(yīng)的均方值。由式（13）可以看出，時刻ti+1與時刻ti響應(yīng)相關(guān)矩陣的敵退關(guān)系依賴于激勵與響應(yīng)的相關(guān)矩陣Ci。從式（18）看出，Ci的計算設(shè)計到大量的滿矩陣乘法運算，因此Ci的求解是極其耗時的，這直接影響結(jié)構(gòu)響應(yīng)相關(guān)矩陣的計算效率。對于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，Ci的運算量是不可接受的。當(dāng)激勵為白噪聲或調(diào)制白噪聲時，Ci的計算效率則高得多。與

6、功率譜法相比，時域直接積分法更為直觀，可以直接獲得響應(yīng)的方差。在計算方面，雖然時域分析法不需要計算大量離散頻點處功率譜值，但在每個離散時刻處需要計算響應(yīng)和激勵的相關(guān)矩陣，計算效率更低。不過對于特殊激勵情況下，例如激勵為白噪聲或調(diào)制白噪聲時，時域分析法的計算效率可大幅度提高?？傮w來說，大多數(shù)現(xiàn)有的時域直接積分法更適用于白噪聲或調(diào)制白噪聲隨機激勵的情形和結(jié)構(gòu)體系自由度較少的情形。隨機激勵能否簡化為白噪聲系統(tǒng)可以按照如下方法判斷：對于地震地面運動的平穩(wěn)模型，地面加速度過程為At。由線性隨機振動理論可知，體系位移響應(yīng)的功率譜密度可以表示為：SX=H2SA (8)式中，H為體系的頻響函數(shù)。體系位移響應(yīng)及

7、速度相應(yīng)的方差可以表示為:X2=-SXd (9)X2=-2SXd (10)對于實際建筑結(jié)構(gòu)中的線性體系來說，體系的阻尼一般很小，此時即使SX不是白噪聲，但若SX的帶寬較之小阻尼情形下系統(tǒng)幅頻特性H的半功率帶寬(2n)要寬得多，且當(dāng)系統(tǒng)在固有頻率（也即H的中心頻率）n處，SXn的值與SX的最大值具有相同的數(shù)量級；那么激勵就可以近似地看作是白噪聲，其功率可取為SXn。圖3 可用白噪聲激勵近似處理的情形因此以上兩式可以近似寫成：X2=203SA0 (11)X2=20SA0 (12)將體系的自振頻率0=km以及阻尼比=c02m0代入以上兩式，就可求得體系位移響應(yīng)和速度響應(yīng)的統(tǒng)計矩。3. 線性系統(tǒng)隨機響

8、應(yīng)分析對于線性系統(tǒng)，其突出的優(yōu)勢是可以采用疊加原理。線性體系的運動方程通?？梢员硎緸榫€性常微分方程或偏微分方程。線性體系最本質(zhì)的特征是激勵與響應(yīng)成線性關(guān)系，從而疊加原理適用于結(jié)構(gòu)的隨機響應(yīng)分析，即體系在多個激勵同時作用下的響應(yīng)等于各個激勵分別作用下響應(yīng)之和。在一定條件下，體系的反應(yīng)還可以分解為有限或無限個振型反應(yīng)之和。這些都大大簡化了線性體系的隨機響應(yīng)分析。因此，對于線性時不變系統(tǒng)來說，它的動態(tài)特性可以用脈沖響應(yīng)函數(shù)或頻率響應(yīng)特性來描述。所謂脈沖響應(yīng)是指系統(tǒng)對單位沖量作用的響應(yīng)，它表征系統(tǒng)在時域的動態(tài)特性。所謂頻響特性是指系統(tǒng)對各個單位復(fù)諧和輸入的響應(yīng)恃性，它表征系統(tǒng)在頻域的動態(tài)特性。兩者有確

