幾何直觀(guān)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

1、幾何直觀(guān)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用幾何直觀(guān)是借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。小學(xué)生的思維水平止處于具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過(guò)渡，離不開(kāi)具體事物的支持。 幾何直觀(guān)憑借圖形的直觀(guān)性特點(diǎn)將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)的圖形語(yǔ)言有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，抽象思維同形象思維結(jié)合起來(lái)，充分展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，能夠幫助學(xué)生打開(kāi)思維的大門(mén)，開(kāi)啟智慧的鑰匙，突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn)。（一）以圖連線(xiàn)搭建橋梁，溝通聯(lián)系“在傳統(tǒng)領(lǐng)域之間界限的日趨消失是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特性之一，而幾何直觀(guān)在其間起著聯(lián)絡(luò)作用?！蹦承﹩?wèn)題的信息之間，某個(gè)知識(shí)塊之間，代數(shù)與幾何之間，幾何直觀(guān)使復(fù)雜多樣的分類(lèi)變得簡(jiǎn)單明了（二）以圖促思滲透數(shù)形結(jié)

2、合思想“數(shù)無(wú)形不直觀(guān)，形無(wú)數(shù)難入微”，“數(shù)形結(jié)合”的思想是重要的數(shù)學(xué)思想，其實(shí)質(zhì)是使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙和諧地結(jié)合起來(lái)，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)的圖形結(jié)合起來(lái)。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中特別注重這種思想的滲透，借助幾何直觀(guān)，可以把數(shù)形結(jié)合思想更好地反映出來(lái)。通過(guò)圖形的直觀(guān)性質(zhì)來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，相互滲透，不僅使解題簡(jiǎn)捷明快，還開(kāi)拓解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟了條重要的途徑。（三）以圖求解有助于數(shù)學(xué)方法的再創(chuàng)造直觀(guān)是抽象思維問(wèn)題的信息源，又是途徑信息源，它不僅為抽象思維提供信息，而且由于直觀(guān)形象在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中鮮明性強(qiáng)，可以多

3、思路、反復(fù)地給抽象思維以技巧。通過(guò)圖形的直觀(guān)性質(zhì)來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，相互滲透，不僅使解題簡(jiǎn)捷明，還開(kāi)拓解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟了條重要的途徑。直觀(guān)圖形的使用，不但可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解數(shù)學(xué)結(jié)論，而且有利于掌握數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀(guān)察能力和空間觀(guān)念。借助幾何直觀(guān)進(jìn)行教學(xué)，可以形象生動(dòng)地展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，提高學(xué)生的思維能力和解決問(wèn)題的能力。如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的空間觀(guān)念劉正娟關(guān)鍵詞： 空間觀(guān)念；幾何知識(shí)；教學(xué)；幾何圖形變式新課標(biāo)指出： “

4、空間觀(guān)念是一種自覺(jué)地感受空間圖形、運(yùn)用空間圖形的意識(shí)和能力”.其主要表現(xiàn)在：實(shí)物的形狀與幾何圖形之間的想象；復(fù)雜圖形的分解；描述實(shí)物或幾何圖形的運(yùn)動(dòng)、變化和位置的關(guān)系；運(yùn)用圖形描述問(wèn)題、利用圖形直觀(guān)來(lái)進(jìn)行思考等.在初中幾何的教學(xué)中，教師不僅要重視學(xué)生“合情推理”的邏輯思維能力，更應(yīng)該重視空間觀(guān)念的培養(yǎng)。本文就如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的空間觀(guān)念淺談幾點(diǎn)。一、從建立表象到再造想象，再?gòu)脑僭煜胂蟮絼?chuàng)造想象.1.運(yùn)用感性材料，建立表象空間觀(guān)念指的是物體的大小、形狀、方向、距離在人腦中留下的既直覺(jué)又有一些概括性的形象。表象是具有感知的形象在頭腦中的保持，它是具體感知向概念、思維過(guò)渡的重要環(huán)節(jié)。沒(méi)有形成清晰的

