偏微分方程和一階線性偏微分方程解

1、第一章 偏微分方程和一階線性偏微分方程解本章介紹典型的幾個(gè)偏微分方程。給出了最簡(jiǎn)單的偏微分方程（一階線性偏微分方程）解的特征線方法。典型的偏微分方程：擴(kuò)散方程，；波動(dòng)方程，。這是本課程討論的主要兩類方程。偏微分方程的各類邊值條件也是本章討論的一個(gè)重點(diǎn)。1.1 一維空間中的偏微分方程例1 （剛性污染流的方程） 假設(shè)均勻直線管道中的水流含污染物質(zhì)的線密度是（即處在時(shí)刻的污染物的密度）。如果流速是，問(wèn)題：滿足什么樣的方程？解 如圖，在內(nèi)的流體，經(jīng)過(guò)時(shí)間，一定處于。所含污染物應(yīng)相同，即，由此，從而，?！綞nd】可見(jiàn)偏微分方程是一個(gè)至少為兩元的函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)所滿足的方程。例2 （擴(kuò)散方程） 假設(shè)水流靜止

2、，在時(shí)間內(nèi)，流經(jīng)處的污染物質(zhì)（不計(jì)高階無(wú)窮?。┡c該處濃度的方向?qū)?shù)（濃度變化）成正比，比例系數(shù)為：，所以，在時(shí)間段內(nèi)，通過(guò)的污染物為。在時(shí)刻和，在內(nèi)的污染物分別為和，由物質(zhì)守恒定律由，的任意性，再由，的任意性，?！緀nd】例3 （弦振動(dòng)方程）假設(shè)（1）弦的兩端固定（非本質(zhì)的假設(shè)），弦長(zhǎng)為，線密度為；（2）外力作用下在平衡位置附近作微小的垂直振動(dòng)；（3）弦上各點(diǎn)張力方向與弦的切線方向一致，大小服從Hooke定律。問(wèn)題：建立滿足的方程。解 選定弦的一段，（此處），考慮其在時(shí)間段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況。點(diǎn)處的張力記為。沿水平方向合力為；沿垂直方向合力為。顯然，水平方向合力為零（假設(shè)2：弦只在垂直方向有運(yùn)動(dòng)），

3、即。垂直方向合力為。由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定理，因此。記，則得到標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)方程，。注：如果弦上有外力作用，則，記，則非齊次的波動(dòng)方程為?！緀nd】1.2 平面和空間上的偏微分方程例1 （三維空間中的擴(kuò)散方程）假設(shè)污染流體充滿三維空間的某區(qū)域，是其密度。任取簡(jiǎn)單區(qū)域，相應(yīng)的邊界。假設(shè)，在時(shí)間內(nèi)，流出的流與密度關(guān)于處的法向?qū)?shù)成正比，即，因此在流出曲面的流量為；同時(shí)，該區(qū)域在的流量變化又可表示為。利用守恒定律和時(shí)間的任意性，。由高斯公式推論，所以。由的任意性，?！緀nd】熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)類似。例2 （二維膜振動(dòng)方程）均勻鼓膜上任意截取區(qū)域，在平面上的投影為。作用于的張力的垂直分量近似等于沿的法向張力。因此垂

4、直方向總合力為。由此，由二維的高斯公式，。因此，這里?！緀nd】1.3 方程的初始和邊界條件對(duì)常微分方程，要完全確定方程的解就必須知道初始條件。而對(duì)偏微分方程，還必須給定適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。以弦振動(dòng)問(wèn)題而言，方程是在弦之內(nèi)部的點(diǎn)滿足的條件，邊界可能是固定的，也可能自由的，等等。假如邊界是，則可能的條件：1），（固定邊界）（Dirichlet 條件）2），（在端點(diǎn)的垂直方向自由滑動(dòng)），或更一般（Neumann條件）3）（弦的一端固定在彈性支承上）（Robin條件）在高維空間，相應(yīng)的邊界條件為1）Dirichlet 條件：（是邊界）2）Neumann條件：3）Robin條件：1.4 一階線性偏微分方程

5、解的特征線方法對(duì)一階齊次線性偏微分方程，從幾何觀點(diǎn)看，如果滿足該方程，則由函數(shù)確定的平面上的向量場(chǎng)，與方程系數(shù)構(gòu)成的向量場(chǎng)正交。稱由向量場(chǎng)作為切向所確定的曲線為方程的特征線。 例如，當(dāng)，為常數(shù)，則過(guò)任意給定的點(diǎn)的特征線為直線，方程為。之所以稱其為特征線，是因?yàn)檠卦撝本€函數(shù)取常數(shù)值。以為常數(shù)為例，特征線上的任意一點(diǎn)可表示為，其中是參數(shù)，由此，即。利用特征線的該性質(zhì)，在給定適當(dāng)?shù)某跏蓟蜻吔鐥l件后就可確定方程的解。例1 求解方程。解 特征線，即，沿該直線，是常數(shù)。所以，或?qū)憺??！緀nd】例2 求解方程。解 特征線方程，其解為。所以，或?！緀nd】例3 （流方程的解）考慮一端具有穩(wěn)定的流速的無(wú)限長(zhǎng)管道的流，解 特征線方程，過(guò)的特征線。所以，。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以，方程的解為?！緀nd】第一章 習(xí)題1. 對(duì)平面擴(kuò)散方程，若