9、定的對應(yīng)關(guān)系，即Fourier變換對關(guān)系。H=-he-id (13)h=12-Heid (14)以上兩式存在的前提條件是-htdt<，也就是要求系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)受到?jīng)_擊后，所激發(fā)的運動隨時間的推移逐漸衰減。 同樣也是在疊加原理的基礎(chǔ)上，多自由度系統(tǒng)的運動可以通過模態(tài)變換，將系統(tǒng)的運動分解為各個模態(tài)運動，先求出模態(tài)激勵下的各個模態(tài)運動，然后再疊加起來得到系統(tǒng)的總運動。這就是動力響應(yīng)分析中的模態(tài)疊加法。頻域法建立在隨機振動理論的基礎(chǔ)上，其最大特點就在于通過Fourier變換，能將時域的常微分方程(組)化為代數(shù)方程(組)。因此在線性系統(tǒng)中，頻域分析法被廣泛采用。3.1 傳統(tǒng)功率譜法在隨機振

10、動分析中，功率譜方法是求解結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)的主要方法。該法從激勵功率譜密度函數(shù)之間的傳遞關(guān)系著手，建立隨機響應(yīng)功率譜密度函數(shù)的求解方法。本質(zhì)上功率譜密度函數(shù)所包含的是隨機過程的頻域二階統(tǒng)計信息，通過傅里葉變換即可獲得響應(yīng)的時域二階統(tǒng)計特征。功率譜法在線性隨機振動問題中一直起著重要的作用，特別是在平穩(wěn)輸入/平穩(wěn)輸出問題中，響應(yīng)功率譜與激勵功率譜之間簡單的代數(shù)關(guān)系是功率譜法中最精彩的部分。經(jīng)過有限元離散后，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力微分方程可寫為MY+CY+KY=Xt (15)式中M、C、K分別表示質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Y、Y、Y分別為加速度向量、速度向量和位移向量；X(t)為隨機激勵響亮。當(dāng)激勵X(t)

11、為平穩(wěn)隨機過程向量時，設(shè)其功率譜密度函數(shù)矩陣為SXX(w)，則位移響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)矩陣可以表示為SYYw=Hw*SXXwH(w)T (16)式中H(w)為結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣，上標(biāo)*表示復(fù)數(shù)共軛，上標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置。當(dāng)激勵X(t)為非平穩(wěn)隨機過程時，激勵的集合平均不能再用時間平均來代替，這就使得非平穩(wěn)的處理變得非常困難。好在對非平穩(wěn)激勵的一類特殊情形，即演變隨機激勵來說，問題相對簡單許多。演變隨機激勵，是指平穩(wěn)隨機激烈按某種確定性演化規(guī)律得來的一類非平穩(wěn)隨機過程的概念。當(dāng)激勵X(t)為均勻調(diào)制非平穩(wěn)隨機過程向量時，X(t)可以表示為Xt=Gtxt (17)式中Gt=diagg1t g2t

12、gnt, Xt=x1t x2txntT,其中g(shù)it和xit(i=1,2,n)分別為均勻調(diào)制函數(shù)和平穩(wěn)隨機過程，n為結(jié)構(gòu)自由度數(shù)。設(shè)x(t)的功率譜密度函數(shù)矩陣為SXX(w)，則位移響應(yīng)Y(t)的功率譜密度函數(shù)矩陣為SYYw，t=Iw,t*SXXwIw,tT (18) 用Ii(w,t)表示為I(w,t)的第i列向量，Gi(t)表示為Gt的第i列向量，則Ii(w,t)為Gi(t)eiwt作用下動力方程的解答，即Ii(w,t)滿足下述方程MIiw,t+CIiw,t+KIiw,t=Giteiwt (19) 當(dāng)激勵X(t)為非均勻調(diào)制非平穩(wěn)隨機過程向量時，位移響應(yīng)的時變功率譜密度函數(shù)矩陣的表達式與*式相

13、似。3.2 虛擬激勵法 虛擬激勵法通過構(gòu)造與隨機激勵功率譜密度函數(shù)相關(guān)的虛擬激勵，將平穩(wěn)隨機振動分析轉(zhuǎn)化為確定性簡諧振動分析，將非平穩(wěn)隨機振動分析轉(zhuǎn)化為確定性動力時程分析，從而大大簡化了隨機振動分析的計算步驟，卻仍保持了傳統(tǒng)功率譜法的計算結(jié)果。 當(dāng)激勵X(t)為平穩(wěn)隨機過程向量，可構(gòu)造下面隨機激勵Xit;w=iwi(w)*eiwt (20)式中iw及i(w)為SXXw的特征值和特征向量。在虛擬激勵Xit;w下結(jié)構(gòu)虛擬響應(yīng)為Yit;w=iwH(w)i(w)*eiwt (21)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)Y(t)的功率譜密度函數(shù)SYYw可用虛擬響應(yīng)構(gòu)造為SYYw,t=i=1nYi(t;w)*Yi(t;w)T (2