5、表象就不能很好地進(jìn)行思維活動(dòng)，沒(méi)有豐富的表象儲(chǔ)備，表象的重新組合或再造而產(chǎn)生新的表象的過(guò)程將會(huì)困難，培養(yǎng)初步的空間想象能力也就無(wú)從說(shuō)起。小學(xué)教材的幾何知識(shí)（系統(tǒng)學(xué)習(xí)時(shí)）的安排是：線(xiàn)面體，即一維空間二維空間三維空間；從圖形來(lái)說(shuō)是簡(jiǎn)單單一復(fù)雜組合；從計(jì)算來(lái)說(shuō)是長(zhǎng)度面積體積.無(wú)論哪一方面，都是以大量表象的內(nèi)化， 形象思維活動(dòng)向抽象思維活動(dòng)轉(zhuǎn)化， 揭示出概念的本質(zhì)屬性而得到概念，形成初步的空間想象能力，發(fā)展思維的。小學(xué)生從對(duì)幾何形體的感知中獲得了印象，并保留在頭腦中成為表象。表象的重新組合或再造的心理過(guò)程，是學(xué)生空間概念的重要基礎(chǔ)。教學(xué)中應(yīng)注意以下兩個(gè)方面：第一、重視啟蒙階段對(duì)幾何圖形的觀(guān)察。通常教材

6、中幾何知識(shí)是結(jié)合認(rèn)數(shù)與計(jì)算編排的，一年級(jí)集合認(rèn)數(shù)出現(xiàn)了三角形、正方形、立方形以及圓等圖形和直觀(guān)教具，出現(xiàn)這些圖形不僅僅只是為了認(rèn)數(shù)，同時(shí)也是為了培養(yǎng)學(xué)生初步空間觀(guān)念。 一年級(jí)有這么一個(gè)習(xí)題： 要求學(xué)生在下圖中找三角形、 圓形、 正方形的個(gè)數(shù)，這個(gè)集合圖里的圖形，排列雜亂，大小不一，既有標(biāo)準(zhǔn)圖形，又有變式圖形。這時(shí)要好好指導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察，然后讓學(xué)生分類(lèi)找出，從而使學(xué)生初步建立起三角形、正方形、圓形等的表象。第二、充分利用幾何直觀(guān)教具。在教幾何圖形時(shí)，一定要充分運(yùn)用幾何圖形的直觀(guān)教具，讓學(xué)生仔細(xì)觀(guān)察。使其感知并獲得具體鮮明的形象，形成圖形的表象； 另一方面， 表象常常是概括了許多感知形象的， 所以表象

7、又具有概括性特征。例如：學(xué)生對(duì)三角形的知覺(jué)，可在認(rèn)識(shí)角的大小、邊的長(zhǎng)短、三邊上的高、內(nèi)角和、 穩(wěn)定性、 對(duì)稱(chēng)性等的同時(shí)， 出示各種不同類(lèi)型的三角圖形、 模型等直觀(guān)教具，讓學(xué)生親手量一量、畫(huà)一畫(huà)、拼一拼，使學(xué)生建立起一個(gè)完整的三角形表象，并為建立三角形概念完成過(guò)渡。2.創(chuàng)造條件，形成再造想象表象的重新組合、成為新的表象，就是想象。如果這種想象是根據(jù)別人的語(yǔ)言文字描述或圖形、模型想出來(lái)的，這種想象就是再造想象。再造想象在培養(yǎng)學(xué)生初步空間概念中具有重要意義。第一、通過(guò)實(shí)際操作，促進(jìn)學(xué)生想象。動(dòng)手操作可以豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí).在操作過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察、比較、分析、綜合，發(fā)展他們的思維能力。生理學(xué)研究表

8、明：雙手動(dòng)作時(shí)，在腦與手之間，信息通過(guò)兩條雙向的通道高速地傳導(dǎo)著。在手腦并用時(shí)，大腦的創(chuàng)造性有關(guān)區(qū)域受刺激而活躍起來(lái)，手使腦的功能得到發(fā)展，腦使手的技能得到訓(xùn)練。在操作中，操作的順序性又可促使語(yǔ)言的條理化、完整化，同時(shí)使思維得到發(fā)展。如長(zhǎng)方體、正方體的表面積和體積兩個(gè)概念，學(xué)生往往容易混淆，我們除了把長(zhǎng)方體、正方體的六個(gè)面展開(kāi)，說(shuō)明這六個(gè)面的總面積就是表面積外，還應(yīng)把長(zhǎng)方體、正方體擺在講桌上，看所占空間的大小，說(shuō)明這就是體積：然后讓學(xué)生自己動(dòng)手做一個(gè)長(zhǎng)方體和正方體的紙盒，看看要多少硬紙盒，這兩種紙盒各有多大。這樣做，學(xué)生不僅僅興趣濃，而且促進(jìn)了想象。第二、滲透幾何思想，豐富學(xué)生想象。如講完梯形

