角平分的性質(zhì)定理

1、楊莊中學(xué)楊莊中學(xué) 段偉段偉新北師大版新北師大版1.1.角平分線的性質(zhì)定理和判定定理。角平分線的性質(zhì)定理和判定定理。2.2.用尺規(guī)作角的平分線。用尺規(guī)作角的平分線。AOBC活活 動動1（對折）（對折）1、如圖，是一個角平分儀，、如圖，是一個角平分儀，其中其中AB=AD,BC=DC。將點將點A放在角的頂點放在角的頂點,AB和和AD沿著角的兩邊放下沿著角的兩邊放下,沿沿AC畫一畫一條射線條射線AE,AE就是角平分線，就是角平分線，你能說明它的道理嗎你能說明它的道理嗎?活活 動動2ADBCE 如果前面活動中的紙片換成木板、如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？鋼板等沒法折的角，

2、又該怎么辦呢？證明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共邊）（公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 對應(yīng)邊相等）對應(yīng)邊相等） AC平分平分DAB（角平分線的定義）（角平分線的定義）ADBCE (1)實驗實驗：將：將AOB對折，再折出一個直角對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？活活動動4(2)(2)猜想猜想: :角的平分線上的點到角的平分線

3、上的點到這個角的兩邊的距離相等這個角的兩邊的距離相等. .證明：證明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分線的定義）（角平分線的定義） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定義）（垂直的定義） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已證）（已證） 1= 2 （已證）（已證） OP=OP （公共邊）（公共邊） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）（全等三角形的對應(yīng)邊相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知：如圖，已知：如圖，OCOC平分平分AOBAOB，點，點P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于

4、點于點D D，PEOBPEOB于點于點E E求證求證: PD=PE: PD=PE活活 動動5(3)驗證猜想驗證猜想角平分線的性質(zhì)定理角平分線的性質(zhì)定理 角平分線上的點到這個角的角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等兩邊的距離相等 21EDCPOBA駛向勝利的彼岸w定理定理 角平分線上的點到這個角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等角的兩邊距離相等. .強調(diào)：這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.w如圖如圖, ,wOCOC是是AOBAOB的平分線的平分線, ,PDOAPDOA于于D,PEOBD,PEOB于于E (E (已知已知) )PD=PE(PD=PE(角平分線上的點到這角平分線上的點到

5、這個角的兩邊距離相等個角的兩邊距離相等).).P PA AOOB BC CE ED D12如果有一個點到角兩邊的距離相等，如果有一個點到角兩邊的距離相等，那么這個點必在這個角的平分線上那么這個點必在這個角的平分線上 你能寫出這個定理的逆命題嗎你能寫出這個定理的逆命題嗎? 用心想一想，馬到功成用心想一想，馬到功成這個命題是假命題角平分線是角內(nèi)部的一條這個命題是假命題角平分線是角內(nèi)部的一條射線，而角的外部也存在到角兩邊距離相等的點射線，而角的外部也存在到角兩邊距離相等的點角平分線性質(zhì)定理的逆命題：在一個角平分線性質(zhì)定理的逆命題：在一個角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點，在角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等

6、的點，在這個角的角平分線上這個角的角平分線上這是一個真命題嗎這是一個真命題嗎? 駛向勝利的彼岸已知已知: :如圖如圖,PA=PB, PDOA,PEOB,PA=PB, PDOA,PEOB,垂垂足分別是足分別是D,E.D,E.求證求證: :點點P P在在AOBAOB的平分線上的平分線上. .分析分析: :要證明點要證明點P P在在AOBAOB的的平分平分線上線上, ,只要證明只要證明1=21=2即可。即可。你能寫出規(guī)范的證明過程？你能寫出規(guī)范的證明過程？21EDCPOBA已知：在已知：在AOB內(nèi)部有一點內(nèi)部有一點P，且，且PDOA，PEOB，D、E為垂足且為垂足且PD=PE，求證：點求證：點P在在

7、AOB的角平分線上的角平分線上用心想一想，馬到功成用心想一想，馬到功成證明：證明：PDOA，PEOB，PDO= PEO=90在在RtODP和和RtOEP中中OP=OP，PD=PERtODP RtOEP(HL)1=2(全等三角形對應(yīng)角相等全等三角形對應(yīng)角相等) 點點P在在AOB的角平分線上的角平分線上21EDCPOBA角平分線的判定定理角平分線的判定定理 在一個角的內(nèi)部在一個角的內(nèi)部，且到角兩，且到角兩邊距離相等的點，在這個角的邊距離相等的點，在這個角的角平分線上角平分線上判定定理：在一個角的內(nèi)部判定定理：在一個角的內(nèi)部, ,且到角的兩且到角的兩邊距離相等的點邊距離相等的點, ,在這個角的平分線

8、上在這個角的平分線上. .PDOAPDOA于于D,PEOBD,PEOB于于E,E,且且PD=PE,PD=PE, 點點P P在在AOBAOB的平分線上的平分線上.(.(在一個在一個角的內(nèi)部角的內(nèi)部, ,且到角的兩邊距離相等且到角的兩邊距離相等的點的點, ,在這個角的平分線上在這個角的平分線上).).AOCB12PDE例題：在例題：在 ABC 中，中， BAC = 60，點，點 D 在在 BC 上，上，AD = 10，DEAB，DFAC，垂，垂足分別為足分別為 E，F(xiàn)，且，且 DE = DF，求，求 DE 的長的長.ABCEFD你能用什么辦法平分一個已知角呢？你能用什么辦法平分一個已知角呢？1 1

9、可以用量角器可以用量角器2 2使用三角尺，也可以平分一個已知角使用三角尺，也可以平分一個已知角3 3用角尺也可以平分一個已知角用角尺也可以平分一個已知角4 4用直尺和圓規(guī)平分一個已知角用直尺和圓規(guī)平分一個已知角5. 5. 用折紙的辦法也可以用折紙的辦法也可以平分一個已知角平分一個已知角根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）的平分線？（不用角平分儀或量角器）OABCENOMCENM已知:AOBAOB,如圖.求作:射線OC,使AOC=BOCAOC=BOC.用尺規(guī)作角的平分線用尺規(guī)作角的平分線. .作法:1.1.在在OAOA和和OBOB

10、上分別截上分別截取取OD,OE,OD,OE,使使OD=OEOD=OE.2.2.分別以點分別以點D D和和E E為圓心為圓心, ,以以大于大于DE/2DE/2長為半徑作弧長為半徑作弧, ,兩兩弧在弧在 AOBAOB內(nèi)交于點內(nèi)交于點C.C.3 .3 . 作 射 線作 射 線 O C .O C .則射線則射線OCOC就是就是AOBAOB的平的平分線分線. .ABOCDE你能說明射線OC為什么是AOBAOB的平分線嗎？駛向勝利的彼岸w1. 如圖,求作一點P,使PC=PD,并且點P到AOB的兩邊的距離相等. CDABO 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí) 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)2.如圖,一目標(biāo)在A區(qū),到期公路,鐵路距離相等,離公路與鐵路的交叉處500m.在圖上標(biāo)出它的位置(比例尺 1:20 000).A區(qū) 1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等角平分線上的點到角的兩邊的距離相等 2.角平分