14、2)當(dāng)激勵X(t)為均勻調(diào)制非平穩(wěn)隨機過程向量，可構(gòu)造下面隨機激勵Xit;w=iwGti(w)*eiwt (23)式中iw及i(w)為SXXw的特征值和特征向量。在虛擬激勵Xit;w下結(jié)構(gòu)虛擬響應(yīng)為Yit;w=iwI(w,t)i(w)* (24)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)Y(t)的功率譜密度函數(shù)SYYw，t可用虛擬響應(yīng)構(gòu)造為SYYw,t=i=1nYi(t;w)*Yi(t;w)T (25)比較傳統(tǒng)功率譜法和虛擬激勵法的計算公式，可以看出虛擬激勵法并不比傳統(tǒng)功率譜法節(jié)省計算量。由于虛擬激勵法還需要解功率譜密度矩陣的特征值和特征向量，其計算量反而更大一些。只是虛擬激勵法通過引入類似符號化的表達公式，令隨機振動分析

15、更易理解。對于許多工程實用問題，響應(yīng)方差分析十分重要。結(jié)構(gòu)響應(yīng)Y(t)的協(xié)方差矩陣可通過對功率譜密度函數(shù)矩陣積分得到covYt,Yt=EYtY(t)T=-+SYYw,tdw=iSYY(wi,t)wi (26)從上式可以看出，功率譜法首先需要求出在一系列離散頻點（通常是幾十至幾百點）上的結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜，然后在整個頻域上幾分方能得到響應(yīng)方差。在非平穩(wěn)激勵情況下，每求一個離散頻點處的響應(yīng)功率譜值都需要做一次時程積分，計算量很大。事實上，此時的功率法已非單純的頻域積分法，而是時頻域混合積分方法，這是功率譜法在求解非平穩(wěn)隨機響應(yīng)時計算量大的根本原因。4. 非線性系統(tǒng)隨機響應(yīng)分析由于在強烈地震作用下，結(jié)構(gòu)

16、基本已進入具有明顯滯回性能的非線性狀態(tài)。系統(tǒng)的非線性可以表現(xiàn)為非線性恢復(fù)力，非線性阻尼或非線性慣性。結(jié)構(gòu)構(gòu)件恢復(fù)力滯回性能的研究是結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析的一個重要方面。關(guān)于構(gòu)件恢復(fù)力模型的數(shù)學(xué)描述，有用解析函數(shù)分段表示的形式和用一個函數(shù)或微分方程統(tǒng)一表示的形式。在這種模型中，將恢復(fù)力表示為彈性力和滯回力和的形式，根據(jù)滯回微分方程形式的不同，恢復(fù)力的表達式也不同，比較著名的有Wen等提出的光滑滯回微分方程及其改進形式。非線性動力分析表明，恢復(fù)力模型曲線的形狀對結(jié)構(gòu)的平均峰值響應(yīng)影響不大。因此，分析時可根據(jù)問題精度的要求，選取相對簡便的恢復(fù)力模型。根據(jù)地震動加速度的譜密度函數(shù)和結(jié)構(gòu)構(gòu)件的恢復(fù)力模型，可應(yīng)