9、之后，我們對(duì)四邊形先進(jìn)行歸類(lèi)復(fù)習(xí)，可運(yùn)用讓學(xué)生邊想邊填圖的方式，從而滲透正方形集合是長(zhǎng)方形集合的子集合，長(zhǎng)方形集合又是平行四邊形的子集合，平行四邊形集合和梯形集合又是四邊形集合的子集合的集合思想。通過(guò)這樣的復(fù)習(xí)和填圖，學(xué)生對(duì)四邊形就能建立起一個(gè)概念系統(tǒng)，這樣的想象就更豐富、更全面了。3.積極引導(dǎo)，培養(yǎng)創(chuàng)造想象創(chuàng)造想象是新表象的創(chuàng)造， 小學(xué)生學(xué)習(xí)的初步的幾何知識(shí)， 也需要?jiǎng)?chuàng)造想象。教學(xué)中，一定要積極引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造想象力，以促進(jìn)初步空間觀(guān)念的迅速形成。首先要培養(yǎng)學(xué)生具有獨(dú)立思想的自覺(jué)性。如：我們?cè)诮掏晏菪蔚拿娣e之后，要學(xué)生計(jì)算做一個(gè)加料斗要用多少鐵板。 學(xué)生的立體圖形知識(shí)很貧乏， 雖有一圖，

10、但看不懂，也想象不出這是一個(gè)什么樣的形狀，這時(shí)，教師應(yīng)拿出一個(gè)加料斗模型讓學(xué)生觀(guān)察，然后讓學(xué)生用硬紙做一個(gè)加料斗，再讓學(xué)生獨(dú)自想一想。計(jì)算做這個(gè)加料斗要多少材料的關(guān)鍵是什么？學(xué)生通過(guò)看、做、想，逐漸懂得它是由四塊相等的梯形組成的。因此。求出四個(gè)相等梯形繁榮面積，就是整個(gè)加料斗所需的材料了。其次要鼓勵(lì)學(xué)生敢于進(jìn)行捏造性想象。如圓面積求法，教材上采用了分割成16塊相等的扇面，拼成近似長(zhǎng)方形，推導(dǎo)出“圓面積= ”這一公式。如果把每一個(gè)扇形不斷地分割下去，弧越來(lái)越短，會(huì)變成什么形狀呢？讓學(xué)生大膽想象，學(xué)生就會(huì)提出把圓分成近似三角形來(lái)推導(dǎo)圓面積， 這個(gè)推導(dǎo)方法就是一種 “創(chuàng)造性”的思想過(guò)程。二、利用幾何

11、圖形變式在培養(yǎng)空間觀(guān)念中的運(yùn)用。1 操作，感悟幾何元素的位置關(guān)系讓學(xué)生親自動(dòng)手、實(shí)驗(yàn)、操作，使學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)圖形的變換，從中感悟圖形的變化前后幾何元素（點(diǎn)、線(xiàn)、面、體）的相互位置關(guān)系，這有利于培養(yǎng)學(xué)生直覺(jué)思維的習(xí)慣、發(fā)展空間觀(guān)念。圖1例：如圖1，將1張紙片經(jīng)兩次對(duì)折，并剪出一個(gè)菱形小洞后展開(kāi)鋪平，的到的圖形是（）A B C D分析由于題中所給的條件對(duì)圖形變化前后幾何元素的位置關(guān)系并不明了， 因此按常規(guī)思路或習(xí)慣思維求解，很難找到問(wèn)題的突破口。但如果按照題目所給的步驟逐步地進(jìn)行動(dòng)手操作，則問(wèn)題的答案呼之欲出，易得 D 即為所求.2 想象，實(shí)物模型與幾何圖形的轉(zhuǎn)化新課標(biāo)指出： “能由實(shí)物的形狀想象