17、用隨機振動理論分析結(jié)構(gòu)的非線性隨機響應(yīng)。它與線性系統(tǒng)隨機振動的區(qū)別主要是:(1)疊加原理不再適用，即各個輸入引起的輸出之和不等于輸入之和引起的輸出。(2)以疊加原理為基礎(chǔ)的杜哈姆積分也不再適用，而由杜哈姆積分導(dǎo)出的相關(guān)理論也隨之失效了，從而不存在也不可能得到激勵譜、響應(yīng)譜、系統(tǒng)的動態(tài)特性三者在頻率域中的函數(shù)關(guān)系。(3)因為正態(tài)過程的線性疊加才能得到正態(tài)過程，現(xiàn)在既然不能應(yīng)用疊加原理，因此對于一般的非線性系統(tǒng)，正態(tài)激勵得到的是非正態(tài)響應(yīng)。(4)在無噪聲干擾的情況下，單輸入單輸出非線性系統(tǒng)的常相干函數(shù)為:xy2=SxySxxSyy1 (27)在多輸入多輸出的非線性系統(tǒng)中，則偏相干函數(shù)為:xiyi2

18、=SxiyiSxixiSyiyi1 (28)目前用于非線性系統(tǒng)的分析方法包括隨機攝動法、FPK方程法、統(tǒng)計截矩法和隨機等價線性化法等。4.1 FPK法 FPK方程解法的基本思想是把系統(tǒng)的位移響應(yīng)看成狀態(tài)空間中一個多為隨機過程向量的分量。當(dāng)隨機激勵僅限于白噪聲時，這個隨機過程向量在每個時刻取得的增量是獨立的，于是它在性質(zhì)上是馬爾科夫過程，且是擴散過程，其概率結(jié)構(gòu)完全由概率初始條件和轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)所決定，而擴散過程的轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)服從FPK方程，因而求解實際非線性系統(tǒng)所對應(yīng)的FPK方程，就可得到受高斯白噪聲激勵后系統(tǒng)響應(yīng)的概率規(guī)律，從而求得相應(yīng)的頻域和時域信息。由于在均方意義下白噪聲的積分沒有

19、存在的意義，只有當(dāng)振動的微分方程寫成伊藤型時，其響應(yīng)隨機過程才具有良好的MARKOV性質(zhì)，即在一個給定時刻上，它的條件概率密度只取決于最近一個過去時刻的觀察值，這種特性稱為無后效性。簡單地說，無后效性就是指過程的將來只依賴于過程的現(xiàn)在，而與過程的過去無關(guān)。這樣，響應(yīng)就完全由它的初始條件X0和傳遞概率密度函數(shù)PX，t|X0，t0所決定。傳遞概率密度函數(shù)由如下的Fokker-Planck方程求得:tPX，t|X0，t0+i=1nXiaiX，tP-12i=1nj=1n2XiXjbijX，tP=0 (29)其中：ai=limt01tEZi-Xi (30)bij=limt01tEZi-XiZj-Xj (

20、31)其中，ai表示隨機函數(shù)變化速度；bij表示隨機函數(shù)協(xié)方差的變化速度。Zi是Xi在時刻t+t的值。利用上面的式子求系數(shù)ai和bij時，需要知道系統(tǒng)本身的各個物理參數(shù)和激勵的概率特征。然后再求傳遞概率密度函數(shù)時，還需要知道響應(yīng)的初始條件、邊界條件和概率條件。當(dāng)響應(yīng)的條件概率密度函數(shù)P確定后，則響應(yīng)的幅值和時域各個信息也就完全可求了。FPK法從理論上講，可無限制地適用于非平穩(wěn)問題，也適用于非線性問題，是隨機非線性問題求解法中較嚴(yán)密的一種解法。但實際上在用FPK方法求解過程中，除比較簡單的情況外FPK方程的解是未知的，因此應(yīng)用解析方法求解較為復(fù)雜的隨機振動問題是比較困難的。4.2 隨機等價線性化

21、法隨機等價線性化法是確定性激勵情況克雷洛夫與包哥留波夫的等效線性化法對隨機激勵情形的推廣。克雷洛夫與包哥留波夫在1947年最早提出了統(tǒng)計線性化思想，以后由于研究帶有隨機輸入的非線性控制系統(tǒng)的需要而得到了發(fā)展，1963年Caughey將該方法首次用于確定性單自由度非線性動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)隨機響應(yīng)。后來其他一些研究者將這種方法擴大應(yīng)用于多自由度系統(tǒng)非平穩(wěn)激勵、非高斯響應(yīng)。其基本思想是以線性函數(shù)等效地替代非線性函數(shù)：Fx，xa1+a2x0+a3x0 (32)式中的常系數(shù)ai(i=1，2，3)由誤差項的方差項的方差為最小的條件確定。此法可求解具有下列特點的非線性隨機振動問題:(1)系統(tǒng)的非線性項與速度和

22、位移均有關(guān)。(2)具有滯回特性的非線性問題。(3)激勵可以是非白噪聲，但必須是平穩(wěn)正態(tài)隨機過程。 等效線性化方法雖然可處理恢復(fù)力具有滯回特性的非線性問題，但是隨著非線性程度變強，其近似程度隨之變差，在必須考慮大塑性變形時，仍不加變化地采用上述方法是不適當(dāng)?shù)摹?.3 隨機攝動法系統(tǒng)非線性較弱的情況，確定型非線性問題的攝動法已有廣泛的應(yīng)用。這種確定性非線性問題的古典方法是由Crandall于1963年首次拓寬應(yīng)用與非確定性振動問題的。以后1973年Nayfesh,1977年Jordan和Smith等人都對其推廣用于一般的非線性隨機振動問題作了研究，1982年Nakagiri和Hisada,1988

23、年Liu,Besterfield和Belystchko還把攝動法推廣于隨機有限元分析。主要原理是把所求的解用一個的冪級數(shù)表示，該技術(shù)的每一項作為對其以前各項的非線性函數(shù)的線性響應(yīng)一次逐項求值。非線性方程為y+y+w02y+fy,y=fzt (33)設(shè)其解為y=y0t+y1t+2y2t+ (34)將（34）帶入（33）解出yt在實際計算中，式（34）的級數(shù)很少超過二次項，因為級數(shù)常常是漸近級數(shù)，雖然高次項對小的非線性項改進了近似程度，但對較大的非線性情況近似程度顯然變壞。而且對隨機過程yt的展開式934),無論在均方意義下還是其它意義下的收斂性至今仍未得到證明，這就限制了該方法的適用范圍。從理論

24、上說，冪級數(shù)所取的項數(shù)越多，解的精度就越高。但實際上，超過一階近似后，求解已十分困難。即使系統(tǒng)受到的是正態(tài)隨機激勵，其響應(yīng)的一階近似值也不是正態(tài)過程。所以我們在用攝動法求解實際問題時，一般只做到一階近似。應(yīng)該注意的是:在求解具有彈性非線性特性(即弱非線性)，攝動法不失為一種有效的方法，但對于具有滯回特性的強非線性問題來說，攝動法就不再適用了。5. 動力可靠度理論5.1 結(jié)構(gòu)動力可靠度的基本概念 結(jié)構(gòu)隨機振動將產(chǎn)生一定統(tǒng)計強度的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，結(jié)構(gòu)隨機振動分析是為了獲得響應(yīng)的統(tǒng)計量。響應(yīng)統(tǒng)計量的主要用途是據(jù)以判定或評價結(jié)構(gòu)的可靠性。結(jié)構(gòu)在隨機激勵作用下的可靠性通常稱為動力可靠性。結(jié)構(gòu)動力可靠度是結(jié)構(gòu)動

25、力可靠性的數(shù)學(xué)度量。結(jié)構(gòu)動力可靠度是指結(jié)構(gòu)在隨機動力激勵作用下，在給定時間內(nèi)部發(fā)生破壞或失效的概率。在許多情況下，常常根據(jù)動力響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，憑經(jīng)驗來判斷結(jié)構(gòu)的可靠性。然而更合理的做法是，根據(jù)一定破壞模型，導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的可靠度。因此結(jié)構(gòu)的動力可靠度分析必須對結(jié)構(gòu)的安全與破壞作出規(guī)定，即給出結(jié)構(gòu)的安全與破壞準(zhǔn)則。目前，結(jié)構(gòu)動力可靠度分析所采用的破壞準(zhǔn)則大致可分為兩類：第一類是首次超越破壞準(zhǔn)則；第二類是疲勞破壞準(zhǔn)則。首次超越破壞準(zhǔn)則假設(shè)結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)（如控制點的應(yīng)力、應(yīng)變或控制點、控制層的位移）首次超越界限值或安全界限時結(jié)構(gòu)就發(fā)生破壞?；谑状纬狡茐臏?zhǔn)則的結(jié)構(gòu)動力可靠度，簡稱為結(jié)構(gòu)的首次超越破壞