12、出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物形狀”.通過(guò)觀(guān)察圖形，分析圖中幾何元素的位置關(guān)系，找尋實(shí)物和幾何之間的內(nèi)在的聯(lián)系，憑借直覺(jué)思維，在想象實(shí)物和幾何體之間的關(guān)系中尋得答案。在探索平面圖形與空間幾何體的相互轉(zhuǎn)換的活動(dòng)中，可建立空間觀(guān)念，發(fā)展幾何直覺(jué)。例：由一些大小相同的小正方體組成簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如下.你能畫(huà)出這幾何體嗎？有多少畫(huà)法？主視圖左視圖右視圖圖2分析由三視圖的特點(diǎn)可知，這個(gè)幾何體無(wú)論從前面看、左面看、還是從上面看都可以看到四個(gè)小立方體，通過(guò)想象知道圖（1）、圖（2）、圖（3）都符合要求，它的答案不是唯一的.事實(shí)上，如果保持圖（1）中下面一層有4個(gè)小正方體，那么上面一層4塊中缺少任意一塊（

13、圖（2），都符合要求，這樣的幾何體有4種?；蛘呷睂?duì)角2塊（圖（3），也符合要求，這種情況有2種.因此共有7種畫(huà)法.（1） （2）（3）圖3通過(guò)這樣由平面圖形到空間幾何體的互相轉(zhuǎn)換過(guò)程中， 培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力，促進(jìn)幾何直覺(jué)思維的發(fā)展。3折疊，平面圖形向空間圖形的演變“折疊”是一類(lèi)重要的幾何題型，在近幾年的中考題中縮短常常出現(xiàn).主要考查學(xué)生識(shí)圖、想圖、畫(huà)圖等空間觀(guān)念及空間圖形平面化，非標(biāo)準(zhǔn)圖形標(biāo)準(zhǔn)化的變形處理能力.解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需認(rèn)真審圖，充分挖掘折疊前、后平面圖形與空間的位置關(guān)系中的“變”與“不變”，探尋解決問(wèn)題的突破口。4分解，幾何圖形處理能力的標(biāo)志將復(fù)雜的圖形分解為基本的、簡(jiǎn)單的圖形

14、，恰當(dāng)?shù)貙?duì)圖形進(jìn)行分割、組合、變形的處理，易尋覓圖中基本元素及相互位置關(guān)系，有利于問(wèn)題的解決。這是考察學(xué)生幾何直觀(guān)、圖形處理能力的重要內(nèi)容.因此在圖形變式的教學(xué)中，應(yīng)有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖、看圖、變圖、及圖形的分解組合的能力。通過(guò)這樣的訓(xùn)練，使學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)圖形的變化過(guò)程，發(fā)展幾何直覺(jué)，有利于他們今后學(xué)習(xí)立體幾何。5 平面展開(kāi)，空間圖形平面化的重要手段有些空間問(wèn)題直接求解比較困難，但通過(guò)空間圖形平面化的處理后，線(xiàn)、面位置關(guān)系清楚，解題思路明朗，“以直代曲”就是將圖形平展變式的結(jié)果。在平時(shí)的教學(xué)中，教師通過(guò)強(qiáng)調(diào)“操作”、“想象”、“折疊”、“分解”、“平面展開(kāi)”等一些常見(jiàn)的圖形變式，可向?qū)W生滲透空

15、間觀(guān)念，強(qiáng)化學(xué)生的合情推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，為以后的空間立體幾何的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。三、教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題教師的“教”，應(yīng)當(dāng)是為了學(xué)生更好的學(xué)習(xí)。教學(xué)中，正確處理教師的主導(dǎo)與學(xué)生的主體關(guān)系，才能提高課堂教學(xué)效率，取得更好的教學(xué)效果.1.直觀(guān)演示的正確性直觀(guān)演示，不僅可以給學(xué)生提供鮮明的感性材料，幫助他們理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且有助于發(fā)展學(xué)生的觀(guān)察力和思維能力。在幾何教學(xué)中，直觀(guān)演示是很重要的，它能喚起學(xué)生頭腦中已有的表象，使之組合、再造，形成新的表象，為概念的得出起到積極的作用.在演示過(guò)程中，一般應(yīng)伴有教師的解說(shuō)或提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生注意所演示的主要內(nèi)容，抽象事物的本質(zhì)特征，弄清實(shí)際操作