26、可靠度。疲勞破壞準(zhǔn)則假設(shè)結(jié)構(gòu)在長期的隨機動力荷載作用下，結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)在不大的界限上多次重復(fù)，當(dāng)累計損傷一旦達到某一限值或裂紋擴展到一定程度時結(jié)構(gòu)就發(fā)生破壞?；谄谄茐臏?zhǔn)則的結(jié)構(gòu)動力可靠度，簡稱為結(jié)構(gòu)的疲勞破壞動力可靠度。疲勞破壞機理較復(fù)雜，至今仍不可能根據(jù)基本的物理定律進行疲勞分析，而只能在大量實驗數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上應(yīng)用累積損傷假設(shè)或斷裂力學(xué)中的經(jīng)驗公式對疲勞可靠度作出估計。在以上兩種破壞準(zhǔn)則中，首次破壞準(zhǔn)則是一個比較建安的，理想化的模型，但卻給出了動力可靠度分析的基本思路，因此首次超越破壞準(zhǔn)則是比較受到重視和研究較多的一種模型。因此一下介紹所涉及的可靠度均基于首次超越破壞準(zhǔn)則的動力可靠度。考慮結(jié)構(gòu)

27、失效由單個隨機響應(yīng)過程Y(t)控制，b為界限值，則結(jié)構(gòu)在給定時間0,T內(nèi)的動力可靠度可表示為PrT=PYtb,0<tT (35)結(jié)構(gòu)的時效概率PfT=1-PrT自1945年美國學(xué)者Rice最早開展隨機過程首次超越界限概率研究以來，經(jīng)過近70年的發(fā)展，結(jié)構(gòu)動力可靠度分析方法已經(jīng)取得了很大進展，形成了基于過程跨越理論的犯法和基于擴散過程理論的方法。這兩類方法代表了動力可靠度分析的兩類分析思路，一類基于過程跨越界限理論，在一定假定前提下，導(dǎo)出過程首次超越界限概率的計算公式，進而直接利用結(jié)構(gòu)隨機動力響應(yīng)分析結(jié)構(gòu)計算結(jié)構(gòu)動力可靠度；另一類直接從結(jié)構(gòu)所滿足的隨機振動微分方程著手，建立首次超越界限的概

28、率密度所滿足的微分方程，利用數(shù)值方法求解改微分方程，已獲得結(jié)構(gòu)的動力可靠度。5.2 基于過程跨越理論的方法Rice在1944年和1945年先后發(fā)表了兩篇論文，其中研究了隨機過程跨越某一固定界限次數(shù)問題，首次建立了在給定時間內(nèi)跨越界限次數(shù)及其期望值的數(shù)學(xué)表達式，為基于過程跨越理論的動力可靠度分析方法奠定了基礎(chǔ)?；谶^程跨越理論的動力可靠度主要分析方法有內(nèi)外向級數(shù)法、泊松過程法及其修正方法和點過程法等。其中泊松過程法及其修正方法為最具代表性的一類方法，并且在工程中獲得了最為廣泛的應(yīng)用。5.2.1 內(nèi)外向級數(shù)法Rice在1944年和1945年先后發(fā)表的兩篇論文中給出了計算首次超越界限概率的著名內(nèi)外級

29、數(shù)公式。1986年Madsen用不同方法重新推導(dǎo)了Rice的內(nèi)外向級數(shù)公式。這里給出由Madsen推導(dǎo)的內(nèi)外向級數(shù)公式。用符號B(t)和B(t)來分別表示跨越事件“在時間間隔t,t+t內(nèi)Y(t)首次跨越界限b”。通過引入函數(shù)Y(b,t,t1,ti)和Y(b,t,t1,ti)來表示BtBt1Bti-1 Bti和BtBt1Bti-1 B'ti的概率Yb,t,t1,ti=Yb,t,t1,ti+0tiYb,t,t1,tidti+1 (36)對上式變形得Yb,t,t1,ti=Yb,t,t1,ti-0tiYb,t,t1,tidti+1 (37)所以Yb,t=Yb,t+i=1(-1)i0t0t10t

30、iYb,t,t1,tidtidt1 (37)隨機過程Y(t)在時間0,T內(nèi)不跨越界限b的概率為PrT=exp-0TYb,tdt (38) 1968年Roberts改進了Rice的內(nèi)外向級數(shù)，計算了Rice級數(shù)的前三項，求得了兩個上界限和一個下界限，并通過分析表明:當(dāng)時效概率很小時，級數(shù)收斂是很快的。從理論上說，內(nèi)外向級數(shù)法適用于任何隨機過程并且能夠給出問題的精確解。然而，出了級數(shù)項j取非常小的情況，式（37）和（38）所表示的積分一般是很難求解的。因此，一般只取前幾項作為內(nèi)外級數(shù)的近似表達式。另外，當(dāng)隨機激勵持續(xù)的時間很長時，計算工作量是非常大的。從實際應(yīng)用的觀點來看，內(nèi)外向級數(shù)主要還是適用于

31、時程問題。5.2.2 泊松過程及其修正方法動力可靠度的泊松公式最先是由Coleman應(yīng)用Rice期望跨越率的結(jié)果與獨立跨越界限的假定得到的?；讵毩⒖缭浇缦薜募俣?，則跨越次數(shù)服從泊松過程。令Yb,t=0+yfYYb,y,tdy (39)則Yb,t表示為單位時間內(nèi)跨越界限次數(shù)的期望值，即期望跨越概率。結(jié)合泊松過程的特征，推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的動力可靠度PrT為PrT=exp0TYb,tdt (40)由上述公式可知，在泊松過程假定下計算結(jié)構(gòu)可靠度的關(guān)鍵，在于已知Y(t)與Y(t)的聯(lián)合概率密度函數(shù)fYY(b,y,t)。當(dāng)Y(t)為零均值高斯平穩(wěn)隨機過程時Yb,t=Y2Yexp-b22Y2 (41)當(dāng)Y(t)

32、為零均值高斯非平穩(wěn)隨機過程時Yb,t=Y2Y1-2expb221-2Y2+2bYexp-b22Y2bY1-2 42式中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，Y(t)與Y(t)的相關(guān)系數(shù)一般很小，因此在計算中一般取為0，則（42）式近似為Yb,t=Y(t)2Y(t)exp-b22Y2(t) (43)基于跨越界限次數(shù)服從泊松過程假定的動力可靠度計算方法稱為泊松過程法。Cramer已經(jīng)嚴(yán)格證明：當(dāng)b趨近于無窮大時，跨越次數(shù)的分布漸近為泊松分布。這就意味著如果界限值是足夠大，就可以認為這就意味著如果界限值是足夠大，就可以認為跨越之間是相互獨立的，因此泊松過程法適用于隨機過程的高界限跨越問題。然而，泊松過程法對于低界限問

33、題是不適當(dāng)?shù)摹?對于窄帶過程，過程跨越界限是成群出現(xiàn)的，意味著一次跨越可能面臨后續(xù)的一次或多次跨越，因此跨越之間并不是相互獨立的，此時泊松過程法會夸大首次跨越界限概率的計算結(jié)果，用泊松過程法得到的動力可靠度偏于保守。對于寬帶過程，泊松過程假定沒有計及過程實際花費在非安全域內(nèi)的時間，此時泊松過程法會減小首次跨越界限概率的計算結(jié)果，用泊松過程法得到的動力可靠度偏于非保守。針對這兩方面的誤差原因，曾提出多種對泊松過程法的修正。 由于窄帶過程的界限跨越不是獨立的，而傾向于成群地出現(xiàn)。包絡(luò)過程的跨越經(jīng)常出現(xiàn)在群的跨越之前，因此，更合理的做法是用包絡(luò)過程的首次超越界限問題代替過程本身的首次超越界限問題。提