16、的方法和步驟.教師在作圖時(shí)，還要起到示范作用.就要求我們的演示過(guò)程、順序應(yīng)與概念所描述的內(nèi)容順序以及學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識(shí)、感受這些概念一致起來(lái).如講“直線(xiàn)”，直線(xiàn)的特點(diǎn)一是“直”，二是無(wú)限的，三是無(wú)粗細(xì)的。我們拿細(xì)線(xiàn)來(lái)演示時(shí)，除了演示“直”外，還要突出“無(wú)限延伸”；黑板上畫(huà)圖時(shí)，也應(yīng)告訴學(xué)生，黑板上只是畫(huà)了這條直線(xiàn)的一部分，它的兩邊可以無(wú)限延伸，這樣，才能使畫(huà)圖、演示、顯示概念的內(nèi)容一致起來(lái)，建立起清晰的表象。另外，畫(huà)圖示范也應(yīng)注意概念內(nèi)容。如畫(huà)“角”，它的概念是“由一點(diǎn)引出的兩條射線(xiàn)，就組成角”，畫(huà)圖時(shí)就應(yīng)按這個(gè)概念敘述的順序、方式來(lái)畫(huà)，而不能順手就畫(huà)成“折線(xiàn)”。2.語(yǔ)言敘述的準(zhǔn)確性要形成第一、

17、第二信號(hào)系統(tǒng)的正確聯(lián)系。人類(lèi)除有第一信號(hào)系統(tǒng)外，還有第二信號(hào)系統(tǒng).即：人類(lèi)除對(duì)具體信號(hào)刺激發(fā)生反應(yīng)（第一信號(hào)系統(tǒng)）外，還可以對(duì)語(yǔ)言文字發(fā)生反應(yīng).人類(lèi)對(duì)語(yǔ)言文字發(fā)生反應(yīng)的皮層機(jī)能系統(tǒng)叫做第二信號(hào)系統(tǒng)（復(fù)雜的條件反射）.在理解概念和下定義時(shí)，不要和學(xué)生在感知圖形的基礎(chǔ)上所獲得的知識(shí)脫節(jié)，既要充分利用“術(shù)語(yǔ)”的生活意義，又要指出其區(qū)別.如講角時(shí)，要指出它是在平面上一點(diǎn)向不同方向引出兩條射線(xiàn)，構(gòu)成一個(gè)角，而生活中指的某些角，如墻角，就不是我們所學(xué)的角的意思。在教學(xué)中，力求語(yǔ)言表達(dá)準(zhǔn)確，不能模棱兩可。如用紙剪一個(gè)圓，還有像球的投影面等，它實(shí)際上是一個(gè)圓面，與幾何中的“圓”是有區(qū)別的。如講三角形分類(lèi)，當(dāng)學(xué)

18、生明確了三種三角形（按角分類(lèi)），還可告訴學(xué)生：任何一個(gè)三角形都有兩個(gè)角是銳角，第三個(gè)決定分類(lèi)。第三個(gè)是銳角的，就是銳角三角形，如果第三個(gè)角是直角的就是直角三角形等等。這樣可以避免學(xué)生把“三個(gè)角是銳角的三角形就叫銳角三角形”類(lèi)推到“三個(gè)角是鈍角的三角形叫鈍角三角形”，發(fā)生錯(cuò)誤。此外提問(wèn)題也應(yīng)準(zhǔn)確，表達(dá)清楚。如講圓的周長(zhǎng)時(shí)，涉及到“圓周率”，如果問(wèn)“圓周率等于多少”，那么就錯(cuò)了。3.培養(yǎng)思維的靈活性學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí)，對(duì)獲得的感性材料進(jìn)行分析、比較、綜合和抽象、概括，才能理解和掌握幾何圖形的概念和特征.通過(guò)判斷、推理等思維的過(guò)程，才能更好地解決問(wèn)題.在教學(xué)中還應(yīng)注意思維的靈活性，以便更敏捷地解決問(wèn)題。例如， 對(duì)于平面幾何圖形的特征和面積計(jì)算方法，開(kāi)始只要求學(xué)生掌握每一種平面幾何圖形特征和面積計(jì)算方法， 然后要求學(xué)生理解各種平面幾何圖形特征之間的相互關(guān)系、面積計(jì)算方法之間的聯(lián)系，注意揭示圖形概念與計(jì)