34、出以包絡(luò)過程的獨立界限跨越假定代替過程本身的獨立跨越界限假定，即采用基于泊松過程假定的包絡(luò)過程期望跨越率代替過程本身的期望跨越率，以改善對結(jié)構(gòu)動力可靠度的估計。當(dāng)Y(t)為零均值高斯平穩(wěn)隨機過程時，基于泊松過程假定的包絡(luò)過程期望跨越率為Yb,t=2bqYYexp-b22Y2 (44)式中q為帶寬參數(shù)，表示為q=1-1201 (45)上式中的i為Y(t)的第i階矩。如果計及包絡(luò)過程花費在界限以上的時間，假設(shè)包絡(luò)過程在界限以上的狀態(tài)為1，在界限以下的狀態(tài)為 0，則由狀態(tài)0和1構(gòu)成的過程為兩態(tài)馬爾科夫過程。假定在相繼狀態(tài) 0和1上所處時間相互獨立，根據(jù)更新過程理論，可得到兩態(tài)馬爾可夫過程假定下對包絡(luò)

35、過程期望跨越率的估計。當(dāng)Y(t)為零均值高斯平穩(wěn)隨機過程時，基于馬爾可夫過程假定的包絡(luò)過程期望跨越率為Yb,t=2bqY2Y2expb22Y2-1-1 (46) 對于窄帶隨機過程低界限跨越問題，伴隨著一次包絡(luò)過程界限跨越，往往有一次或數(shù)次過程本身界限跨越，上述修正將是對泊松過程法的改善。對于寬帶隨機過程低界限跨越問題，包絡(luò)過程界限跨越不一定伴隨過程本身界限跨越，從而得到比泊松過程法更為保守的可靠度估計?？紤]到并非所有包絡(luò)過程界限跨越一定伴隨過程本身界限跨越的這一事實，Vanmarcke在計及包絡(luò)過程花費在界限以上時間的基礎(chǔ)上，通過識別和消除那些包絡(luò)過程跨越而之后不伴隨出現(xiàn)原過程的任何一次跨越，

36、進一步對期望跨越率提出修正。引入以表示緊接包絡(luò)過程跨越而之后不伴隨出現(xiàn)原過程跨越的那部分所占的比例。當(dāng)Y(t)為零均值高斯平穩(wěn)隨機過程時=1-Y2bq1-exp-2b2Y (47)以1-乘以（46），得到修正后的期望跨越率為Yb,t=Y2Yexp-b22Y2 (48)=1-exp-2qbY1-exp-b22Y2 (49)當(dāng)Y(t)為高斯非平穩(wěn)隨機過程時，期望跨越率的計算公式與（48）是相同的，只需要把譜矩改為it=-+wiSYYw,tdw (i=0,1,2)即可。雖然，泊松過程法及其修正方法計算公式簡單，但在這些方法推導(dǎo)過程中采用了不同程度的假定，這會給動力可靠度的計算精度帶來不同程度的影響。

37、原則上泊松過程法及其修正方法只適用于結(jié)構(gòu)響應(yīng)為高斯隨機過程時的動力可靠度分析。5.2.2 點過程法 點過程法是計算窄帶隨機過程首次超越界限概率的好方法，其基本概念是用隨機過程Y(t)的極值點過程超越界限問題代替隨機過程本身超越界限問題。 然而用極值點過程超越界限問題代替過程本身超越界限問題時，同樣需要用到泊松過程假定或馬爾可夫過程假定才能得到結(jié)構(gòu)動力可靠度的計算公式。實際上，不僅相鄰極值點存在相關(guān)性，而且還和其它極值點存在相關(guān)性。因此，基于泊松過程假定或馬爾科夫過程假定的點過程法同樣具有泊松過程法及其修正方法所存在的計算精度問題。 5.3 基于擴散過程理論的方法基于過程跨越理論的方法只能獲得動力可靠度的近似解，而基于擴散過程理論的方法通過求解過程轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)所滿足的 FPK 方程，可以獲得動力可靠度的數(shù)值精確解。FPK 方程上世紀(jì)初由物理學(xué)家?？恕⑵绽士说仍谘芯坎祭蔬\動與擴散時首先得到，